2024年高考数学重难点突破讲义：微切口1　抓住“爪形图”破解向量问题

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研考题聚焦切口
三点共线的充要条件的应用
三点共线定理：已知 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))为平面内两个不共线的向量且 eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，x＋y＝1是A，B，C三点共线的充要条件．
例1 (多选)在Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足 eq \(BP,\s\up6(→))＝2 eq \(PC,\s\up6(→))，点M，N在过点P的直线上，若 eq \(AM,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AN,\s\up6(→))＝n eq \(AC,\s\up6(→))(m＞0，n＞0)，则下列结论正确的是( ACD )

A． eq \f(1,m)＋ eq \f(2,n)为常数B．m＋n的最小值为 eq \f(16,9)
C．m＋2n的最小值为3D．m，n的值可以为m＝ eq \f(1,2)，n＝2
(例1)
【解析】 如图，由 eq \(BP,\s\up6(→))＝2 eq \(PC,\s\up6(→))，可得 eq \(AP,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝2( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AP,\s\up6(→)))，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)).若 eq \(AM,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AN,\s\up6(→))＝n eq \(AC,\s\up6(→))(m＞0，n＞0)，则 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,m) eq \(AM,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,n) eq \(AN,\s\up6(→))，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3m) eq \(AM,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3n) eq \(AN,\s\up6(→)).因为M，P，N三点共线，所以 eq \f(1,3m)＋ eq \f(2,3n)＝1，所以 eq \f(1,m)＋ eq \f(2,n)＝3，故A正确；当m＝ eq \f(1,2)，n＝2时，满足 eq \f(1,m)＋ eq \f(2,n)＝3，则D正确；因为m＋2n＝(m＋2n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3m)＋\f(2,3n)))＝ eq \f(2n,3m)＋ eq \f(2m,3n)＋ eq \f(5,3)≥2 eq \r(\f(2n,3m)·\f(2m,3n))＋ eq \f(5,3)＝3，当且仅当m＝n时等号成立，故C正确；因为m＋n＝(m＋n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3m)＋\f(2,3n)))＝ eq \f(n,3m)＋ eq \f(2m,3n)＋1≥2 eq \r(\f(n,3m)·\f(2m,3n))＋1＝ eq \f(2\r(2),3)＋1，当且仅当n＝ eq \r(2)m，即m＝ eq \f(1＋\r(2),3)，n＝ eq \f(2＋\r(2),3)时等号成立，故B错误．
变式1 (1) 在△ABC中，E为AC上一点， eq \(AC,\s\up6(→))＝3 eq \(AE,\s\up6(→))，P为BE上一点，若 eq \(AP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))(m＞0，n＞0)，则 eq \f(3,m)＋ eq \f(1,n)的最小值是( D )
A．2 eq \r(3)B．4＋2 eq \r(3)
C．6D．12
(变式1(1))
【解析】 如图，因为 eq \(AC,\s\up6(→))＝3 eq \(AE,\s\up6(→))，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋3n eq \(AE,\s\up6(→)).因为P，B，E三点共线，所以m＋3n＝1，所以 eq \f(3,m)＋ eq \f(1,n)＝(m＋3n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,m)＋\f(1,n)))＝3＋3＋ eq \f(9n,m)＋ eq \f(m,n)≥6＋2 eq \r(\f(9n,m)·\f(m,n))＝12，当且仅当 eq \f(9n,m)＝ eq \f(m,n)，m＝3n＝ eq \f(1,2)时取等号，所以 eq \f(3,m)＋ eq \f(1,n)的最小值是12.
(2) 已知点O是△ABC的外接圆圆心，AB＝3，AC＝4.若存在非零实数x，y使得 eq \(AO,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))，且x＋2y＝1，则cs ∠BAC的值为( D )
A． eq \f(1,3)B． eq \f(\r(2),3)
C． eq \f(\r(3),3)D． eq \f(2,3)
【解析】 由于 eq \(AO,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋2y eq \f(\(AC,\s\up6(→)),2)，x＋2y＝1，所以O，B与线段AC中点三点共线．根据圆的几何性质可知直线OB垂直平分AC，于是△ABC是以AC为底边的等腰三角形，于是cs ∠BAC＝ eq \f(\f(AC,2),AB)＝ eq \f(2,3).
