2024九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷（附答案北师大版）

这是一份2024九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷（附答案北师大版），共5页。

直角三角形的边角关系(时间：100分钟　　满分：120分)　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(每小题3分，共30分)1．2cos45°的值等于( B )A．eq \f(\r(2),2) B．eq \r(2) C．eq \f(\r(2),4) D．2eq \r(2)2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则sin A的值为( C )A．eq \f(4,5) B．eq \f(3,4) C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,3)3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则∠A的锐角三角函数值( C )A．扩大2倍 B．缩小eq \f(1,2) C．不变 D．无法确定4．(2023·威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是( B )A．eq \x(7) eq \x(×)  eq \x(sin)  eq \x(2)  eq \x(8)  eq \x(＝)  B． eq \x(7)  eq \x(÷)  eq \x(sin)  eq \x(2)  eq \x(8)  eq \x(＝) C． eq \x(7)  eq \x(×)  eq \x(tan)  eq \x(2)  eq \x(8)  eq \x(＝)  D． eq \x(7)  eq \x(÷)  eq \x(tan)  eq \x(2) eq \x(8)eq \x(＝)eq \o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))　　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))　　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))5．在△ABC中，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin A－\f(1,2)))＋(eq \f(\r(3),3)－tan B)2＝0，则∠C的度数为( A )A．120° B．90° C．60° D．30°6．(2023·南充)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距( B )A．eq \f(x,sin α)米 B．eq \f(x,cos α)米 C．x·sin α米 D．x·cos α米7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos B的值为( B )A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),3)8．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sin α＝cos β＝eq \f(3,5)，则梯子顶端上升了( C )A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))　　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))　　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))9．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是( A )A．7eq \r(2)海里/时 B．7eq \r(3)海里/时 C．7eq \r(6)海里/时 D．28eq \r(2)海里/时10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝eq \f(1,4)，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连接CE，则eq \f(CE,AD)的值为( D )A．eq \f(3,2) B．eq \r(3) C．eq \f(\r(15),2) D．2二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是__eq \f(1,2)__．eq \o(\s\up7(),\s\do5(第11题图))　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))12．已知，在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝eq \r(3)AC，则tan A＝__eq \f(\r(3),3)__，∠B＝__60°__．13．如图，在△ABC中，cos B＝eq \f(\r(2),2)，sin C＝eq \f(3,5)，AC＝10，则△ABC的面积为__42__．14．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30 m，用高1 m(AC＝1 m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是__(15eq \r(3)＋1)_m__．(结果保留根号)15．(2023·广元)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，－3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan ∠ABC＝eq \f(1,3)，则点C的坐标为__(eq \f(9,4)，0)__.三、解答题(共75分)16．(8分)计算：2cos230°－2sin60°·cos45°.解：原式＝2×(eq \f(\r(3),2))2－2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(6),2)＝eq \f(3－\r(6),2)17．(9分)已知，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝eq \f(3\r(3),2)，AB＝3，利用三角函数知识，求∠A，∠B的度数．解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝eq \f(3\r(3),2)，AB＝3，∴sin B＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(3),2).∴∠B＝60°.∴∠A＝90°－∠B＝30°.∴∠A，∠B的度数分别为30°，60°18．(9分)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝eq \f(3,2)，求sin A＋cos B的值．解：在Rt△ACD中，CD＝6，tan A＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(3,2)，∴AD＝4.∴BD＝AB－AD＝8.在Rt△BCD中，BC＝eq \r(82＋62)＝10.∴cos B＝ eq \f(BD,BC)＝ eq \f(4,5).