2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口1　抽象函数的性质

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口1　抽象函数的性质，共5页。
微切口1抽象函数的性质
抽象函数的奇偶性与单调性综合问题
例1 (1) 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1＜x2)，都有x2f(x1)＞x1f(x2)，记a＝eq \f(1,2)f(2)，b＝f(1)，c＝－eq \f(1,3)f(－3)，则a，b，c之间的大小关系为( B )
A．a＞b＞cB．b＞a＞c
C．c＞b＞aD．a＞c＞b
【解析】 因为对任意两个正数x1，x2(x1＜x2)，都有x2f(x1)＞x1f(x2)，所以eq \f(fx1,x1)＞eq \f(fx2,x2)，得函数g(x)＝eq \f(fx,x)在(0，＋∞)上是减函数．由g(x)是R上的奇函数可知g′(x)是偶函数，则c＝－eq \f(1,3)f(－3)＝eq \f(1,3)f(3)，所以g(1)＞g(2)＞g(3)，即b＞a＞c．
(2) (2023·广西一模)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)＞0的解集为( D )
A．(1,3)
B．(3，＋∞)
C．(－3，－1)∪(3，＋∞)
D．(0,1)∪(3，＋∞)
【解析】 由偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(1)＝0，则当x＞0时，f(x－2)＞0，即f(|x－2|)＞0＝f(1)，故x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，故x∈(0,1)∪(3，＋∞)；当x＜0时，f(x－2)＜0，即f(|x－2|)＜0＝f(1)，故－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，又x＜0，故解集为∅．综上，不等式xf(x－2)＞0的解集为(0,1)∪(3，＋∞)．
1．比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．同时要充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
2．含“f”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．要注意：奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．特别地，如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)，则可避免分类讨论．
变式1 (2023·启东期末)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－2)＝－2，则不等式f(lgx)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,x)))＞4的解集为( D )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,100)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)，＋∞))
C．(0,100)D．(100，＋∞)
【解析】 因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－2)＝－2，根据奇函数对称性可知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝－f(－2)＝2，所以f(x)在R上单调递增，不等式f(lgx)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,x)))＝f(lgx)－f(－lgx)＝2f(lgx)＞4，所以f(lgx)＞2＝f(2)，所以lgx＞2，解得x＞100．
抽象函数的奇偶性、对称性与周期性综合问题
例2 (1) (2023·常德一模)已知函数f(x)的定义域为R，若函数f(2x＋1)为奇函数，且f(4－x)＝f(x)，eq \i\su(k＝1,2 023, )f(k)＝1，则f(0)＝( A )
A．－1B．0
C．1D．2
【解析】 因为函数f(x)的定义域为R，且函数f(2x＋1)为奇函数，则f(2x＋1)＝－f(1－2x)，即函数f(x)关于点(1,0)对称，所以有f(x)＝－f(2－x)①．又f(4－x)＝f(x)②，所以函数f(x)关于直线x＝2对称，则由②得f(3)＝f(4－1)＝f(1)＝0，f(0)＝f(4－0)＝f(4)，所以f(0)＋f(2)＝f(2)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0．由①和②得f(4－x)＝－f(2－x)，得f(x)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x)＝f(x－2)，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，则eq \i\su(k＝1,2 023, )f(k)＝505[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(2)＝1，所以f(0)＝－f(2)＝－1．
(2) (2023·大庆一检改编)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝2，g(x)－f(x－4)＝4，若g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝1，则f(202)＝( A )
A．－3B．－1
C．0D．2
【解析】 因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(2＋x)，所以f(x)＋g(2－x)＝f(x)＋g(x＋2)＝2．因为f(－x)＋g(2＋x)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．因为g(x)－f(x－4)＝4，所以g(x＋2)－f(x－2)＝4，所以f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x)＝－2，所以f(x＋4)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4．所以f(202)＝f(2)．因为g(2)－f(－2)＝g(2)－f(2)＝4，所以f(2)＝－3，故f(202)＝－3．