系数和问题——等和线的应用
平面向量等和线定理：平面内一组基底 eq \(PA,\s\up6(→))， eq \(PB,\s\up6(→))及任一向量 eq \(PF,\s\up6(→))满足： eq \(PF,\s\up6(→))＝λ eq \(PA,\s\up6(→))＋μ eq \(PB,\s\up6(→)) (λ，μ∈R)，若点F在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(定值，其中k＝\f(|PC|,|PF|)＝\f(|PE|,|PA|)＝\f(|PD|,|PB|)))，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线．
例2 给定两个长度为1的平面向量 eq \(OA,\s\up6(→))和 eq \(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为 eq \f(2π,3)，点C在以O为圆心的 eq \(AB,\s\up8(︵))上运动，若 eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y的最大值是__2__.
【解析】 方法一：以O为坐标原点， eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则A(1，0)，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，设∠AOC＝α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))))，则C(cs α，sin α).由 eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝x－\f(1,2)y，,sin α＝\f(\r(3),2)y，))所以x＝cs α＋ eq \f(\r(3),3)sin α，y＝ eq \f(2\r(3),3)sin α，所以x＋y＝cs α＋ eq \r(3)sin α＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，又α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，所以当α＝ eq \f(π,3)时，x＋y取得最大值2.
(例2(1))
方法二：(等和线法)如图(2)，令x＋y＝k，所有过点C且与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝ eq \f(|DO|,|OE|)＝2.
(例2(2))
“等和线”的解题步骤：①确定值为1的等和线；②过动点作该线平行线，结合动点的可行域，分析在何点处取得最值；③利用长度比或该点的位置，求得最值或范围．
变式2 (1) 在半径为1的扇形AOB中， eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝0，点C在 eq \(AB,\s\up8(︵))上运动，若 eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))，则2x＋y的最小值是( C )
A．－ eq \r(5)B． eq \r(5)
C．1D．2
【解析】 方法一：由 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝0知OA⊥OB，以O为坐标原点，OA，OB所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则令∠AOC＝α，则x＝cs α，y＝sin α，α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则2x＋y＝2cs α＋sin α＝ eq \r(5)sin (α＋θ)，其中sin θ＝ eq \f(2\r(5),5)，cs θ＝ eq \f(\r(5),5)，θ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，因为θ≤α＋θ≤ eq \f(π,2)＋θ，sin θ＝ eq \f(2\r(5),5)，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ＝ eq \f(\r(5),5)，所以 eq \f(\r(5),5)≤sin (α＋θ)≤1，所以1≤ eq \r(5)sin (α＋θ)≤ eq \r(5)，即2x＋y的最小值为1.
方法二：(等和线)设 eq \(OA,\s\up6(→))＝2 eq \(OD,\s\up6(→))，则 eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))＝2x eq \(OD,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))，所以当点C与点B重合时，2x＋y取得最小值为1.
(2) 已知O是△ABC内一点，且 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝0，点M在△OBC内(不含边界)，若 eq \(AM,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋2μ的取值范围是( B )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))B．(1，2)
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
【解析】 因为O是△ABC内一点，且 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝0，所以O为△ABC的重心，M在△OBC内(不含边界)，且当M与O重合时，λ＋2μ最小，此时 eq \(AM,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)(\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→)))))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))，所以λ＝ eq \f(1,3)，μ＝ eq \f(1,3)，即λ＋2μ＝1，当M与C重合时，λ＋2μ最大，此时 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))，所以λ＝0，μ＝1，即λ＋2μ＝2.因为M在△OBC内且不含边界，所以取开区间，即λ＋2μ∈(1，2).
固能力触类旁通
1．已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC＝2CB，若存在实数m，n，使得 eq \(OC,\s\up6(→))＝m eq \(OA,\s\up6(→))＋n eq \(OB,\s\up6(→))，则m－n的值为( A )
A．－ eq \f(1,3)B．0
C． eq \f(1,3)D． eq \f(2,3)
【解析】 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(BO,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→))，所以m－n＝－ eq \f(1,3).
