2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 特别策划2　微切口1　离心率的计算

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 特别策划2　微切口1　离心率的计算，共6页。试卷主要包含了已知椭圆C，如图，已知双曲线C，已知双曲线E，设B是椭圆C，已知双曲线C，设双曲线C，已知椭圆C1等内容，欢迎下载使用。
1．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为( B )
A．eq \f(\r(2),2)B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,3)
【解析】 如图，设点F1关于∠F1PF2平分线的对称点为M，则P，F2，M三点共线，设|PF1|＝m，则|PM|＝m．又∠F1PF2＝eq \f(π,3)，所以△PF1M为等边三角形，所以|MF1|＝m，又|PF1|＋|MF1|＋|PM|＝4a＝3m，所以|PF1|＝eq \f(4,3)a，|PF2|＝eq \f(2,3)a，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2，即4c2＝eq \f(16,9)a2＋eq \f(4,9)a2－eq \f(8,9)a2，所以a2＝3c2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．
(第1题)
2．如图，已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线右支上一点，连接MF1交双曲线C的左支于点N，若△MNF2是以F2为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为( B )
(第2题)
A．eq \r(2)B．eq \r(3)
C．2D．eq \r(5)
【解析】 设|MF2|＝m，则|NF2|＝m，|MN|＝eq \r(2)m，|NF1|＝m－2a，|MF1|＝m－2a＋eq \r(2)m，因为|MF1|－|MF2|＝2a，所以－2a＋eq \r(2)m＝2a，故m＝2eq \r(2)a，在△NF1F2中，由余弦定理可知4c2＝(2eq \r(2)a－2a)2＋8a2－2(2eq \r(2)a－2a)·2eq \r(2)a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))，整理得4c2＝12a2，即e2＝3，所以e＝eq \r(3)．
3．(2023·泉州二测)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，过F且斜率为eq \r(,3)的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点P．若eq \(PF,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，则C的离心率为( C )
A．eq \f(\r(,3)－1,2)B．eq \f(\r(,5)－1,2)
C．eq \r(,3)－1D．eq \f(\r(,3)＋1,4)
【解析】 设直线l的方程为y＝eq \r(,3)(x＋c)，令x＝0，得P(0，eq \r(,3)c)．因为eq \(PF,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，所以A为PF的中点，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,2)，\f(\r(,3)c,2)))．因为点A在椭圆上，所以eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1，b2c2＋3a2c2＝4a2b2．因为b2＝a2－c2，代入化简整理得c4＋4a4－8a2c2＝0，所以eq \f(c4,a4)＋4－eq \f(8a2c2,a4)＝0，即e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2eq \r(,3)，e＝eq \r(,3)±1，又e∈(0,1)，所以e＝eq \r(,3)－1．
4．(2023·潍坊联考)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为( D )
A．2B．eq \f(\r(,5),2)
C．eq \r(,5)D．eq \r(,3)
【解析】 如图，由题意知点M在渐近线y＝－eq \f(b,a)x上，点N在渐近线y＝eq \f(b,a)x上，设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(b,a)m))，F(－c，0)，因为P，M恰为线段FN的三等分点，所以P为线段FM的中点，M为线段PN的中点，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－c,2)，－\f(bm,2a)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m－\f(m－c,2)，－\f(2bm,a)＋\f(bm,2a)))，即Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3m＋c,2)，－\f(3bm,2a)))，又点N在渐近线y＝eq \f(b,a)x上，所以eq \f(3m＋c,2)·eq \f(b,a)＝－eq \f(3bm,2a)，所以m＝－eq \f(1,6)c，故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7c,12)，\f(bc,12a)))．因为点P在双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上，所以eq \f(49c2,144a2)－eq \f(c2,144a2)＝1，所以3a2＝c2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(,3)．
(第4题)
5．已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线的离心率的取值范围为( B )
A．(1,2)B．(1,3)
C．(3，＋∞)D．(2,3)
【解析】 在△PF1F2中，由正弦定理知eq \f(|PF1|,sin∠PF2F1)＝eq \f(|PF2|,sin∠PF1F2)，因为2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，所以2|PF2|＝|PF1|．由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，因为|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，即4a＋2a＞2c，所以e＝eq \f(c,a)＜3．又e＞1，所以e∈(1,3)．
