2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 特别策划2　微切口3　体育比赛与闯关问题

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 特别策划2　微切口3　体育比赛与闯关问题，共7页。试卷主要包含了学校将举行心理健康知识竞赛等内容，欢迎下载使用。

A．eq \f(4,25)B．eq \f(2,25)
C．eq \f(8,75)D．eq \f(2,75)
【解析】 由题意，此局分两种情况：(1) 后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为eq \f(3,5)×eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,25)；(2) 后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为eq \f(2,5)×eq \f(1,3)×eq \f(3,5)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,75)，所以所求概率为eq \f(2,25)＋eq \f(2,75)＝eq \f(8,75)．
2．甲、乙、丙、丁进行足球单循环小组赛(每两队只进行一场比赛)，每场小组赛结果相互独立．已知甲与乙、丙、丁比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p1＞p2＞p3＞0．记甲连胜两场的概率为p，则( A )
A．甲在第二场与乙比赛，p最大
B．甲在第二场与丙比赛，p最大
C．甲在第二场与丁比赛，p最大
D．p与甲和乙、丙、丁的比赛次序无关
【解析】 因为甲连胜两场，则第二场甲必胜，①设甲在第二场与乙比赛，且连胜两场的概率为P1，则P1＝2(1－p2)p1p3＋2(1－p3)p1p2＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3；②设甲在第二场与丙比赛，且两场连胜的概率为P2，则P2＝2(1－p1)p2p3＋2(1－p3)p1p2＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3；③设甲在第二场与丁比赛，且两场连胜的概率为P3，则P3＝2(1－p1)p2p3＋2(1－p2)p1p3＝2p3(p1＋p2)－4p1p2p3．所以P1－P2＝2p3(p1－p2)＞0，P1－P3＝2p2(p1－p3)＞0，P2－P3＝2p1(p2－p3)＞0，所以P1＞P2＞P3，因此甲在第二场与乙比赛，p最大，A正确，B，C，D错误．
3．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现A，B两位同学各有3张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若A，B一局各自赢的概率都是eq \f(1,3)，平局的概率为eq \f(1,3)，各局输赢互不影响，则恰好5局时游戏终止的概率是( B )
A．eq \f(1,9)B．eq \f(2,27)
C．eq \f(2,81)D．eq \f(4,81)
【解析】 设恰好5局时游戏终止的事件为M，输方第5局必输，前4局平两局输两局的事件为M1，第4局必输，前3局输2局赢1局的事件为M2，则M＝M1＋M2，M1与M2互斥，显然游戏终止时A可以是输方，B也可以是输方，于是得P(M1)＝2Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(4,81)，P(M2)＝2Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(2,81)，P(M)＝P(M1＋M2)＝P(M1)＋P(M2)＝eq \f(6,81)＝eq \f(2,27)，所以恰好5局时游戏终止的概率为eq \f(2,27)．
4．(2023·苏州期末)(多选)为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为eq \f(1,3)，则在比赛结束时( ACD )
A．四支球队的积分总和可能为15分
B．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为eq \f(2,35)
C．可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况
D．丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为eq \f(8,35)
【解析】 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，A，C均正确；每场比赛中两队胜、平、负的概率都为eq \f(1,3)，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3×Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,35)，B错误；丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队与丙比赛，丙输，Ceq \\al(1,3)×eq \f(1,3)，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意．若丙全赢eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(概率是\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2))时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙、甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率为Ceq \\al(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率为eq \f(2,3)，两场均平，概率是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，两场甲都输，概率是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2，乙丁这场比赛只能平，概率是eq \f(1,3)．综上，概率为Ceq \\al(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(C\\al(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×\f(1,3)))＝eq \f(8,35)，D正确．
5．(2023·黄石一模)(多选)乒乓球比赛采用五局三胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p(0≤p≤1)，实际比赛局数的期望值记为f(p)，则下列说法正确的是( ABD )
A．三局就结束比赛的概率为p3＋(1－p)3
B．f(p)的常数项为3
C．函数f(p)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递减
D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(33,8)
【解析】 设实际比赛局数为X，则X的可能取值为3,4,5，所以P(X＝3)＝p3＋(1－p)3，P(X＝4)＝Ceq \\al(1,3)p3(1－p)＋Ceq \\al(1,3)p(1－p)3，P(X＝5)＝Ceq \\al(2,4)p2(1－p)2，因此三局就结束比赛的概率为p3＋(1－p)3，则A正确；故f(p)＝3[p3＋(1－p)3]＋4[Ceq \\al(1,3)p3(1－p)＋Ceq \\al(1,3)p(1－p)3]＋5×Ceq \\al(2,4)p2(1－p)2＝6p4－12p3＋3p2＋3p＋3，由f(0)＝3知常数项为3，故B正确；由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝6×eq \f(1,16)－12×eq \f(1,8)＋3×eq \f(1,4)＋eq \f(3,2)＋3＝eq \f(33,8)，故D正确；由f′(p)＝24p3－36p2＋6p＋3＝3(2p－1)(4p2－4p－1)，因为0≤p≤1，所以4p2－4p－1＝(2p－1)2－2＜0，所以令f′(p)＞0，则0≤p＜eq \f(1,2)；令f′(p)＜0，则eq \f(1,2)＜p≤1，故函数f(p)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递增，则C不正确．
