2024九年级数学下册第二十七章相似检测题（附答案人教版）

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第二十七章检测题(时间：100分钟　　满分：120分)　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(每小题3分，共30分)1．(兰州中考)已知△ABC∽△DEF， eq \f(AB,DE) ＝ eq \f(1,2) ，若BC＝2，则EF＝( A )A．4 B．6 C．8 D．162．如图，已知l1∥l2∥l3， eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(2,3) ，EF＝6，则DF的长( D )A．3 B．4 C．5 D．10 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第4题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图)) 3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是( D )A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． eq \f(AP,AB) ＝ eq \f(AB,AC)  D． eq \f(AP,AB) ＝ eq \f(BP,BC) 4．(2023·浙江)如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( C )A．(2，4) B．(4，2) C．(6，4) D．(5，4)5．如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20 m，树的顶端在水中的倒影距自己5 m远，淇淇的身高为1.7 m，则树高为( C )A．3.4 m B．4.7 m C．5.1 m D．6.8 m6．如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似△ABC和△EDF，则∠ABC＋∠ACB的度数为( D )A．135° B．90° C．60° D．45° eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第7题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图)) 7．如图，等边三角形ABC中，D为BC边上的一点，E为AC边上的一点．且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝3，则△ABC的边长为( D )A．12 B．14 C．15 D．168．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S△DEF＝2，则S△BCF为( D )A．4 B．6 C．9 D．189．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点(位于AB下方)，CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6 eq \r(2) ，CE＝2DE，则CE的长为( C )A．2 eq \r(6)  B．4 eq \r(2)  C．4 eq \r(3)  D．3 eq \r(5) 10．(遂宁中考)如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC，GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD，OB，则下列结论一定正确的是( D )①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④二、填空题(每小题3分，共15分)11．如果 eq \f(x,y) ＝ eq \f(2,5) ，那么 eq \f(y－x,y＋x) ＝__ eq \f(3,7) __．12．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件__∠ACD＝∠B(或∠ADC＝∠ACB或 eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(AC,AB) )__，使△ACD∽△ABC(只填一个即可). eq \o(\s\up7(),\s\do5(第12题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图)) 13．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8 cm，DF＝10 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝__7.5__m.14．(2023·台湾)如图，正方形ABCD与△EBC中，AD分别与EB，EC相交于F点，G点，若△EBG的面积为6，正方形ABCD的面积为16，则FG与BC的长度比为__3∶7__．15．如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为__1或 eq \f(5,2) __秒时，以P，F，E为顶点的三角形与△AED相似．三、解答题(共75分)16．(7分)(菏泽中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC.证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC17．(8分)如图，点C在△ADE的边DE上，AD与BC相交于点F，∠1＝∠2， eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(AD,AE) .求证：AF·DF＝BF·CF.证明：∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠DAC＝∠1＋∠DAC，∴∠DAE＝∠BAC，∵ eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(AD,AE) ，∴ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AC,AE) ，∴△ADE∽△ABC，∴∠D＝∠B，∵∠BFA＝∠DFC，∴△ABF∽△CDF，∴ eq \f(BF,DF) ＝ eq \f(AF,CF) ，∴AF·DF＝BF·CF18．(9分)(河池中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2).(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点B2的坐标．　　解：(1)如图，△A1B1C1即为所作(2)如图，△A2B2C2即为所作，点B2的坐标为(－4，－6)19．