6．设B是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( C )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
【解析】 设P(x0，y0)，由B(0，b)，因为eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，a2＝b2＋c2，所以|PB|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－b)2＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y\\al(2,0),b2)))＋(y0－b)2＝－eq \f(c2,b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(b3,c2)))2＋eq \f(b4,c2)＋a2＋b2，因为－b≤y0≤b，当－eq \f(b3,c2)≤－b，即b2≥c2时，|PB|eq \\al(2,max)＝4b2，即|PB|max＝2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0＜e≤eq \f(\r(2),2)．当－eq \f(b3,c2)＞－b，即b2＜c2时，|PB|eq \\al(2,max)＝eq \f(b4,c2)＋a2＋b2，即eq \f(b4,c2)＋a2＋b2≤4b2，化简得(c2－b2)2≤0，显然该不等式不成立．
7．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，eq \(OB,\s\up6(→))＝5eq \(OA,\s\up6(→))，若在双曲线C的渐近线上存在点M，使得∠AMB＝90°，则双曲线C的离心率的取值范围为( B )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),5)，＋∞))B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(5),5)))
C．[eq \r(5)，＋∞)D．(1，eq \r(5)]
【解析】 依题意，A(a,0)，B(5a,0)，则以AB为直径的圆D：(x－3a)2＋y2＝4a2．而∠AMB＝90°，故双曲线C的渐近线与圆D有交点，故圆心D(3a,0)到直线bx±ay＝0的距离d＝eq \f(3ab,c)≤2a，则3b≤2c，故9c2－9a2≤4c2,5c2≤9a2，则1＜e＝eq \f(c,a)≤eq \f(3\r(5),5)，故双曲线C的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(5),5)))．
8．(2023·唐山期末)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，过A且垂直于x轴的直线交C的渐近线于点P，PO恰为△PFA的角平分线，则C的离心率为__2__．
【解析】 如图，易知|OF|＝c，|OA|＝a，|PA|＝b，|PF|＝eq \r(,b2＋a＋c2)．由三角形角平分线定理得eq \f(|OA|,|PA|)＝eq \f(|OF|,|PF|)，即eq \f(a,b)＝eq \f(c,\r(,b2＋a＋c2))．又b2＝c2－a2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(c2－a2＋a2＋c2＋2ac,c2－a2)，即e2＝eq \f(2e2＋2e,e2－1)，整理得(e2－e－2)(e＋1)＝0，又e＞1，故e＝2．
(第8题)
9．(2023·芜湖三模)已知椭圆E的中心为O，E上存在两点A，B，满足△OAB是以半焦距为边长的正三角形，则E的离心率为__eq \r(,3)－1或eq \f(\r(,6),3)__．
【解析】 不妨设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，因为△OAB是以半焦距为边长的正三角形，根据椭圆的对称性，可知AB平行于x轴或AB平行于y轴．当AB平行于x轴时，如图(1)，A，B关于y轴对称，不妨设点A在第一象限，所以∠AOx＝60°，OA＝c，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(,3)c,2)))，代入椭圆方程得eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1，即c2(a2－c2)＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以c4－8a2c2＋4a4＝0，即e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4－2eq \r(,3)或e2＝4＋2eq \r(,3)(因为0＜e＜1，故舍去)，所以e＝eq \r(,3)－1；当AB平行于y轴时，如图(2)，A，B关于x轴对称，所以∠AOx＝30°，OA＝c，不妨设点A在第一象限，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3)c,2)，\f(c,2)))，代入椭圆方程得eq \f(3c2,4a2)＋eq \f(c2,4b2)＝1，即3c2(a2－c2)＋a2c2＝4a2(a2－c2)，即3c4－8a2c2＋4a4＝0，所以3e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e2＝eq \f(2,3)或e2＝2 (舍去)，故e＝eq \f(\r(,6),3)．综上，椭圆的离心率为eq \r(,3)－1或eq \f(\r(,6),3)．
图(1)
图(2)
(第9题)
10．已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与圆C2：x2＋y2＝eq \f(4b2,5)，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),4)))__．
【解析】 设过P的两条直线与圆C2分别切于点M，N，由两条切线相互垂直，知|OP|＝eq \r(2)×eq \f(2\r(5),5)b＝eq \f(2\r(10),5)b．又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，所以|OP|＞a，即eq \f(2\r(10),5)b＞a，所以eq \f(b,a)＞eq \f(\r(10),4)，所以椭圆C1的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＜eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,10),4)))2)＝eq \f(\r(6),4)，又e＞0，所以0＜e＜eq \f(\r(6),4)．
(第10题)