2024九年级数学下学期期末检测卷（附答案北师大版）

这是一份2024九年级数学下学期期末检测卷（附答案北师大版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则m的值为( D )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3BC，则tan B的值是( D )
A．eq \f(1,3) B．3 C．eq \f(\r(2),4) D．2eq \r(2)
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若eq \x\t(AB)＝eq \x\t(AC)，∠ACB＝65°，则∠BOC的度数为( C )
A．130° B．115° C．100° D．150°
eq \(\s\up7(),\s\d5(第3题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第4题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第6题图))
4．如图，某河堤的迎水坡AB的坡度为1∶eq \r(3)，堤高BC＝5 m，则坡面AB的长是( B )
A．5eq \r(3) m B．10 m C．15 m D．20 m
5．若二次函数y＝x2＋bx＋5的图象经过点(1，0)，则当2≤x≤6时y的取值范围是( B )
A．－5≤y≤5 B．－4≤y≤5 C．－3≤y≤5 D．0≤y≤5
6．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为( B )
A．eq \f(7,13) B．eq \f(12,13) C．eq \f(7,12) D．eq \f(13,12)
7．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，若∠E＝40°，则∠ABC的度数为( B )
A．110° B．115° C．120° D．125°
eq \(\s\up7(),\s\d5(第7题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第8题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第9题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第10题图))
8．如图是一座抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4 m，从O，A两处观测P处，仰角分别为α，β，且tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(3,2)，以点O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若水面上升1 m，则水面的宽为( A )
A．2eq \r(2) m B．2eq \r(3) m C．eq \f(3,2)eq \r(2) m D．eq \f(1,2)eq \r(3) m
9．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点．若－2＜x1＜－1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a＋2b＞0；③b2＞a＋c＋4ac；④a＞c＞b.其中正确的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，PA－PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是( C )
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．若抛物线y＝x2＋2x－m＋2的顶点在x轴上，则m＝__1__．
12．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC，若sin ∠BAC＝eq \f(1,3)，则tan ∠BOC＝__eq \f(\r(2),2)__．
eq \(\s\up7(),\s\d5(第12题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第13题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第14题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第15题图))
13．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B，与y轴交于点D，以AB为直径的半圆交y轴于点C，则线段CD的长为__3＋eq \r(3)__．
14．如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB，AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a＝__5__．
15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2eq \r(2)，D是AC边上的一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为__eq \r(5)－1__．
【解析】连接AE，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上．连接OE，OC，则OE＝eq \f(1,2)AB＝1，OC＝eq \r(OA2＋AC2)＝eq \r(5)，∴CE≥OC－OE＝eq \r(5)－1(当且仅当点E在线段OC上时“＝”成立).
三、解答题(共75分)
16．(7分)如图，二次函数y＝－x2＋ax＋a＋4的图象经过点P(－2，2).
(1)求a的值和该二次函数图象的顶点坐标；
(2)当m－1≤x≤m＋3时，该二次函数有最大值－1，请结合函数图象求出m的值．
解：(1)将点P(－2，2)代入y＝－x2＋ax＋a＋4，得－4－2a＋a＋4＝2，解得a＝－2，∴y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3，∴顶点坐标为(－1，3)
(2)当y＝－1时，x＝1或－3，∴m＋3＝－3或m－1＝1，∴m＝－6或m＝2
17．(8分)如图，CD为⊙O的弦，直径AB⊥CD于点E，且tan ∠ADC＝eq \f(1,2)，点F为⊙O上的一点．
(1)求证：BE＝CD；
(2)求sin ∠CFD的值．
