2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 第3讲　直线与双曲线

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 第3讲　直线与双曲线，共6页。试卷主要包含了若点P是双曲线C1，已知F为双曲线C，已知双曲线E，已知双曲线C，记双曲线C等内容，欢迎下载使用。
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
B．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解析】 由题意可知，a＝2，c＝eq \r(4＋12)＝4，|PF1|≥c－a＝2，若|PF2|＝5，则||PF1|－5|＝4，|PF1|＝9或1(舍去)．若|PF1|＝9，则|9－|PF2||＝4，|PF2|＝5或13，故“|PF2|＝5”是“|PF1|＝9”的充分不必要条件．
2．(2022·日照三模)下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线互相垂直的是( A )
A．y2－x2＝4B．eq \f(x2,3)－y2＝1
C．eq \f(y2,3)－x2＝1D．x2－y2＝1
【解析】 由于双曲线的焦点在y轴上，所以B，D不满足题意，A中双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线的斜率乘积为－1，所以两渐近线互相垂直，所以A满足题意；C中双曲线的渐近线为y＝±eq \r(3)x，两渐近线的斜率乘积不为－1，所以两渐近线不互相垂直，所以C不满足题意．
3．(2023·全国甲卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(,5)，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( D )
A．eq \f(\r(,5),5)B．eq \f(2\r(,5),5)
C．eq \f(3\r(,5),5)D．eq \f(4\r(,5),5)
【解析】 由e＝eq \r(,5)，得eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝5，解得eq \f(b,a)＝2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x，则圆心(2,3)到渐近线的距离d＝eq \f(|2×2－3|,\r(,22＋1))＝eq \f(\r(,5),5)，所以弦长|AB|＝2eq \r(,r2－d2)＝2eq \r(,1－\f(1,5))＝eq \f(4\r(,5),5)．
4．(2023·梅州一模)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°，则该双曲线的离心率为( D )

(第4题)
A．3eq \r(,3)B．eq \r(,3)
C．2eq \r(,3)D．eq \f(2\r(,3),3)
【解析】 双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方程为y＝±eq \f(a,b)x，双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°，根据双曲线两条渐近线对称关系可得y＝eq \f(a,b)x的倾斜角为60°，则eq \f(a,b)＝tan60°＝eq \r(,3)，则b2＝eq \f(1,3)a2，所以c2＝a2＋b2＝eq \f(4,3)a2，则该双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(,\f(\f(4,3)a2,a2))＝eq \f(2\r(,3),3)．
5．(2023·肇庆二检)已知F为双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的左焦点，P为其右支上一点，点A(0，－6)，则△APF周长的最小值为( B )
A．4＋6eq \r(,2)B．4＋6eq \r(,5)
C．6＋6eq \r(,2)D．6＋6eq \r(,5)
【解析】 如图，设双曲线的右焦点为M，由双曲线的方程可得a2＝4，b2＝5，则a＝2，b＝eq \r(,5)，c＝3，所以F(－3,0)，M(3,0)，且|PF|－|PM|＝2a＝4，所以|PF|＝|PM|＋4，△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋|PM|＋4＋∣AF|＝|PA|＋|PM|＋4＋3eq \r(,5)≥|AM|＋4＋3eq \r(,5)＝4＋6eq \r(,5)，当且仅当M，P，A三点共线时取等号，则△APF周长的最小值为4＋6eq \r(,5)．
(第5题)
6．(2023·石家庄期初)(多选)已知双曲线E：eq \f(x2,4)－y2＝λ(λ≠0)，则( AC )
A．∀λ≠0，E的渐近线方程为x±2y＝0
B．∀λ≠0，E的离心率为eq \f(\r(,5),2)
C．∃λ≠0，E的离心率为eq \r(,5)
D．∀λ≠0，E的虚轴长为2eq \r(,λ)
【解析】 当λ＞0时，E的方程可化为eq \f(x2,4λ)－eq \f(y2,λ)＝1，此时其渐近线方程为x±2y＝0，离心率为eq \r(,\f(5λ,4λ))＝eq \f(\r(,5),2)，虚轴长为2eq \r(,λ)；当λ＜0时，E的方程可化为eq \f(y2,－λ)－eq \f(x2,－4λ)＝1，此时其渐近线方程为x±2y＝0，离心率为eq \r(,\f(－5λ,－λ))＝eq \r(,5)，虚轴长为4eq \r(,－λ)，故AC正确，BD错误．
7．(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝eq \f(\r(,6),6)x与双曲线C相交于P，Q两点，则下列说法正确的是( ACD )
A．双曲线C的离心率为eq \f(2\r(,3),3)
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \r(,3)x
C．直线PA1，PA2的斜率之积为eq \f(1,3)
D．cs∠F1PF2＝eq \f(3,5)
【解析】 在双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1中，a＝eq \r(,3)，b＝1，c＝eq \r(,a2＋b2)＝2．对于A，双曲线C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(,3))＝eq \f(2\r(,3),3)，故A正确；对于B，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(,3),3)x，故B错误；对于C，设P(x，y)，A1(－eq \r(,3)，0)，A2(eq \r(,3)，0)，则kPA1·kPA2＝eq \f(y,x＋\r(,3))·eq \f(y,x－\r(,3))＝eq \f(y2,x2－3)＝eq \f(\f(x2,3)－1,x2－3)＝eq \f(1,3)，即直线PA1，PA2的斜率之积为eq \f(1,3)，故C正确；对于D，不妨设点P在第一象限，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)－y2＝1，,y＝\f(\r(,6),6)x，))消去y得x2＝6，解得x＝±eq \r(,6)，所以P(eq \r(,6)，1)，则|PF1|＝eq \r(,\r(,6)＋22＋12)＝eq \r(,11＋4\r(,6))，|PF2|＝eq \r(,\r(,6)－22＋12)＝eq \r(,11－4\r(,6))，所以|PF1|·|PF2|＝5．在△F1PF2中，由余弦定理得cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(|PF1|－|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)eq \f(12＋2|PF1|·|PF2|－16,2|PF1|·|PF2|)＝1－eq \f(2,|PF1|·|PF2|)＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5)，故D正确．
