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2024年高考数学重难点突破讲义:2021全国甲卷(文)
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这是一份2024年高考数学重难点突破讲义:2021全国甲卷(文),共16页。试卷主要包含了 设集合,则,5万元农户比率估计为6%,5万元的农户比率估计为10%,5万元, 已知,则, 在中,已知,,,则, 记为等比数列的前n项和等内容,欢迎下载使用。
文科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,故.
2. 为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【解析】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确;
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确;
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确;
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元),超过6.5万元,故C错误.
综上,给出结论中不正确的是C.
3. 已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,
.
4. 下列函数中是增函数的为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A,为上的减函数,不合题意,舍.
对于B,为上的减函数,不合题意,舍.
对于C,在为减函数,不合题意,舍.
对于D,为上的增函数,符合题意,
5. 点到双曲线的一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知,双曲线的渐近线方程为:,即,
结合对称性,不妨考虑点到直线的距离:.
6. 青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为( )()
A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6
【答案】C
【解析】由,当时,,
则.
7. 在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意及正视图可得几何体的直观图,如图所示,
所以其侧视图为
8. 在中,已知,,,则( )
A. 1B. C. D. 3
【答案】D
【解析】设,
结合余弦定理:可得:,
即:,解得:(舍去),
故.
9. 记为等比数列的前n项和.若,,则( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】∵为等比数列的前n项和,
∴,,成等比数列
∴,
∴,
∴.
10. 将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )
A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.8
【答案】C
【解析】将3个1和2个0随机排成一行,可以:
,共10种排法,
其中2个0不相邻的排列方法为:
,共6种方法,
故2个0不相邻的概率为.
11. 若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
,
,,,解得,
,.
12. 设是定义域为R的奇函数,且.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得:,
而,故.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 若向量满足,则_________.
【答案】
【解析】∵
∴,∴.
14. 已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为则该圆锥的侧面积为________.
【答案】
【解析】∵
∴
∴
∴.
15. 已知函数的部分图像如图所示,则_______________.
【答案】
【解析】由题意可得:,
当时,,
令可得:,
据此有:.
16. 已知为椭圆C:的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为________.
【答案】
【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点,
且,所以四边形矩形,
设,则,
所以,
,即四边形面积等于.
三、解答题:共70分.解答应写出交字说明、证明过程程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17. 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附:
【解析】(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
(2),
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
18. 记为数列的前n项和,已知,且数列是等差数列,证明:是等差数列.
【解析】∵数列是等差数列,设公差为
∴,
∴,
∴当时,
当时,,满足,
∴的通项公式为,
∴
∴是等差数列.
19. 已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,.
(1)求三棱锥的体积;
(2)已知D为棱上的点,证明:.
【解析】(1)由于,,所以,
又AB⊥BB1,,故平面,
则,为等腰直角三角形,
,.
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体,如图所示,取棱的中点,连结,
正方形中,为中点,则,
又,
故平面,而平面,
从而.
20. 设函数,其中.
(1)讨论的单调性;
(2)若的图象与轴没有公共点,求a的取值范围.
【解析】(1)函数定义域为,
又,
因为,故,
当时,;当时,;
所以的减区间为,增区间为.
(2)因为且的图与轴没有公共点,
所以图象在轴的上方,
由(1)中函数的单调性可得,
故即.
21. 抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上,直线l:交C于P,Q两点,且.已知点,且与l相切.
(1)求C,的方程;
(2)设是C上的三个点,直线,均与相切.判断直线与的位置关系,并说明理由.
【解析】(1)依题意设抛物线,
,
所以抛物线的方程为,
与相切,所以半径为,
所以的方程为;
(2)[方法一]:设
若斜率不存在,则方程为或,
若方程为,根据对称性不妨设,
则过与圆相切的另一条直线方程为,
此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在,不合题意;
若方程为,根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为,
又,
,此时直线关于轴对称,
所以直线与圆相切;
若直线斜率均存在,
则,
所以直线方程为,
整理得,
同理直线的方程为,
直线的方程为,
与圆相切,
整理得,
与圆相切,同理
所以为方程的两根,
,
到直线的距离为:
,
所以直线与圆相切;
综上若直线与圆相切,则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】:设.
当时,同解法1.
当时,直线的方程为,即.
由直线与相切得,化简得,
同理,由直线与相切得.
因为方程同时经过点,所以的直线方程为,点M到直线距离为.
所以直线与相切.
综上所述,若直线与相切,则直线与相切.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点A的直角坐标为,M为C上的动点,点P满足,写出Р的轨迹的参数方程,并判断C与是否有公共点.
【解析】(1)由曲线C的极坐标方程可得,
将代入可得,即,
即曲线C的直角坐标方程为;
(2)
[方法一]【最优解】
设,设
,
,
则,即,
故P的轨迹的参数方程为(为参数)
曲线C的圆心为,半径为,曲线的圆心为,半径为2,
则圆心距为,,两圆内含,
故曲线C与没有公共点.
[方法二]:
设点的直角坐标为,,,因为,
所以,,,
由,
即,
解得,
所以,,代入的方程得,
化简得点的轨迹方程是,表示圆心为,,半径为2的圆;
化为参数方程是,为参数;
计算,
所以圆与圆内含,没有公共点.
[选修4-5:不等式选讲]
23. 已知函数.
(1)画出和的图像;
(2)若,求a的取值范围.
【解析】(1)可得,画出图像如下:
,画出函数图像如下:
(2),
如图,在同一个坐标系里画出图像,
是平移了个单位得到,
则要使,需将向左平移,即,
当过时,,解得或(舍去),
则数形结合可得需至少将向左平移个单位,.
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
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