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    2024年高考数学重难点突破讲义:2021全国甲卷(文)

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    2024年高考数学重难点突破讲义:2021全国甲卷(文)

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    这是一份2024年高考数学重难点突破讲义:2021全国甲卷(文),共16页。试卷主要包含了 设集合,则,5万元农户比率估计为6%,5万元的农户比率估计为10%,5万元, 已知,则, 在中,已知,,,则, 记为等比数列的前n项和等内容,欢迎下载使用。
    文科数学
    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 设集合,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】,故.
    2. 为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
    根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )
    A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元农户比率估计为6%
    B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
    C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
    D. 估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
    【答案】C
    【解析】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
    该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确;
    该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确;
    该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确;
    该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元),超过6.5万元,故C错误.
    综上,给出结论中不正确的是C.
    3. 已知,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】,
    .
    4. 下列函数中是增函数的为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】对于A,为上的减函数,不合题意,舍.
    对于B,为上的减函数,不合题意,舍.
    对于C,在为减函数,不合题意,舍.
    对于D,为上的增函数,符合题意,
    5. 点到双曲线的一条渐近线的距离为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】由题意可知,双曲线的渐近线方程为:,即,
    结合对称性,不妨考虑点到直线的距离:.
    6. 青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为( )()
    A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6
    【答案】C
    【解析】由,当时,,
    则.
    7. 在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】由题意及正视图可得几何体的直观图,如图所示,
    所以其侧视图为
    8. 在中,已知,,,则( )
    A. 1B. C. D. 3
    【答案】D
    【解析】设,
    结合余弦定理:可得:,
    即:,解得:(舍去),
    故.
    9. 记为等比数列的前n项和.若,,则( )
    A. 7B. 8C. 9D. 10
    【答案】A
    【解析】∵为等比数列的前n项和,
    ∴,,成等比数列
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    10. 将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )
    A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.8
    【答案】C
    【解析】将3个1和2个0随机排成一行,可以:
    ,共10种排法,
    其中2个0不相邻的排列方法为:
    ,共6种方法,
    故2个0不相邻的概率为.
    11. 若,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】

    ,,,解得,
    ,.
    12. 设是定义域为R的奇函数,且.若,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】由题意可得:,
    而,故.
    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13. 若向量满足,则_________.
    【答案】
    【解析】∵
    ∴,∴.
    14. 已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为则该圆锥的侧面积为________.
    【答案】
    【解析】∵


    ∴.
    15. 已知函数的部分图像如图所示,则_______________.
    【答案】
    【解析】由题意可得:,
    当时,,
    令可得:,
    据此有:.
    16. 已知为椭圆C:的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为________.
    【答案】
    【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点,
    且,所以四边形矩形,
    设,则,
    所以,
    ,即四边形面积等于.
    三、解答题:共70分.解答应写出交字说明、证明过程程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
    (一)必考题:共60分.
    17. 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
    (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
    (2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
    附:
    【解析】(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
    乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
    (2),
    故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
    18. 记为数列的前n项和,已知,且数列是等差数列,证明:是等差数列.
    【解析】∵数列是等差数列,设公差为
    ∴,
    ∴,
    ∴当时,
    当时,,满足,
    ∴的通项公式为,

    ∴是等差数列.
    19. 已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,.
    (1)求三棱锥的体积;
    (2)已知D为棱上的点,证明:.
    【解析】(1)由于,,所以,
    又AB⊥BB1,,故平面,
    则,为等腰直角三角形,
    ,.
    (2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体,如图所示,取棱的中点,连结,
    正方形中,为中点,则,
    又,
    故平面,而平面,
    从而.
    20. 设函数,其中.
    (1)讨论的单调性;
    (2)若的图象与轴没有公共点,求a的取值范围.
    【解析】(1)函数定义域为,
    又,
    因为,故,
    当时,;当时,;
    所以的减区间为,增区间为.
    (2)因为且的图与轴没有公共点,
    所以图象在轴的上方,
    由(1)中函数的单调性可得,
    故即.
    21. 抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上,直线l:交C于P,Q两点,且.已知点,且与l相切.
    (1)求C,的方程;
    (2)设是C上的三个点,直线,均与相切.判断直线与的位置关系,并说明理由.
    【解析】(1)依题意设抛物线,

    所以抛物线的方程为,
    与相切,所以半径为,
    所以的方程为;
    (2)[方法一]:设
    若斜率不存在,则方程为或,
    若方程为,根据对称性不妨设,
    则过与圆相切的另一条直线方程为,
    此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在,不合题意;
    若方程为,根据对称性不妨设
    则过与圆相切的直线为,
    又,
    ,此时直线关于轴对称,
    所以直线与圆相切;
    若直线斜率均存在,
    则,
    所以直线方程为,
    整理得,
    同理直线的方程为,
    直线的方程为,
    与圆相切,
    整理得,
    与圆相切,同理
    所以为方程的两根,

    到直线的距离为:

    所以直线与圆相切;
    综上若直线与圆相切,则直线与圆相切.
    [方法二]【最优解】:设.
    当时,同解法1.
    当时,直线的方程为,即.
    由直线与相切得,化简得,
    同理,由直线与相切得.
    因为方程同时经过点,所以的直线方程为,点M到直线距离为.
    所以直线与相切.
    综上所述,若直线与相切,则直线与相切.
    (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
    [选修4-4:坐标系与参数方程]
    22. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
    (1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;
    (2)设点A的直角坐标为,M为C上的动点,点P满足,写出Р的轨迹的参数方程,并判断C与是否有公共点.
    【解析】(1)由曲线C的极坐标方程可得,
    将代入可得,即,
    即曲线C的直角坐标方程为;
    (2)
    [方法一]【最优解】
    设,设


    则,即,
    故P的轨迹的参数方程为(为参数)
    曲线C的圆心为,半径为,曲线的圆心为,半径为2,
    则圆心距为,,两圆内含,
    故曲线C与没有公共点.
    [方法二]:
    设点的直角坐标为,,,因为,
    所以,,,
    由,
    即,
    解得,
    所以,,代入的方程得,
    化简得点的轨迹方程是,表示圆心为,,半径为2的圆;
    化为参数方程是,为参数;
    计算,
    所以圆与圆内含,没有公共点.
    [选修4-5:不等式选讲]
    23. 已知函数.
    (1)画出和的图像;
    (2)若,求a的取值范围.
    【解析】(1)可得,画出图像如下:
    ,画出函数图像如下:
    (2),
    如图,在同一个坐标系里画出图像,
    是平移了个单位得到,
    则要使,需将向左平移,即,
    当过时,,解得或(舍去),
    则数形结合可得需至少将向左平移个单位,.
    一级品
    二级品
    合计
    甲机床
    150
    50
    200
    乙机床
    120
    80
    200
    合计
    270
    130
    400
    0.050
    0.010
    0.001
    k
    3.841
    6.635
    10.828

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