2．(2023·广州模拟)在△ABC中，M是AC边上一点，且 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(MC,\s\up6(→))，N是BM上一点，若 eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,9) eq \(AC,\s\up6(→))＋m eq \(BC,\s\up6(→))，则实数m的值为( D )
A．－ eq \f(1,3)B．－ eq \f(1,6)
C． eq \f(1,6)D． eq \f(1,3)
【解析】 由 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(MC,\s\up6(→))，得 eq \(AC,\s\up6(→))＝3 eq \(AM,\s\up6(→)).由 eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,9) eq \(AC,\s\up6(→))＋m eq \(BC,\s\up6(→))，得 eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,9) eq \(AC,\s\up6(→))＋m( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)＋m)) eq \(AC,\s\up6(→))－m eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋3m)) eq \(AM,\s\up6(→))－m eq \(AB,\s\up6(→)).因为B，N，M三点共线，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋3m))＋(－m)＝1，解得m＝ eq \f(1,3).
(第3题)
3．如图，在△ABC中，D为AB上靠近B的三等分点，点F在线段CD上，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b， eq \(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb，则 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为( D )
A．6B．7
C．4＋2 eq \r(2)D．4＋2 eq \r(3)
【解析】 由于D为AB上靠近B的三等分点，故 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))，所以 eq \(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(3x,2) eq \(AD,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→)).又因为点F在线段CD上，所以 eq \f(3,2)x＋y＝1，故 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋y))＝4＋ eq \f(3x,2y)＋ eq \f(2y,x).由题意可知x＞0，y＞0，故 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)＝4＋ eq \f(3x,2y)＋ eq \f(2y,x)≥4＋2 eq \r(3)，当且仅当 eq \f(3x,2y)＝ eq \f(2y,x)时，即x＝1－ eq \f(\r(3),3)，y＝ eq \f(\r(3)－1,2) 时取等号．
4．在△ABC中， eq \(AE,\s\up6(→))＝2 eq \(EB,\s\up6(→))， eq \(AF,\s\up6(→))＝3 eq \(FC,\s\up6(→))，连接BF，CE，且BF∩CE＝M， eq \(AM,\s\up6(→))＝x eq \(AE,\s\up6(→))＋y eq \(AF,\s\up6(→))，则x－y等于( C )
A．－ eq \f(1,12)B． eq \f(1,12)
C．－ eq \f(1,6)D． eq \f(1,6)
【解析】 因为 eq \(AE,\s\up6(→))＝2 eq \(EB,\s\up6(→))，所以 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))，所以 eq \(AM,\s\up6(→))＝x eq \(AE,\s\up6(→))＋y eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AF,\s\up6(→)).由B，M，F三点共线得 eq \f(2,3)x＋y＝1①.因为 eq \(AF,\s\up6(→))＝3 eq \(FC,\s\up6(→))，所以 eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \(AM,\s\up6(→))＝x eq \(AE,\s\up6(→))＋y eq \(AF,\s\up6(→))＝x eq \(AE,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4)y eq \(AC,\s\up6(→)).由C，M，E三点共线得x＋ eq \f(3,4)y＝1②.联立①②解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(2,3)，))所以x－y＝ eq \f(1,2)－ eq \f(2,3)＝－ eq \f(1,6).
5．如图，△BCD与△ABC的面积比为2，点P是区域ABDC内的任一点(含边界)，且 eq \(AP,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的取值范围是( C )
A．[0，1]B．[0，2]
C．[0，3]D．[0，4]
(第5题)

(第5题(1))
【解析】 如图(1)，过点P作GH∥BC，交AC，AB的延长线于G，H，则有 eq \(AP,\s\up6(→))＝x eq \(AG,\s\up6(→))＋y eq \(AH,\s\up6(→))，且x＋y＝1.当点P位于点D时，G，H分别位于C′，B′.因为△BCD与△ABC的面积之比为2，所以AC′＝3AC，AB′＝3AB，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝x eq \(AG,\s\up6(→))＋y eq \(AH,\s\up6(→))＝x eq \(AC′,\s\up6(→))＋y eq \(AB′,\s\up6(→))＝x·3 eq \(AC,\s\up6(→))＋y·3 eq \(AB,\s\up6(→))，因此λ＋μ＝3x＋3y＝3.当点P位于点A时，显然有λ＋μ＝0.故λ＋μ∈[0，3].
6．在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若 eq \(AN,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( C )
(第6题)
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C．[0，1]D．[1，2]
【解析】 由题意，设 eq \(AN,\s\up6(→))＝t eq \(AM,\s\up6(→))(0≤t≤1)，当t＝0时， eq \(AN,\s\up6(→))＝0，所以λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))＝0，所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0.当0＜t≤1时，因为 eq \(AN,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，所以t eq \(AM,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))，即 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(λ,t) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(μ,t) eq \(AC,\s\up6(→)).因为M，B，C三点共线，所以 eq \f(λ,t)＋ eq \f(μ,t)＝1，即λ＋μ＝t∈(0，1].综上，λ＋μ的取值范围是[0，1].