解：(1)证明：∵⊙O的直径AB⊥CD于点E，∴CD＝2DE，tan ∠ADC＝eq \f(AE,DE)＝eq \f(1,2).设AE＝x，⊙O的半径为r，则DE＝2x，OE＝OA－AE＝r－x，∴CD＝2DE＝4x.连接OD，在Rt△ODE中，∵OE2＋DE2＝OD2，∴(r－x)2＋(2x)2＝r2，∴r＝2.5x，∴OE＝1.5x，∴BE＝2.5x＋1.5x＝4x＝CD
(2)连接OC，∵⊙O的直径AB⊥CD于点E，∴eq \x\t(AC)＝eq \x\t(AD)，∴∠AOD＝eq \f(1,2)∠COD＝∠CFD，∴sin ∠CFD＝sin ∠AOD＝eq \f(DE,OD)＝eq \f(2x,2.5x)＝eq \f(4,5)
18．(8分)如图，某海域有A，B两个港口相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离(结果保留根号)．
解：过点A作AD⊥BC于点D，由题意可得∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，∴在Rt△ABD中，∠DAB＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°，AD＝AB·sin ∠ABD＝80sin 60°＝80× eq \f(\r(3),2)＝40 eq \r(3)(海里).又∵∠CAB＝30°＋45°＝75°，∴∠DAC＝∠CAB－∠BAD＝75°－30°＝45°，∴AC＝ eq \f(AD,cs ∠DAC)＝ eq \f(40\r(3),cs 45°)＝ eq \f(40\r(3),\f(\r(2),2))＝40 eq \r(6)(海里)，∴货船与港口A之间的距离是40eq \r(6)海里
19．(8分)某网店销售一种儿童玩具，成本为每件30元，物价部门规定销售利润不高于成本的60%.在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系．当销售单价为35元/件时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元/件时，每天的销售量为300件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少时该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(350＝35k＋b，,300＝40k＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－10，,b＝700，))∴y＝－10x＋700
(2)设当销售单价为x元/件时该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润为W元，则W＝(x－30)y＝(x－30)(－10x＋700)＝－10x2＋1 000x－21 000＝－10(x－50)2＋4 000.又∵x≤30×(1＋60%)＝48，∴当x＝48时，W最大值＝－10×(48－50)2＋4 000＝3 960，∴当销售单价为48元/件时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3 960元
20．(10分)如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN∥AB.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸的头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7 m.
(1)求∠C的大小及AB的长；
(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位)(参考数据：tan 76°取4，eq \r(17)取4.1).
解：(1)根据题意可知∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，∴∠C＝180°－∠CAB－∠CBA＝76°，∴AB＝BC·tan C＝1.7tan 76°≈1.7×4＝6.8(m)
(2)如图所示的线段DH即为所求作，则OH⊥AB.连接OM，又∵AB∥MN，∴OH⊥MN，∠OMD＝∠BOM＝2∠BAM＝14°，∴∠MOD＝90°－∠OMD＝76°，∴DM＝OD·tan ∠MOD＝OD·tan76°≈4OD，∴OM＝eq \r(OD2＋DM2)≈eq \r(OD2＋（4OD）2)＝eq \r(17)OD.又∵OM＝OA＝eq \f(1,2)AB≈3.4 m，∴OD≈eq \f(\r(17),5)≈0.82 m，∴DH＝OH－OD＝OA－OD≈3.4－0.82＝2.58≈2.6(m)，∴最大水深约为2.6 m
21．(10分)如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D＝2∠A，作CH⊥AB于点H.
(1)判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若HB＝2，cs D＝eq \f(3,5)，请求出AC的长．
解：(1)DC与⊙O相切，理由如下：连接OC，∵∠COB＝2∠A，∠D＝2∠A，∴∠COB＝∠D.在 Rt△DEP中，∵∠DEP＝90°，∴∠P＋∠D＝90°，∴∠P＋∠COB＝90°，∴∠OCP＝90°，∴OC⊥DC，∴DC与⊙O相切
(2)由(1)可知∠OCP＝90°，∠COP＝∠D，∴cs ∠COP＝cs D＝eq \f(3,5).∵CH⊥OP，∴∠CHO＝90°.设⊙O的半径为r，则OH＝OB－BH＝r－2，∴在Rt△CHO中，cs ∠HOC＝eq \f(OH,OC)＝eq \f(r－2,r)＝eq \f(3,5)，∴r＝5，∴OH＝3，∴CH＝eq \r(OC2－OH2)＝eq \r(52－32)＝4，∴AH＝AB－HB＝10－2＝8，∴在Rt△ACH中，AC＝eq \r(AH2＋CH2)＝eq \r(82＋42)＝4eq \r(5)
22．(12分)如图，排球运动场的场地长18 m，球网在场地中央且高度为2.24 m，球网距离球场左、右边界均为9 m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为h m，当排球运动到水平距离球网3 m时达到最大高度2.5 m，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)当h＝2时，①求抛物线的表达式；②排球过网后，如果对方没有拦住球，判断排球能否落在界内，并说明理由；
(2)若排球既能过网(不触网)又不出界(不接触边界)，求h的取值范围．
解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为(6，2.5)，∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋2.5.
