2024八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形检测题（附答案华东师大版）

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第19章检测题(时间：100分钟　　满分：120分)　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　一、选择题(每小题3分，共30分)1．(滨州中考)下列命题，其中是真命题的是( D )A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形2．如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( D )A.10 cmB．8 cmC．6 cmD．5 cm eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第4题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图)) 3．(河池中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是( C )A.AB＝AD B．AC⊥BDC.AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC4．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE交CD于点F，则∠AFC的度数是( D )A.150° B．125° C．135° D．112.5°5．如图所示，把一张矩形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′等于( B )A.144° B．126° C．108° D．72°6．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(－3，4)，顶点C在x轴的负半轴上，反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x<0)图象经过顶点B，则k的值为( C )A.－12 B．－27 C．－32 D．－3 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图)) 7．在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是( D )A.AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD8．(2023·深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为( B )A.1 B．2 C．3 D．49．(2023·常德)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为( C )A.80° B．90° C．105° D．115°10．(恩施州中考)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是( D )A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形C.当CD＝PM时，t＝4 sD.当CD＝PM时，t＝4 s或6 s二、填空题(每小题3分，共15分)11．(2023·福建)如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为__10__． eq \o(\s\up7(),\s\do5(第11题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第12题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图)) 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC，BD交于原点O，且点A，C都在x轴上，点D的坐标为(4，3)，那么点C的坐标为__(5，0)__．13．(2023·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：__AD∥BC(AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等)__，使四边形ABCD成为菱形．14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.若AC＝10，则四边形OCED的周长是__20__．15．我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点(如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点)，则正方形的腰点共有__9__个．三、解答题(共75分)16．(8分)(2023·宿迁)如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：AF＝CE.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE与△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠CFD，∠BAE＝∠DCF，AB＝CD，))∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE17．(9分)(2023·永州)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5.(1)△AOB是直角三角形吗？请说明理由；(2)求证：四边形ABCD是菱形．解：(1)△AOB是直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，∴OB＝OD＝ eq \f(1,2) BD＝4，∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，∴OA2＋OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°　(2)由(1)可知，∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形18．(9分)如图，在菱形ABCD中，F为对角线BD上一点，点E为AB延长线上一点，DF＝BE，CE＝CF.求证：(1)△CFD≌△CEB；(2)∠CFE＝60°.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB.在△CFD和△CEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝CB，CF＝CE，DF＝BE，))∴△CFD≌△CEB(SSS)　(2)∵△CFD≌△CEB，∴∠CDB＝∠CBE，∠DCF＝∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠CBD＝∠ABD，∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠CBD＝∠CBE＝60°，∴∠DCB＝60°，∴∠FCE＝∠FCB＋∠BCE＝∠FCB＋∠DCF＝∠DCB＝60°，∵∠FCE＝60°，CF＝CE，∴∠CFE＝∠CEF＝60°19．(9分)如图，在矩形ABCD中，AB＝ eq \f(1,2) BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点(与点B，C不重合)，连结AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E.(1)若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；(2)若AB＝3，△ABP≌△CEP，求BP的长．解：(1)BP＝CP，证明：∵CG为∠DCF的平分线，∴∠DCG＝∠FCG＝45°，∴∠PCE＝45°，∵CG⊥AP，∴∠E＝∠B＝90°，∴∠CPE＝45°＝∠APB，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴AB＝BP，∵AB＝ eq \f(1,2) BC，∴BP＝ eq \f(1,2) BC，∴BP＝PC　(2)∵△ABP≌△CEP，∴AP＝CP，∵AB＝3，AB＝ eq \f(1,2) BC，∴BC＝6，在Rt△ABP中，AP2＝AB2＋BP2，∴(6－BP)2＝9＋BP2，∴BP＝ eq \f(9,4) 20．(9分)如图，已知正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到点H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠B＝90°，CE＝EF＝FG＝CG，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°，∵DH＝CE，BK＝CE，∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠HAD，∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，∴四边形AKFH为正方形21．(10分)(2023·绍兴)如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.(1)求证：∠DAG＝∠EGH；(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由．解：(1)在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，∴∠ADE＝∠GEC＝90°，∴AD∥GE，∴∠DAG＝∠EGH　(2)AH⊥EF，理由如下．连结GC交EF于点O，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，又∵DG＝DG，AD＝CD，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DAG＝∠DCG.在正方形ABCD中，∠ECF＝90°，又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四边形FCEG为矩形，∴OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DAG＝∠OEC，由(1)得∠DAG＝∠EGH，∴∠EGH＝∠OEC，∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°，∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF22．(10分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，DF⊥BC，垂足为F，AD＝5，BC＝12，DF＝4，∠C＝45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x.(1)当x的值为________或________时，以点P，A，D，E为顶点的四边形为平行四边形；(2)点P在BC边上运动的过程中，以P，A，D，E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．解：(1)1　11　(2)能．由(1)知：x＝11时，四边形AEPD是平行四边形，此时P在E的右边．在Rt△CFD中，∵∠C＝45°，∴CF＝DF＝4.又∵CP＝BC－BP＝12－11＝1，PF＝CF－CP＝4－1＝3..在Rt△PFD中，PD＝ eq \r(32＋42)＝5，∴PD＝AD＝5，∴平行四边形AEPD是菱形23．(11分)【问题情境】如图①，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.【探究展示】(1)证明：AM＝AD＋MC；(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图②，探究展示(1)，(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．解：(1)延长AE，BC交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠N，在△ADE和△NCE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠N，∠AED＝∠NEC，DE＝CE， ))∴△ADE≌△NCE(AAS)，∴AD＝NC，∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE，∴∠N＝MAE，∴MA＝MN，∵MN＝NC＋MC＝AD＋MC，∴AM＝AD＋MC　(2)AM＝DE＋BM成立．证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC，∵AF⊥AE，∴∠FAE＝90°，∴∠FAB＝90°－∠BAE＝∠DAE，在△ABF和△ADE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FAB＝∠EAD，AB＝AD，∠ABF＝∠D，))∴△ABF≌△ADE(ASA)，∴BF＝DE，∠F＝∠AED，∵AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE，∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM，∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM＋∠EAM＝∠BAM＋∠FAB＝∠FAM，∴∠F＝∠FAM，∴AM＝FM，∵FM＝FB＋BM＝DE＋BM，∴AM＝DE＋BM　(3)①结论AM＝AD＋MC仍然成立；②结论AM＝DE＋BM不成立