7．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量 eq \(AP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AF,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是( C )
(第7题)
A．(1，2]B．[5，6]
C．[2，5]D．[3，5]
【解析】 如图(1)，设 eq \(AP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AF,\s\up6(→))，由等和线结论，m＋n≥ eq \f(AG,AB)＝ eq \f(2AB,AB)＝2，即m＋n的最小值为2；同理，m＋n≤ eq \f(AH,AB)＝5，即m＋n的最大值为5.综上可知m＋n∈[2，5].
(第7题(1))
8．如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设 eq \(OP,\s\up6(→))＝m eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OQ,\s\up6(→))＝n eq \(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，则 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)的值为__3__.
(第8题)
【解析】 设 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b.由题意知 eq \(OG,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3)(a＋b)， eq \(PQ,\s\up6(→))＝ eq \(OQ,\s\up6(→))－ eq \(OP,\s\up6(→))＝nb－ma， eq \(PG,\s\up6(→))＝ eq \(OG,\s\up6(→))－ eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋ eq \f(1,3)b.由P，G，Q三点共线，得存在实数λ使得 eq \(PQ,\s\up6(→))＝λ eq \(PG,\s\up6(→))，即nb－ma＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋ eq \f(1,3)λb，从而 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ，得 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)＝3.
9．在扇形OAB中，∠AOB＝ eq \f(2π,3)，C为 eq \(AB,\s\up8(︵))上的一个动点，且 eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，则2x＋y的取值范围为__ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(21),3)))__.
【解析】 方法一：设∠AOC＝α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))))，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(OC,\s\up6(→))·\(OA,\s\up6(→))＝x\(OA,\s\up6(→))·\(OA,\s\up6(→))＋y\(OB,\s\up6(→))·\(OA,\s\up6(→))，,\(OC,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→))＝x\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→))＋y\(OB,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→))，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝x－\f(1,2)y，,cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))＝－\f(1,2)x＋y，))
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α＋\f(\r(3),3)sin α，,y＝\f(2\r(3),3)sin α，))所以2x＋y＝2cs α＋ eq \f(4\r(3),3)sin α＝ eq \f(2\r(21),3)sin (α＋θ)，sin θ＝ eq \f(3,\r(21))，cs θ＝ eq \f(2,\r(7))，θ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2x＋y∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(21),3))).
方法二：如图，取OA的中点D，连接BD，作OM⊥BD并延长交 eq \(AB,\s\up8(︵))于点C1，过点C1作切线分别交OA，OB的延长线于E，F.不妨取OA＝a，则OB＝OC＝a，BD＝ eq \f(\r(7)a,2)，经计算可得OM＝ eq \f(\r(21)a,14)，由等和线结论知，当点C在点B处时，2x＋y取最小值1，当点C在点C1处时，2x＋y取最大值，此时2x＋y＝ eq \f(OE,OD)＝ eq \f(OC1,OM)＝ eq \f(2\r(21),3).从而2x＋y∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(21),3))).
(第9题)
10．在△ABC中， eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))，点E在线段AD上移动(不含端点)，若 eq \(AE,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))，则 eq \f(λ,μ)＝__2__，λ2－μ的最小值为__－ eq \f(1,16)__.
【解析】 因为在△ABC中， eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))，所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))，即 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)).因为点E在线段AD上移动(不含端点)，所以设 eq \(AE,\s\up6(→))＝x eq \(AD,\s\up6(→))(0＜x＜1)，所以 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2x,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(x,3) eq \(AC,\s\up6(→))，对比 eq \(AE,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))可得λ＝ eq \f(2x,3)，μ＝ eq \f(x,3).可得 eq \f(λ,μ)＝ eq \f(\f(2x,3),\f(x,3))＝2，λ2－μ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,3))) eq \s\up12(2)－ eq \f(x,3)＝ eq \f(4x2,9)－ eq \f(x,3)(0＜x＜1)，根据二次函数性质知当x＝－ eq \f(－\f(1,3),2×\f(4,9))＝ eq \f(3,8)时，(λ2－μ)min＝ eq \f(4,9)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8))) eq \s\up12(2)－ eq \f(1,3)× eq \f(3,8)＝－ eq \f(1,16).