①若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|；
②若函数f(x)的图象既关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|；
③若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期为4|b－a|；
④若函数f(x)是偶函数，且其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)的周期为2|a|；
⑤若函数f(x)是奇函数，且其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)的周期为4|a|．
变式2 (1) (2023·广州一模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数，若f(0)＝2，则eq \i\su(k＝1,115, )f(k)＝( C )
A．116B．115
C．114D．113
【解析】 由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)，所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，又f(x＋2)为偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以函数f(x)也为偶函数．又f(x＋1)＋f(x－1)＝2，所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4．又f(1)＋f(－1)＝2，即2f(1)＝2，所以f(1)＝1．由f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2，所以f(2)＝0，所以eq \i\su(k＝1,115, )f(k)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×28＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4×28＋2＋0＝114．
(2) (2023·肇庆二检)已知定义在R上的两个函数f(x)和g(x)，f(x)＋g(1－x)＝3，g(x)＋f(x－3)＝3．若y＝g(x)图象关于点(1,0)对称，则f(0)＝__3__，g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(1 000)＝__0__．
【解析】 由g(x)＋f(x－3)＝3可得g(1－x)＋f(－2－x)＝3．又f(x)＋g(1－x)＝3，所以f(x)＝f(－2－x)，令x＝0，所以f(0)＝f(－2)．因为y＝g(x)的图象关于点(1,0)对称，所以g(1－x)＋g(1＋x)＝0．又f(x)＋g(1－x)＝3，所以f(x)－g(1＋x)＝3．因为g(x)＋f(x－3)＝3，所以g(1＋x)＋f(x－2)＝3，f(x)＋f(x－2)＝6．令x＝0，所以f(0)＋f(－2)＝6，则f(0)＝3．因为f(x)－g(1＋x)＝3，所以f(x－3)－g(x－2)＝3，又g(x)＋f(x－3)＝3，所以g(x)＝－g(x－2)，g(x－2)＝－g(x－4)，则g(x)＝g(x－4)，4是g(x)的一个周期．因为g(3)＝－g(1)，g(4)＝－g(2)，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0．因为g(x)的周期是4，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(1 000)＝0．
抽象函数的导函数与原函数的对称性问题
例3 (2023·武汉武昌三模)(多选)已知非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(1－2x)为奇函数，f(2x－1)为偶函数，则( BCD )
A．f(0)＝0
B．f(－2 021)＝－f(2 023)
C．f′(2x－1)＝f′(2x＋7)
D．f′(－2 021)＝f′(2 023)
【解析】 因为非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(1－2x)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(1＋2x)，则函数f(x)关于点(1,0)成中心对称，且f(1)＝0，故A错误；因为f(1－2x)＝－f(1＋2x)，令x＝1 011，则f(－2 021)＝－f(2 023)，故B正确；因为f(1－2x)＝－f(1＋2x)，即f(1＋x)＝－f(1－x)，两边同时求导，则有f′(1＋x)＝f′(1－x)，所以函数f′(x)关于直线x＝1对称．因为函数f(2x－1)为偶函数，所以f(－2x－1)＝f(2x－1)，即f(－1－x)＝f(－1＋x)，两边同时求导，则有－f′(－1－x)＝f′(－1＋x)，所以f′(x)关于(－1,0)成中心对称，则导函数f′(x)的周期为4×(1＋1)＝8，所以f′(2x－1)＝f′(2x＋7)，故C正确；因为函数f′(x)关于直线x＝1对称，且eq \f(－2 021＋2 023,2)＝1，所以f′(－2 021)＝f′(2 023)，故D正确．
①若函数f(x)连续且可导，则f(x)图象关于直线x＝a对称⇔导函数f′(x)图象关于点(a,0)对称．
②若函数f(x)连续且可导，则f(x)图象关于点(a，f(a))对称⇔导函数f′(x)图象关于直线x＝a对称．
变式3 (2023·宁波二模)(多选)已知函数f(x)与g(x)及其导函数f′(x)与g′(x)的定义域均为R，f(x)是偶函数，g(x)的图象关于点(1,0)对称，则( ABC )
A．g[f(－1)]＝g[f(1)]B．f[g(3)]＝f[g(－1)]
C．f[g′(3)]＝f[g′(－1)]D．g[f′(－1)]＝g[f′(1)]
【解析】 由f(x)是偶函数，g(x)的图象关于点(1,0)对称，则有f(－x)＝f(x)，g(x)＝－g(2－x)，则f′(x)图象关于点(0,0)对称，所以f′(－x)＝－f′(x)，g′(x)的图象关于x＝1对称，所以g′(x)＝g′(2－x)．对于A，令x＝1，则f(－1)＝f(1)，所以g[f(－1)]＝g[f(1)]，故A正确；对于B，令x＝3，则g(3)＝－g(－1)，所以f[g(3)]＝f[－g(－1)]＝f[g(－1)]，故B正确；对于C，令x＝3，则g′(3)＝g′(－1)，所以f[g′(3)]＝f[g′(－1)]，故C正确；对于D，令x＝1，则f′(－1)＝－f′(1)，所以g[f′(－1)]＝g[－f′(1)]，故D错误．