2024年高考数学重难点突破讲义：微切口6　极值点偏移和拐点偏移问题

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：微切口6　极值点偏移和拐点偏移问题，共6页。
【思维引导】
eq \x(\a\al(研究f(x)的单,调性、极值点x0))―→ eq \x(构造F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x))―→ eq \x(研究F(x)的单调性)
【解答】 因为f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，所以当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，故x＝2时f(x)取极小值．由f(x1)＝f(x2)，不妨设x1＜2＜x2，令F(x)＝f(2＋x)－f(2－x)，x∈(0，2)，F′(x)＝f′(2＋x)＋f′(2－x)＝6x2＞0，所以F(x)在(0，2)上单调递增，F(x)＞F(0)＝0，所以f(2＋x)＞f(2－x).而x1∈(0，2)，2－x1∈(0，2)，所以f[2＋(2－x1)]＞f(x1)，即f(x1)＜f(4－x1).因为f(x1)＝f(x2)，所以f(x2)＜f(4－x1).又x2，4－x1∈(2，＋∞)，且f(x)在(2，＋∞)上单调递增，所以x2＜4－x1，所以x1＋x2＜4.
对称化构造法：主要用来解决与两个极值点之和(积)相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1) 定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2) 构造函数，即对结论x1＋x2＞2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)或F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(对结论x1·x2>x eq \\al(2,0) 型，构造函数F(x)＝f(x)－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x eq \\al(2,0) ,x)))))，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(3) 判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性．
(4) 比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系．
(5) 转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．
利用对数平均不等式
例2 已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R).若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1x2＜e2k.
【思维引导】
eq \x(\a\al(目标不等式化为,ln x1＋ln x2