在Rt△ADC中，AC＝ eq \r(42＋62)＝2 eq \r(13).∴sin A＝ eq \f(DC,AC)＝ eq \f(6,2\r(13))＝ eq \f(3,13) eq \r(13).∴sin A＋cos B＝ eq \f(3,13) eq \r(13)＋ eq \f(4,5)19．(9分)(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数．参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)解：由题意得PC⊥AB，EF∥AB，∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BPF＝40°，在Rt△APC中，AP＝100海里，∴PC＝AP·sin 72°≈100×0.95＝95(海里)，在Rt△BCP中，BP＝eq \f(PC,sin40°)≈eq \f(95,0.64)≈148(海里)，∴B处距离灯塔P约有148海里20．(9分)(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，由题意得AF⊥BC，DE＝AF，∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴eq \f(AF,BF)＝eq \f(3,4)，∴设AF＝3x米，则BF＝4x米，在Rt△ABF中，AB＝eq \r(AF2＋BF2)＝eq \r(（3x）2＋（4x）2)＝5x(米)，在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，∴DE＝CD·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF＝DE＝6.2米，∴3x＝6.2，解得x＝eq \f(31,15)，∴AB＝5x≈10.3(米)，∴斜坡AB的长约为10.3米21．(10分)(永州中考)已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).(1)如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示)，若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin ∠ACB＝eq \f(5\r(3),14)，求景观桥CD的长度．解：(1)∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵ eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)，∴ eq \f(6,sin60°)＝ eq \f(b,sin45°)，∴b＝2 eq \r(6)(2)∵ eq \f(AB,sin ∠ACB)＝ eq \f(AC,sin B)，∴ eq \f(10,\f(5\r(3),14))＝ eq \f(14,sin B)，∴sin B＝ eq \f(\r(3),2)，∴∠B＝60°，∴tan B＝eq \f(CD,BD)＝eq \r(3)，∴BD＝eq \f(\r(3),3)CD，∵AC2＝CD2＋AD2，∴196＝CD2＋(10－eq \f(\r(3),3)CD)2，∴CD＝8eq \r(3)或CD＝－3eq \r(3)(舍去)，∴CD的长度为8eq \r(3)米22．(10分)(2023·衡阳)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24eq \r(3)米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．(1)求教学楼AB的高度；(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4eq \r(3)米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB.解：(1)过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，BM＝AC＝24eq \r(3)米，∠DBM＝30°，∴DM＝BM·tan ∠DBM＝24eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＝24(米)，∴AB＝CM＝CD－DM＝49.6－24＝25.6(米).答：教学楼AB的高度为25.6米　(2)连接EB并延长交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，BM＝AC＝24eq \r(3)米，EM＝CM－CE＝24米，∴tan ∠MBE＝eq \f(EM,BM)＝eq \f(24,24\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠MBE＝30°＝∠DGE，∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＝90°－30°＝60°，在Rt△EDG中，ED＝CD－CE＝49.6－1.6＝48(米)，∴DG＝ED·tan60°＝48eq \r(3)(米)，∴48eq \r(3)÷4eq \r(3)＝12(秒)，∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线23．(11分)如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100 cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°.　(1)求AE的长(结果取整数)；(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少？(结果取整数，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)解：(1)在Rt△ADF中，cos ∠DAF＝eq \f(AF,AD)，∴AF＝AD·cos ∠DAF＝100cos28°≈100×0.88＝88(cm)，在Rt△AEF中，cos ∠EAF＝eq \f(AF,AE)，∴AE＝eq \f(AF,cos ∠EAF)＝eq \f(88,cos13°)≈eq \f(88,0.97)≈91(cm)　(2)设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，∴∠AMN＝∠MAG＋∠DGA＝13°＋32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD·sin ∠DAC＝100sin28°≈100×0.47＝47(cm)，在Rt△DFG中，tan ∠DGA＝eq \f(DF,FG)，∴FG＝eq \f(47,tan32°)≈eq \f(47,0.62)≈75.8(cm)，∴AG＝AF＋FG≈88＋75.8＝163.8(cm)，在Rt△AGN中，AN＝AG·sin ∠DGA＝163.8×sin32°≈163.8×0.53≈86.8(cm)，∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝eq \r(2)AN≈1.41×86.8≈122.4(cm)，∴EM＝AM－AE≈122.4－91≈31.4(cm)，∴EM≈32 cm.当M、H重合时，EH的值最小，∴EH的最小值约为32 cm　　　锐角A三角函数　　13°28°32°sin A0.220.470.53cos A0.970.880.85tan A0.230.530.62