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    2024八年级数学下学期期中检测卷(附答案北师大版)

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    2024八年级数学下学期期中检测卷(附答案北师大版)

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    这是一份2024八年级数学下学期期中检测卷(附答案北师大版),共5页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(每小题3分,共30分)
    1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( C )
    eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
    2.不等式3x-2>1的解集在数轴上表示正确的是( A )
    eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
    3.不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2-x≥x-2,,3x-1>-4))的最小整数解是( B )
    A.-1 B.0 C.1 D.2
    4.已知一等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( C )
    A.40° B.100° C.40°或100° D.70°或50°
    5.如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点C,A,B1在同一直线上,那么旋转角为( C )
    A.55° B.70° C.125° D.145°
    eq \(\s\up7(),\s\d5(第5题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第6题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第8题图))
    6.如图,直线y=ax+b与直线y=mx+n交于点P(-2,-1),则根据图象可知不等式ax+b>mx+n的解集是( A )
    A.x>-2 B.x<-2 C.-2<x<0 D.x>-1
    7.(2022·邵阳)若关于x的不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3)x>\f(2,3)-x,,\f(1,2)x-12,,4-x≥3))的最小整数解是__-2__.
    12.如图,以△ABC的顶点B为圆心,以BA的长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠CAD=__34°__.
    13.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定的角度后点B′恰好与点C重合,则平移的距离为__2__.
    eq \(\s\up7(),\s\d5(第13题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第14题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第15题图))
    14.(2022·盘锦)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=30°,点D为BC的中点,将△ABC绕点D逆时针旋转得到△A′B′C′,当点A的对应点A′落在边AB上时,点C′在BA的延长线上,连接BB′,若AA′=1,则△BB′D的面积是__ eq \f(3\r(3),4)__.
    15.如图,等边△ABC的边长是4,M是高CD所在直线上的一动点,连接MB,将线段BM绕点B按逆时针方向旋转60°得到线段BN,连接DN,则在点M运动过程中线段DN长度的最小值是__1__.
    三、解答题(共75分)
    16.(10分)解下列不等式(组),并将其解集在数轴上表示出来:
    (1)10-3(x+6)≤1;
    解:x≥-3,在数轴上
    表示其解集略
    (2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-3(x+1)>3,,\f(2x-1,3)-\f(2-x,6)≤1.))
    解:解不等式x-3(x+1)>3,
    得x<-3,解不等式
    eq \f(2x-1,3)- eq \f(2-x,6)≤1,得x≤2,
    ∴不等式组的解集为x<-3,
    在数轴上表示其解集略
    17.(9分)已知关于x,y的方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x+3y=m+1,,2x+y=m-1,))当m为何值时,x>y?
    解:解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x+3y=m+1,,2x+y=m-1,))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\f(2m-4,3),,y=\f(5-m,3),))又∵x>y,∴ eq \f(2m-4,3)> eq \f(5-m,3),解得m>3,∴当m>3时,x>y
    18.(9分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3).
    (1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知点C1的坐标为(4,0),请画出平移后的△A1B1C1的图形;
    (2)若△ABC和△A2B2C2,关于原点O成中心对称,请写出△A2B2C2的各顶点的坐标;
    (3)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3,请画出旋转后的图形△A3B3C3.
    解:(1)如图所示的△A1B1C1即为所求作
    (2)点A2(3,-5),点B2(2,-1),点C2(1,-3)
    (3)如图所示的△A3B3C3即为所求作
    19.(9分)如图,锐角△ABC的两条角平分线BD,CE相交于点O,连接AO,且OB=OC.
    (1)求证:△ABC是等腰三角形;
    (2)若∠ABC=75°,求∠BAO的度数.