6．(2023·十堰调研)某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛．决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束．假设每局比赛双方获胜的概率均为eq \f(1,2)，且每局比赛相互独立．
(1) 求比赛进行四局结束的概率；
【解答】 比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜，第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率P1＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,16)，第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,16)，故比赛进行四局结束的概率P＝P1＋P2＝eq \f(1,16)＋eq \f(1,16)＝eq \f(1,8)．
(2) 求甲获得比赛胜利的概率．
【解答】 设甲获胜为事件A，乙获胜为事件B，丙获胜为事件C，比赛进行三局，甲获胜的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)，比赛进行五局，有以下6种情况：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA，甲获胜的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×6＝eq \f(3,16)，比赛进行七局，有以下8种情况：AABCCBA，BCABCAA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCCBAAA．甲获胜的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×8＝eq \f(1,16)，故甲获得比赛胜利的概率为eq \f(1,8)＋eq \f(3,16)＋eq \f(1,16)＝eq \f(3,8)．
7．(2023·梅州一模)甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛(每两支队比赛一场)，比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分．三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线．假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考．
(1) 三轮比赛结束后甲的积分记为X，求P(X＝3)；
【解答】 设甲的第i场比赛获胜记为Ai(i＝1,2,3)，根据表格可知甲对乙、丙、丁比赛获胜的概率分别为eq \f(7,10)，eq \f(1,2)，eq \f(4,10)，则有P(X＝3)＝P(A1eq \x\t(A2) eq \x\t(A3))＋P(eq \x\t(A1)A2eq \x\t(A3))＋P(eq \x\t(A1) eq \x\t(A2)A3)＝eq \f(7,10)×eq \f(1,2)×eq \f(6,10)＋eq \f(3,10)×eq \f(1,2)×eq \f(6,10)＋eq \f(3,10)×eq \f(1,2)×eq \f(4,10)＝eq \f(9,25)．
(2) 若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3,3,0,6，求甲队能小组出线的概率．
【解答】 分以下三种情况：
(i)若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙胜丙，则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为6,6,0,6，此时甲、乙、丁三支球队积分相同，要抽签决定排名，甲抽中前两名的概率为eq \f(2,3)，所以这种情况下，甲出线的概率为P1＝eq \f(4,10)×eq \f(4,10)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,75)．
(ii)若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁积分变为6,3,3,6，此时甲一定出线，甲出线的概率为P2＝eq \f(4,10)×eq \f(6,10)＝eq \f(6,25)．
(iii)若第三轮甲输丁，另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁积分变为3,3,3,9，此时甲、乙、丙三支球队要抽签决定排名，甲抽到第二名的概率为eq \f(1,3)，所以这种情况下，甲出线的概率为P3＝eq \f(6,10)×eq \f(6,10)×eq \f(1,3)＝eq \f(3,25)．综上，甲出线的概率为P＝P1＋P2＋P3＝eq \f(8,75)＋eq \f(6,25)＋eq \f(3,25)＝eq \f(7,15)．
8．学校将举行心理健康知识竞赛．第一轮选拔共设有A，B，C三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C分别加2分，4分，5分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，若累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题A，B，C顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A，B，C回答正确的概率依次为eq \f(3,4)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1) 求在甲同学进入下一轮的条件下，答了两题的概率；
【解答】 (1) 记答对A，B，C分别为事件D1，D2，D3，甲同学进入下一轮为事件E，答了两题为事件F，则P(E)＝P(D1D2＋D1eq \x\t(D2)D3＋eq \x\t(D1)D2D3)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(3,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(17,24)，P(EF)＝P(D1D2)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,2)，所以P(F|E)＝eq \f(PEF,PE)＝eq \f(12,17)，即在甲同学进入下一轮的条件下，答了两题的概率为eq \f(12,17)．
(2) 用ξ表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
【解答】 由题意知ξ的可能取值为0,1,2．P(ξ＝0)＝P(eq \x\t(D1) eq \x\t(D2))＝eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,12)，P(ξ＝1)＝P(D1eq \x\t(D2) eq \x\t(D3)＋eq \x\t(D1)D2eq \x\t(D3))＝eq \f(3,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,24)，P(ξ＝2)＝P(D1D2＋D1eq \x\t(D2)D3＋eq \x\t(D1)D2D3)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(3,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(17,24)，所以ξ的分布列为
数学期望E(ξ)＝0×eq \f(1,12)＋1×eq \f(5,24)＋2×eq \f(17,24)＝eq \f(13,8)．
队伍
近10场胜场比
队伍
甲
7∶3
乙
甲
5∶5
丙
甲
4∶6
丁
乙
4∶6
丙
乙
5∶5
丁
丙
3∶7
丁
ξ
0
1
2
P
eq \f(1,12)
eq \f(5,24)
eq \f(17,24)