8．(2023·宝鸡期末)若动点P与点F1(0,5)，F2(0，－5)满足|PF1|－|PF2|＝6，则点P的轨迹方程为__eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1(y≤－3)__．
【解析】 由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝10知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线下支，得c＝5,2a＝6，所以a＝3，b2＝c2－a2＝16，故动点P的轨迹方程是eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1(y≤－3)．
9．(2022·全国甲卷)记双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值：__2(满足1＜e≤eq \r(5)皆可)__．
【解析】 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，所以C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，结合渐近线的特点，只需0＜eq \f(b,a)≤2，即eq \f(b2,a2)≤4，可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))≤eq \r(1＋4)＝eq \r(5)，又因为e＞1，所以1＜e≤eq \r(5)．
10．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，过F且斜率为eq \f(b,4a)的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是__eq \f(3\r(6),4)__．
【解析】 过点F且斜率为eq \f(b,4a)的直线AB为y＝eq \f(b,4a)(x＋c)，渐近线l2：y＝eq \f(b,a)x，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,4a)x＋c，,y＝\f(b,a)x，))得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,3)，\f(bc,3a)))．由|FB|＝3|FA|，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5c,9)，\f(bc,9a)))，而点A在双曲线上，于是eq \f(25c2,81a2)－eq \f(b2c2,81a2b2)＝1，解得eq \f(c2,a2)＝eq \f(81,24)，所以离心率e＝eq \f(3\r(6),4)．
(第10题)
11．(2023·吉林二调)在平面内，动点M(x，y)与定点F(2,0)的距离和它到定直线l：x＝eq \f(1,2)的距离比是常数2．
(1) 求动点M的轨迹方程；
【解答】 由已知可得eq \f(\r(,x－22＋y2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))))＝2，整理化简可得3x2－y2＝3，即x2－eq \f(y2,3)＝1，所以动点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,3)＝1．
(2) 若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求|OP|2＋|OQ|2的最小值．
【解答】 由OP⊥OQ可设直线OP的方程为y＝kx，直线OQ的方程为y＝－eq \f(1,k)x，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx，,3x2－y2＝3，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝\f(3,3－k2)，,y2＝\f(3k2,3－k2)，))所以|OP|2＝x2＋y2＝eq \f(31＋k2,3－k2)，同理可得|OQ|2＝eq \f(31＋k2,3k2－1)．又由|OP|2＞0且|OQ|2＞0，可得eq \f(1,3)＜k2＜3，所以eq \f(1,|OQ|2)＋eq \f(1,|OP|2)＝eq \f(3－k2＋3k2－1,31＋k2)＝eq \f(2,3)，所以|OP|2＋|OQ|2＝eq \f(3,2)(|OP|2＋|OQ|2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|OQ|2)＋\f(1,|OP|2)))＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(|OP|2,|OQ|2)＋\f(|OQ|2,|OP|2)))≥eq \f(3,2)(2＋2)＝6，当且仅当|OP|＝|OQ|＝eq \r(,3)时等号成立，所以|OP|2＋|OQ|2的最小值为6．
12．(2023·济南期初)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，直线y＝eq \r(,3)x为C的一条渐近线．
(1) 求C的方程．
【解答】 (1) 由题意得2a＝2，即a＝1．因为C的渐近线方程为y＝eq \r(,3)x．所以eq \f(b,a)＝eq \r(,3)，所以b＝eq \r(,3)，故C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1．
(2) 若过点(2,0)的直线与C交于P，Q两点，在x轴上是否存在定点M，使得eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】 当直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x＝ty＋2，代入x2－eq \f(y2,3)＝1，得3(ty＋2)2－y2＝3，即(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0,3t2－1≠0，Δ＝36(t2＋1)＞0．设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－eq \f(12t,3t2－1)，y1y2＝eq \f(9,3t2－1)．设点M(m,0)，则eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(ty1＋2－m)(ty2＋2－m)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋t(2－m)·(y1＋y2)＋(2－m)2＝eq \f(9t2＋1,3t2－1)－eq \f(12t22－m,3t2－1)＋(2－m)2＝eq \f(3m2－3t2－m2－4m－5,3t2－1)，若eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))为定值，令3m2－3＝3(m2－4m－5)，解得m＝－1，此时eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝m2－4m－5＝0．当直线l与x轴重合时，则点P，Q为双曲线的两顶点，不妨设点P(－1,0)，Q(1,0)．对于点M(－1,0)，eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝(－1＋1,0)·(1＋1，0)＝0，所以存在定点M(－1，0)，使eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝0为定值．