2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 特别策划1　数学建模——生产生活情境下预测与决策问题

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 特别策划1　数学建模——生产生活情境下预测与决策问题，共5页。

E(X1)＝300×eq \f(7,10)＋(－150)×eq \f(1,5)＋0×eq \f(1,10)＝180(万元)．D(X1)＝(300－180)2×eq \f(7,10)＋(－150－180)2×eq \f(1,5)＋(0－180)2×eq \f(1,10)＝1202×eq \f(7,10)＋3302×eq \f(1,5)＋1802×eq \f(1,10)＝35 100(或D(X1)＝3002×eq \f(7,10)＋(－150)2×eq \f(1,5)＋02×eq \f(1,10)－1802＝35 100)．
若按方案二，设获利X2万元，则X2的可能取值为500，－300,0，则X2的分布列为
E(X2)＝500×eq \f(1,2)＋(－300)×eq \f(1,5)＋0×eq \f(3,10)＝190(万元)，D(X2)＝(500－190)2×eq \f(1,2)＋(－300－190)2×eq \f(1,5)＋(0－190)2×eq \f(3,10)＝3102×eq \f(1,2)＋4902×eq \f(1,5)＋1902×eq \f(3,10)＝106 900(或D(X2)＝5002×eq \f(1,2)＋(－300)2×eq \f(1,5)＋02×eq \f(3,10)－1902＝106 900)．因为E(X1)＜E(X2)，D(X1)＜D(X2)．
①方案一与方案二的利润均值差异不大，但方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一．
②方案一的利润均值低于方案二，故选方案二．
2．某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次收取10元；
方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．
(1) 设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
【解答】 由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为y＝10x＋60，x∈N．方案二中的日收费y与x的函数关系式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(200，x≤15，x∈N，,20x－100，x＞15，x∈N.))
(2) 该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．
(第2题)
【解答】 设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为
所以E(X)＝190×0.1＋200×0.4＋210×0.1＋220×0.2＋230×0.2＝210(元)．
方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为
所以E(Y)＝200×0.6＋220×0.2＋240×0.2＝212(元)．
所以从节约成本的角度考虑，应选择方案一．
3．(2023·岳阳二模)根据国家统计局公布的数据，对2013—2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y(单位：座)进行统计，得到如下表格：
参考数据：eq \i\su(i＝1,8,y)i＝2 292，eq \i\su(i＝1,8,x)eq \\al(2,i)＝204，
eq \i\su(i＝1,8,y)eq \\al(2,i)＝730 348，eq \i\su(i＝1,8,x)iyi＝12 041,5732＝328 329，eq \r(,105)≈10.25，eq \r(,7 369)≈85.84．
(1) 根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明(精确到0.01)；
【解答】 eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8,8)＝eq \f(9,2)，eq \x\t(y)＝eq \f(2 292,8)＝eq \f(573,2)，
相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(,\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))
＝eq \f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\t(x)·\x\t(y),\r(,\i\su(i＝1,8,x)\\al(2,i)－8\x\t(x)2\i\su(i＝1,8,y)\\al(2,i)－8\x\t(y)2))
＝eq \f(12 041－8×\f(9,2)×\f(573,2),\r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(204－8×\f(81,4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(730 348－8×\f(32 8329,4)))))
＝eq \f(1 727,\r(,42)×\r(,73 690))≈eq \f(1 727,20.5×85.84)≈0.98．因为y与x的相关系数r≈0.98，接近1，所以y与x的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2) 求出y关于x的经验回归方程，并预测2024年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；
【解答】 eq \(b,\s\up6(^)) ＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\t(x)·\x\t(y),\i\su(i＝1,8,x)\\al(2,i)－8\x\t(x)2)＝eq \f(12 041－8×\f(9,2)×\f(573,2),204－8×\f(81,4))＝eq \f(1 727,42)≈41.12，eq \(a,\s\up6(^)) ＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x)≈eq \f(573,2)－41.12×eq \f(9,2)＝101.46，所以y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝41.12x＋101.46．又2024年对应的年份代码x＝12，当x＝12时，eq \(y,\s\up6(^)) ＝41.12×12＋101.46≈595，所以预测2024年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为595．
(3) 对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用(2)所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由．
【解答】 对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由(2)所求的经验回归方程预测，理由如下(说出一点即可)：
①经验回归方程具有时效性，不能预测较远情况；
②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；
③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式．
4．(2023·芜湖三模)在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭．主持人知道金蛋在哪个箱子里．游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到200元奖金；若金蛋不在此箱子里，抽奖人得到50元参与奖．无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭三个箱子，等待下一个抽奖人．
(1) 求前3位抽奖人抽中金蛋人数X的分布列和方差；
【解答】 由题意知，抽中金蛋人数X服从二项分布，即X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，即X所有可能的取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)；P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(12,27)＝eq \f(4,9)；P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(6,27)＝eq \f(2,9)；P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(1,27)，所以X的分布列为
所以中奖人数的方差D(X)＝3×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)．
(2) 为了增加节目效果，改变游戏规则．当抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中打开一个空箱子．与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会．如果抽奖人改变选择后，抽到金蛋，奖金翻倍；否则，取消参与奖．若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如何抉择呢？
【解答】 若改变选择，记获得奖金数为Y，则Y可能的取值为0,400，P(Y＝400)＝eq \f(2,3)×1＝eq \f(2,3)，P(Y＝0)＝1－P(Y＝400)＝eq \f(1,3)，所以改变选择时，获得奖金数的数学期望E(Y)＝0×eq \f(1,3)＋400×eq \f(2,3)＝eq \f(800,3)；若不改变选择，记获得奖金数为Z，则Z可能的取值为50,200，则P(Z＝50)＝eq \f(2,3)，P(Z＝200)＝eq \f(1,3)，所以不改变选择时，获得奖金数的数学期望E(Z)＝50×eq \f(2,3)＋200×eq \f(1,3)＝100．因为E(Y)＞E(Z)，所以抽奖人应改变选择．
X1
300
－150
0
P
eq \f(7,10)
eq \f(1,5)
eq \f(1,10)
X2
500
－300
0
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,5)
eq \f(3,10)
X
190
200
210
220
230
P
0.1
0.4
0.1
0.2
0.2
Y
200
220
240
P
0.6
0.2
0.2
年份
2013
2014
2015
2016
年份代码x
1
2
3
4
垃圾焚烧无害化处理厂的个数 y
166
188
220
249
年份
2017
2018
2019
2020
年份代码x
5
6
7
8
垃圾焚烧无害化处理厂的个数 y
286
331
389
463
X
0
1
2
3
P
eq \f(8,27)
eq \f(4,9)
eq \f(2,9)
eq \f(1,27)