(1)①当h＝2时，2＝(0－6)2a＋2.5，解得a＝－eq \f(1,72)，∴y＝－eq \f(1,72)(x－6)2＋2.5
②排球不能落在界内，理由如下：当y＝－eq \f(1,72)(x－6)2＋2.5＝0时，解得x1＝6eq \r(5)＋6，x2＝－6eq \r(5)＋6(舍去)，∵6eq \r(5)＋6＞18，∴排球不能落在界内
(2)①当抛物线经过点(9，2.24)时，(9－6)2a＋2.5＝2.24，解得a＝－eq \f(13,450)，∴此时y＝－eq \f(13,450)(x－6)2＋2.5，∴此时h＝－eq \f(13,450)×(0－6)2＋2.5＝eq \f(73,50)；②当抛物线经过点(18，0)时，(18－6)2a＋2.5＝0，解得a＝－eq \f(5,288)，∴此时y＝－eq \f(5,288)(x－6)2＋2.5，∴此时h＝－eq \f(5,288)×(0－6)2＋2.5＝eq \f(15,8).∴若排球既能过网(不触网)又不出界(不接触边界)，h的取值范围是eq \f(73,50)＜h＜eq \f(15,8)
23．(12分)如图①，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－eq \f(3,4)x＋3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图②，F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，点G是线段AB上的动点，连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．
解：(1)y＝－x2＋eq \f(13,4)x＋3
(2)存在，理由如下：过点B作BH⊥CD于点H，设C(t，0)，且0＜t＜4，则D(t，－t2＋eq \f(13,4)t＋3)，E(t，－eq \f(3,4)t＋3)，H(t，3)，∴EC＝－eq \f(3,4)t＋3，AC＝4－t，BH＝t，DH＝－t2＋eq \f(13,4)t，DE＝－t2＋4t.∵∠BED＝∠AEC，∴①当∠BDE＝∠ACE＝90°时，△BDE∽△ACE，∴此时BD∥AC，∴yD＝yB＝3，即－t2＋eq \f(13,4)t＋3＝3，解得t1＝0(舍去)，t2＝eq \f(13,4)，∴D(eq \f(13,4)，3)；②当∠DBE＝∠ACE＝90°时，△DBE∽△ACE，∴eq \f(BH,DH)＝tan ∠BDE＝tan ∠CAE＝eq \f(CE,AC)，∴BH·AC＝CE·DH，∴t(4－t)＝(－eq \f(3,4)t＋3)(－t2＋eq \f(13,4)t)，解得t1＝0(舍去)，t2＝4(舍去)，t3＝eq \f(23,12)，∴D(eq \f(23,12)，eq \f(50,9)).综上所述，点D的坐标为(eq \f(13,4)，3)或(eq \f(23,12)，eq \f(50,9))
(3)∵四边形DEGF是平行四边形，∴DE∥FG，DE＝FG.设D(m，－m2＋eq \f(13,4)m＋3)，F(n，－n2＋eq \f(13,4)n＋3)，且0＜m＜4，0＜n＜4，m≠n，则E(m，－eq \f(3,4)m＋3)，G(n，－eq \f(3,4)n＋3)，则DE＝－m2＋4m，FG＝－n2＋4n，∴－m2＋4m＝－n2＋4n，即(m－n)(m＋n－4)＝0.∵m－n≠0，∴m＋n－4＝0，即m＋n＝4.过点G作GK⊥CD于点K，则GK∥AC，∴∠EGK＝∠BAO，∴eq \f(GK,EG)＝cs ∠EGK＝cs ∠BAO＝ eq \f(AO,AB)，即GK·AB＝AO·EG，∴5(n－m)＝4EG，即EG＝ eq \f(5,4)(n－m)，∴▱DEGF的周长＝2(DE＋EG)＝2[(－m2＋4m)＋ eq \f(5,4)(n－m)]＝－2(m－ eq \f(3,4))2＋ eq \f(89,8).∵－2＜0，∴当m＝ eq \f(3,4)时，▱DEGF周长最大为 eq \f(89,8)，∴n＝4－m＝ eq \f(13,4)，∴此时点G(eq \f(13,4)，eq \f(9,16))；当D，F互换时，结论也成立，此时G(eq \f(3,4)，eq \f(39,16)).综上所述，点G的坐标为(eq \f(13,4)，eq \f(9,16))或(eq \f(3,4)，eq \f(39,16))