(9分)如图，在△ABC中，BC＝12，高AD＝6，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，求AN的长．解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴ eq \f(AN,AD) ＝ eq \f(EF,BC) (相似三角形对应边上的高的比等于相似比)，∵BC＝12，AD＝6，∴AN＝6－x，∴ eq \f(6－x,6) ＝ eq \f(x,12) ，解得x＝4，∴AN＝6－x＝6－4＝220．(10分)如图，在菱形ABCD中，G为边CB延长线上一点，连接DG分别交AC和AB于E和F两点．(1)求证：∠ADE＝∠ABE；(2)已知EF＝1，EG＝3，求BE的长．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，∵AE＝AE，∴△DAE≌△BAE(SAS)，∴∠ADE＝∠ABE　(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠G，∵∠ADE＝∠ABE，∴∠ABE＝∠G，∵∠BEG＝∠BEF，∴△BEF∽△GEB，∴ eq \f(BE,EG) ＝ eq \f(EF,BE) ，∴BE2＝EG·EF＝1×3＝3，∴BE＝ eq \r(3) 21．(10分)已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，连接BE，ED2＝EA·EC.(1)求证：∠EBA＝∠C；(2)如果BD＝CD，求证：AB2＝AD·AC.证明：(1)∵EF垂直平分线段BD，∴ED＝EB，∵ED2＝EA·EC，∴ eq \f(DE,EA) ＝ eq \f(EC,DE) ，∴ eq \f(BE,EA) ＝ eq \f(EC,BE) ，∵∠BEA＝∠CEB，∴△BAE∽△CEB，∴∠EBA＝∠C　(2)∵EF垂直平分线段BD，∴EB＝ED，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠C＋∠DBC＝∠EBA＋∠ABD，∵∠EBA＝∠C，∴∠DBC＝∠ABD，∵DB＝DC，∴∠C＝∠DBC，∴∠ABD＝∠C，∵∠BAD＝∠CAB，∴△BAD∽△CAB，∴ eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(AD,AB) ，∴AB2＝AD·AC22．(10分)(陕西中考)如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.(1)求证：∠CAB＝∠APB；(2)若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．解：(1)∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM＝90°，∵∠CEA＝90°，∴AM∥CD，∴∠CDB＝∠APB，∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CAB＝∠APB(2)连接AD，∵AB是直径，∴∠CDB＋∠ADC＝90°，∵∠CAB＋∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC＝8，∵AB＝10，∴BD＝6，∵∠BAD＋∠DAP＝90°，∠PAD＋∠APD＝90°，∴∠APB＝∠DAB，∵∠BDA＝∠BAP，∴△ADB∽△PAB，∴ eq \f(AB,PB) ＝ eq \f(BD,AB) ，∴PB＝ eq \f(AB2,BD) ＝ eq \f(100,6) ＝ eq \f(50,3) ，∴DP＝ eq \f(50,3) －6＝ eq \f(32,3) 23．(12分)如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE.(1)发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2.①线段DG与BE之间的数量关系是__DG＝BE__；②直线DG与直线BE之间的位置关系是__DG⊥BE__．(2)探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE.(3)应用：在(2)情况下，连接GE(点E在AB上方)，若GE∥AB，且AB＝ eq \r(5) ，AE＝1，则线段DG是多少？(直接写出结论)解：(1)①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAE＝∠DAG，,AE＝AG，)) ∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴DG＝BE，故答案为：DG＝BE②如图1，延长BE交AD于Q，交DG于H，由①知，△ABE≌△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AQB＋∠ABE＝90°，∴∠AQB＋∠ADG＝90°，∵∠AQB＝∠DQH，∴∠DQH＋∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴DG⊥BE，故答案为：DG⊥BE(2)如图2，延长BE交AD于点Q，交DG于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AE,AG) ＝ eq \f(1,2) ，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AQB＋∠ABE＝90°，∴∠AQB＋∠ADG＝90°，∵∠AQB＝∠DQH，∴∠DQH＋∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴DG⊥BE(3)如图3，EG与AD的交点记作M，∵EG∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1，∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得，EG＝ eq \r(5) ，∵AB＝ eq \r(5) ，∴EG＝AB，∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴AG∥BE，∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上，如图4，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE＝ eq \r(AB2－AE2) ＝2，由(2)知，△ABE∽△ADG，∴ eq \f(BE,DG) ＝ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(1,2) ，∴ eq \f(2,DG) ＝ eq \f(1,2) ，∴DG＝4