2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 特别策划2　微切口1　频率分布直方图的分析与应用

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 特别策划2　微切口1　频率分布直方图的分析与应用，共8页。

(第1题)
A．a＝0.100
B．该组数据的平均数的估计值小于众数的估计值
C．该组数据的第90百分位数约为109.2
D．在该组数据中随机选取一个数据记为n，已知n∈[100,104)，则n∈[100,102)的概率为eq \f(1,2)
【解析】 对于A，由题意可知(0.025＋a＋0.175＋0.125＋0.125)×2＝1，解得a＝0.050，故A错误；对于B，不妨设众数和平均数分别为b，eq \x\t(x)，由图可知显然有b＝eq \f(104＋106,2)＝105，eq \x\t(x)＝101×0.025×2＋103×0.050×2＋105×0.175×2＋107×0.125×2＋109×0.125×2＝106.1，因此b＜eq \x\t(x)，即平均数的估计值大于众数的估计值，故B错误；对于C，设第90百分位数为c，且注意到这100个数据落在区间[108,110]的概率为0.125×2＝0.25，所以c一定落在区间[108,110]内，所以(110－c)×0.125＝1－0.9，解得c＝109.2，故C正确；对于D，记 n∈[100,104)、n∈[100,102)分别为事件A，B，则由图可知P(A)＝(0.025＋0.050)×2＝0.150，P(B)＝P(AB)＝0.025×2＝0.050，则由条件概率公式得P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.050,0.150)＝eq \f(1,3)，故D错误．
2．某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50元到60元之间的学生有60人，则下列结论错误的是( D )
(第2题)
A．样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3
B．样本中消费支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2 000名学生参加研学，则约有20人消费支出在20元到30元之间
【解析】 根据频率分布直方图面积之和为1可得50元到60元之间的频率为1－10×(0.01＋0.024＋0.036)＝0.3，A正确；容量n＝eq \f(60,0.3)＝200，消费支出不少于40元的人数为200×(0.036×10＋0.3)＝132，B，C正确；根据频率分布直方图可知消费支出在20元到30元之间的频率为0.1，则2 000名参加研学的学生中消费支出在20元到30元之间的约为200人，D错误．
3．(2023·如皋二模)为增强学生的国防意识，某校组织1 000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，从中随机抽取20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( D )
(第3题)
A．频率分布直方图中a的值为0.004
B．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75
C．估计这20名学生此次考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为150
【解析】 由频率分布直方图可得10×(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)＝1，解得a＝0.005，故A错误；前三个矩形面积为(2a＋3a＋7a)×10＝0.6，即第60百分位数为80，故B错误；估计这20人考试成绩的众数为eq \f(70＋80,2)＝75，故C错误；总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为3a×10×1 000＝150，故D正确．
4．(2023·梅州一模)为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如图所示的频率分布直方图．根据此图，下列结论错误的是( B )
(第4题)
A．x＝0.015
B．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125
C．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119
D．若四年级学生一分钟跳绳125次以上为优秀，则估计该小学四年级优秀率为35%
【解析】 根据题意可得(0.005×3＋0.01＋2x＋0.02＋0.025)×10＝1，可得x＝0.015，故A正确；根据频率分布直方图可得其平均数为90×0.05＋100×0.15＋110×0.2＋120×0.25＋130×0.15＋140×0.1＋150×0.05＋160×0.05＝120.5，所以B错误；由频率分布直方图可知，(0.005＋0.015＋0.02)×10＝0.4，而0.4＋0.25＞0.5，所以中位数落在区间[115,125)内，设中位数为a，则(a－115)×0.025＝0.5－0.4，可得a＝119，所以C正确；由图可知，超过125次以上的频率为(0.15＋0.1＋0.05＋0.05)×10＝0.35，所以优秀率为35%，故D正确．
5．(2023·青岛期末)为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩(均为整数)中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图(用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值)，关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是( D )
甲班物理成绩
乙班物理成绩
(第5题)
A．甲班众数小于乙班众数
B．乙班成绩的第75百分位数为79
C．甲班的中位数为74
D．甲班平均数大于乙班平均数估计值
【解析】 由题图知甲班众数为79，乙班众数为75，故A错误．因为10×(0.020＋0.025＋0.030)＝0.75，所以乙班成绩的第75百分位数为80，故B错误．甲班物理成绩从小到大排序的第10个、第11个数都是79，故中位数为79，故C错误．因为eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,20)×(57×2＋58＋59＋67＋68×2＋69×2＋79×6＋87＋88×2＋89＋98)＝74.8，乙班物理成绩的平均数估计值为(55×0.020＋65×0.025＋75×0.030＋85×0.020＋95×0.005)×10＝71.5，故D正确．
6.2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度(单位：h)，并按[0,10]，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，分别得到频率分布直方图如下：
雪上项目
冰上项目
(第6题)
估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是x1和x2，方差分别是seq \\al(2,1)和seq \\al(2,2)，则( A )
A．x1＞x2，seq \\al(2,1)＞seq \\al(2,2)B．x1＞x2，seq \\al(2,1)＜seq \\al(2,2)
C．x1＜x2，seq \\al(2,1)＞seq \\al(2,2)D．x1＜x2，seq \\al(2,1)＜seq \\al(2,2)
【解析】 由题得0.020×10＋0.010×10＋0.030×10＋0.015×(x1－30)＝0.75，解得x1＝40；0.010×10＋0.020×10＋0.030×10＋0.025×(x2－30)＝0.75，解得x2＝36，所以x1＞x2．比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更集中，由方差的意义可以得到seq \\al(2,1)＞seq \\al(2,2)．
7．(2023·济南期初)(多选)居家学习期间，某学校发起了“畅读经典，欢度新年”活动，根据统计数据可知，该校共有1 200名学生，所有学生每天读书时间均在20分钟到100分钟之间，他们的日阅读时间频率分布直方图如图所示．则下列结论正确的是( ACD )
(第7题)
A．该校学生日阅读时间的众数约为70
B．该校学生日阅读时间不低于60分钟的人数约为360
C．该校学生日阅读时间的第50百分位数约为65
D．该校学生日阅读时间的平均数约为64
【解析】 对于A，由图可知众数约为eq \f(60＋80,2)＝70，故A正确；对于B，阅读时间不低于60分钟的人数约为(0.02＋0.01)×20×1 200＝720，故B错误；对于C, [20,60)的频率为(0.005＋0.015)×20＝0.4, [60,80)的频率为0.02×20＝0.4，所以第50百分位数为60＋eq \f(0.5－0.4,0.4)×20＝65，故C正确；对于D，平均值为30×0.005×20＋50×0.015×20＋70×0.02×20＋90×0.01×20＝64，故D正确．
8．(2023·湖州期末)(多选)为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单位：分钟)，得到下列两个频率分布直方图．基于以上统计信息，则( BC )