    解:(1)证明:∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠ECB.又∵OB=OC,∴∠DBC=∠ECB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形
    (2)延长AO交BC于点F,∵AB=AC,OB=OC,∴AO是BC的垂直平分线,∴AF⊥BC,∴∠BAO= eq \f(1,2)∠BAC= eq \f(1,2)(180°-∠ABC-∠ACB)= eq \f(1,2)(180°-2∠ABC)= eq \f(1,2)(180°-2×75°)=15°
    20.(9分)(2022·平顶山三模)正值樱桃上市时节,某水果店分两次购进红樱桃和黄樱桃两种水果进行销售,两次购进同一种水果的进价相同,具体情况如下表所示:
    (1)求红樱桃和黄樱桃每斤的进价;
    (2)水果店决定红樱桃以每斤10元出售,黄樱桃以每斤15元出售.为满足市场需要,需购进红樱桃和黄樱桃两种共200斤,且红樱桃的数量不少于黄樱桃数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润.
    解:(1)设红樱桃和黄樱桃每斤的进价分别为x元、y元,根据题意,得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30x+40y=720,,40x+30y=680,))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=8,,y=12,))∴红樱桃和黄樱桃每斤的进价分别为8元、12元
    (2)∵红樱桃每斤获利10-8=2(元),黄樱桃每斤获利15-12=3(元),2<3,∴购进的红樱桃越少获利越多.设购进红樱桃m斤,则购进黄樱桃(200-m)斤.根据题意,得m≥4(200-m),解得m≥160,∴m最小值=160,此时200-m=40,∴获利最大的进货方案为购进红樱桃160斤,购进黄樱桃40斤,最大利润为2×160+3×40=440(元)
    21.(9分)如图,△ABC是等边三角形,将它绕顶点A顺时针旋转90°至等边△ADE的位置,AF平分∠CAE,连接CD,CF,
    (1)求∠ADC的度数;
    (2)求证:CF⊥AD.
    解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB,∠BAC=60°.又∵△ABC绕点A顺时针旋转90°至等边△ADE的位置,∴∠BAD=90°,AD=AB=AC,∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°,∴∠ADC=∠ACD= eq \f(1,2)(180°-∠CAD)=75°
    (2)证明:设AD交CF于点G,∵∠CAD=30°,∠DAE=60°,∴∠CAE=90°.又∵AF平分∠CAE,∴∠CAF=∠EAF=45°,∴∠DAF=∠CAF-∠CAD=15°,∠AFE=180°-∠E-∠FAE=75°.又∵AE=AC,AF=AF,∴△CAF≌△EAF(SAS),∴∠CFA=∠AFE=75°,∴∠AGF=180°-∠CFA-∠DAF=90°,∴CF⊥AD
    22.(10分)【问题】如图,在△ABC中,点D为BC边上的一点,且BD=BA,AC的垂直平分线交AC于点E,交BC于点F,连接AF,当∠B=30°,∠BAF=90°时,求∠DAC的度数.
    【探究】若把“【问题】”中的条件“∠B=30°”去掉,其他条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?请说明理由.
    【拓展】若把“【问题】”中的条件“∠B=30°”去掉,再将“∠BAF=90°”改为“∠BAF=α”,其余条件不变,则∠DAC=________.