(第8题)
A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
C．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
D．坐公交车时间的方差的估计值小于骑车时间的方差的估计值
【解析】 对于A，所求中位数约为20＋eq \f(0.5－0.2,0.4)×2＝21.5分钟，故A错误；对于B，所求40%分位数约为18＋eq \f(0.4－0.3,0.2)×2＝19分钟，B正确；对于C，eq \x\t(t)公交＝13×0.05＋15×0.1＋17×0.15＋19×0.2＋21×0.2＋23×0.15＋25×0.1＋27×0.05＝20，eq \x\t(t)骑车＝19×0.2＋21×0.4＋23×0.3＋25×0.1＝21.6，C正确；对于D，公交车时间分布较分散，方差更大，D错误．(实际生活也是骑车更可控时间，更稳定)
9．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并购买一定数量的书籍丰富小区图书站．由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄(单位：岁)分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．
(第9题)
(1) 求在这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；
【解答】 由频率分布直方图知，年龄在[40,70)的频率为(0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.75，故这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数为40×0.75＝30．
(2) 求这40名读书者的年龄的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)．
【解答】 这40名读书者年龄的平均数为25×0.05＋35×0.10＋45×0.20＋55×0.30＋65×0.25＋75×0.10＝54．设中位数为x，则0.005×10＋0.010×10＋0.020×10＋0.030×(x－50)＝0.5，解得x＝55，故这40名读书者年龄的中位数为55．
10．(2023·泉州二测)随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60,80)的老年人的年收入按年龄[60,70)，[70,80)分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在[60,70)的老年人500人，年龄在[70,80)的老年人300人．现作出年龄在[60,70)的老年人年收入的频率分布直方图如图所示．
(第10题)
(1) 根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
【解答】 在频率分布直方图中，该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数约为：0.04×2＋0.08×3＋0.18×4＋0.26×5＋0.20×6＋0.15×7＋0.05×8＋0.04×9＝5.35．由频率分布直方图知，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为1－0.04×1＝0.96，年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为1－(0.05×1＋0.04×1)＝0.91，因此，第95百分位数一定位于[7.5,8.5)内，由7.5＋1×eq \f(0.95－0.91,0.05)＝8.3，可以估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的第95百分位数为8.3．
(2) 已知年龄在[60,70)的老年人年收入的方差为3，年龄在[70,80)的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在[60,80)的老年人年收入的方差．
【解答】 设年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为eq \x\t(x)，方差记为seq \\al(2,x)；年龄在[70,80)的老年人样本的平均数记为eq \x\t(y)，方差记为seq \\al(2,y)；年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为eq \x\t(z)，方差记为s2．由(1)得eq \x\t(x)＝5.35，由题意得，seq \\al(2,x)＝3，eq \x\t(y)＝3.75，seq \\al(2,y)＝1.4，则eq \x\t(z)＝eq \f(500,500＋300)×eq \x\t(x)＋eq \f(300,500＋300)×eq \x\t(y)＝4.75，由s2＝eq \f(1,800)×{500×[seq \\al(2,x)＋(eq \x\t(x)－eq \x\t(z))2]＋300×[seq \\al(2,y)＋(eq \x\t(y)－eq \x\t(z))2]}，可得s2＝eq \f(1,800)×{500×[3＋(5.35－4.75)2]＋300×[1.4＋(3.75－4.75)2]}＝3，即估计该地年龄在[60,80)的老年人的年收入方差为3．