    解:【问题】∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA= eq \f(1,2)(180°-∠B)= eq \f(1,2)×(180°-30°)=75°.∵EF是AC的垂直平分线,∴AF=CF,∴∠CAF=∠C.又∵∠B+∠AFB+∠BAF=30°+∠AFB+90°=180°,∴∠AFB=60°.又∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C,∴∠C=30°,∴∠CAD=∠ADB-∠C=75°-30°=45°
    【探究】不会,理由如下:∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA= eq \f(1,2)(180°-∠B)=90°- eq \f(1,2)∠B.∵EF是AC的垂直平分线,∴AF=CF,∴∠CAF=∠C.又∵∠B+∠AFB+∠BAF=∠B+∠AFB+90°=180°,∴∠AFB=90°-∠B.又∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C,∴∠C=45°- eq \f(1,2)∠B,∴∠CAD=∠ADB-∠C=90°- eq \f(1,2)∠B-(45°- eq \f(1,2)∠B)=45°
    【拓展】 eq \f(1,2)α 【解析】∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA= eq \f(1,2)(180°-∠B)=90°- eq \f(1,2)∠B.∵EF是AC的垂直平分线,∴AF=CF,∴∠CAF=∠C.又∵∠B+∠AFB+∠BAF=∠B+∠AFB+α=180°,∴∠AFB=180°-α-∠B.又∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C,∴∠C=90°- eq \f(1,2)α- eq \f(1,2)∠B,∴∠CAD=∠ADB-∠C=90°- eq \f(1,2)∠B-(90°- eq \f(1,2)α- eq \f(1,2)∠B)= eq \f(1,2)α
    23.(10分)在△ABC和△ADE中,AC=BC,AE=DE,且AE<AC,∠ACB=∠AED=90°,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转,把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置(此时点B和点D位于AC的两侧),设旋转角为α,连接BD,点P是线段BD的中点,连接PC,PE.
    (1)如图①,当△ADE在起始位置时,试猜想PC与PE的数量关系和位置关系,并证明你的结论;
    (2)如图②,当α=90°时,点D落在AB边上,(1)中的结论是否还成立?为什么?
    (3)如图③,当α=150°时,若BC=3,DE=1,请直接写出PC2的值.
    图① 图② 图③
    解:(1)PC=PE,PC⊥PE,理由如下:延长EP交BC于点F,易证△FBP≌△EDP(AAS),∴PF=PE,BF=DE.又∵AC=BC,AE=DE,∴FC=EC,∴△EFC是等腰直角三角形.又∵EP=FP,∴∠PCE=∠CEP=45°,PC⊥PE,∴PC=PE
    (2)成立,理由如下:过点B作BF∥DE,交EP的延长线于点F,连接CE,CF,易证△FBP≌△EDP(AAS),∴BF=DE,PE=PF.又∵DE=AE,∴BF=AE.∵当α=90°时,∠EAC=90°,∴ED∥AC,EA∥BC,∴FB∥AC,∴∠FBC=∠ACB=90°,∴∠CBF=∠CAE.在△FBC和△EAC中,∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BF=AE,,∠CBF=∠CAE,,BC=AC,))∴△FBC≌△EAC(SAS),∴CF=CE,∠FCB=∠ECA,∴∠FCE=∠FCB+∠BCE=∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°,∴△FCE是等腰直角三角形.又∵EP=FP,∴∠PCE=∠CEP=45°,CP⊥EP,∴CP=EP
    (3)如图,过点B作BF∥DE,交EP的延长线于点F,连接CE,CF,过点E作EH⊥AC交CA的延长线于点H,易得EH∥BC,当α=150°时,∠EAC=α=150°,∴∠EAH=30°,∴∠AEH=60°,∴直线EH与DE的夹角为30°.又∵BF∥DE,EH∥BC,∴直线BF与BC的夹角为30°,∴∠FBC=180°-30°=150°=∠EAC,∴同(2)可证得△FCE是等腰直角三角形,CP⊥EP,CP=EP= eq \f(\r(2),2)CE.在Rt△AHE中,∵∠EAH=30°,AE=DE=1,∴HE= eq \f(1,2),AH= eq \f(\r(3),2).又∵AC=BC=3,∴CH=3+ eq \f(\r(3),2),∴EC2=CH2+HE2=10+3 eq \r(3),∴EF2=( eq \r(2)EC)2=2EC2=20+6 eq \r(3),∴PC2= eq \f(1,4)EF2= eq \f(20+6\r(3),4)= eq \f(10+3\r(3),2)
    购进的数量/斤
    红樱桃
    黄樱桃
    购进所需费用/元
    第一次
    30
    40
    720
    第二次
    40
    30
    680

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