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2024年高考数学重难点突破讲义：学案 第2讲 直线与椭圆
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这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 第2讲 直线与椭圆，共9页。
1．(人A选必一P145第2(1)题)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与椭圆eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k＜9)的( D )
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
2．已知F为椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2＋(y－3)2＝1上一点，则|PQ|＋|PF|的最大值为( D )
A．3B．6
C．4＋2eq \r(3)D．5＋2eq \r(3)
【解析】 圆M：x2＋(y－3)2＝1的圆心为M(0,3)，r＝1．设椭圆的左焦点为F1，如图，由椭圆的定义知，|PF|＋|PF1|＝2a＝4，所以|PF|＝4－|PF1|，所以|PQ|＋|PF|≤|PM|＋1＋|PF|＝|PM|＋1＋4－|PF1|＝5＋|PM|－|PF1|≤5＋|MF1|，当且仅当M，P，F1三点共线时取等号，又M(0,3)，F1(－eq \r(3)，0)，|MF1|＝2eq \r(3)，故(|PQ|＋|PF|)max＝5＋2eq \r(3)．
(第2题)
3．(2022 ·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( A )
A．eq \f(\r( ,3),2)B．eq \f(\r( ,2),2)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,3)
【解析】 由题知A(－a,0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，kAP＝eq \f(y0,x0＋a)，kAQ＝eq \f(y0,a－x0)，故 kAP·kAQ＝eq \f(y0,x0＋a)·eq \f(y0,a－x0)＝eq \f(y\\al(2,0),a2－x\\al(2,0))＝eq \f(1,4)①．因为eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1, 即yeq \\al(2,0)＝eq \f(b2a2－x\\al(2,0),a2) ②，将②代入①整理得 eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，故离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(,1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(,3),2)．
4．(人A选必一P109练习3改编)若椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为__20__，△AF1F2的周长为__16__．
5．(人A选必一P114练习2)经过椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，若直线l与椭圆相交于A，B两点，则AB的长度为__eq \f(8\r(,2),7)__．
【解析】 因为椭圆方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，所以焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)．因为直线AB过左焦点F1且倾斜角为60°，所以直线AB的方程为y＝eq \r(,3)(x＋1)．将AB的方程与椭圆方程联立，消去y，得7x2＋12x＋4＝0，Δ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1＋x2＝－eq \f(12,7)，x1x2＝eq \f(4,7)，所以|x1－x2|＝eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,7)))2－4×\f(4,7))＝eq \f(4\r(,2),7)．因此，|AB|＝eq \r(,1＋3)·|x1－x2|＝eq \f(8\r(,2),7)．
举题固法
目标引领
轨迹方程
例1 (1) 若点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比为1∶2，则点M的轨迹方程为( C )
A．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
C．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1
【解析】 设M(x，y)，因为点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比为1∶2，所以eq \f(\r(x－22＋y2),|x－8|)＝eq \f(1,2)，即4(x－2)2＋4y2＝(x－8)2，整理得eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1．
(2) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(1,0)，动点M(x，y)与点N关于原点O对称，四边形MANB的周长为8，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为__eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)__．
【解析】 如图，因为动点M(x，y)与点N关于原点O对称，所以四边形MANB为平行四边形．又因为四边形MANB的周长为8，所以|MA|＋|MB|＝4＞|AB|，所以点M的轨迹为椭圆(去掉长轴两端点)，设其方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，其中半焦距c＝1，a＝2，所以b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(3)，所以曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)．
(例1(2))
(3) (2023·泰安一模节选)已知动点P与两定点A1(－2,0)，A2(2,0)，直线PA1与PA2的斜率之积为－eq \f(3,4)，记动点P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为__eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)__．
【解析】 设动点P的坐标为(x，y)，由题意得eq \f(y,x＋2)·eq \f(y,x－2)＝－eq \f(3,4)，化简得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)，故所求曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)．
椭圆第一定义：与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(此常数大于|F1F2|)；
椭圆第二定义：到定点F和到定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e(0＜e＜1)；
椭圆第三定义：与两定点连线的斜率乘积为定值．
变式1 已知B(－1,0)，C(1,0)为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC，AB上的两条中线长度之和为6，则点P的轨迹方程为__eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
(x≠±2)__．
【解析】 因为P为△ABC的重心，且边AC，AB上的两条中线长度之和为6，所以|PB|＋|PC|＝eq \f(2,3)×6＝4＞|BC|，故由椭圆的定义可知点P的轨迹是以B(－1,0)，C(1，0)为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，且a＝2，c＝1，所以b＝eq \r(3)，所以点P的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)．
简单几何性质
例2 (1) (2023·苏锡常镇一模)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，点P，Q在直线x＝eq \f(a2,c)上，FP⊥FQ，O为坐标原点，若eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝2eq \(OF,\s\up6(→))2，则该椭圆的离心率为( B )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(\r(,6),3)
C．eq \f(\r(,2),2)D．eq \f(\r(,3),2)
【解析】 设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，y1))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，y2))，则由FP⊥FQ，知eq \(FP,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－c，y1))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－c，y2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－c))2＋y1y2＝0．因为eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝2eq \(OF,\s\up6(→))2，所以eq \f(a4,c2)＋y1y2＝2c2，则y1y2＝2c2－eq \f(a4,c2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－c))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c2－\f(a4,c2)))＝0，化简得2a2＝3c2，从而椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(,6),3)．
(2) (2023·青岛二模)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与E交于点A，B，直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，F1，A，M三点共线．若|AB|＝a，eq \f(|BF1|,|MF1|)＝eq \f(5,7)，则eq \f(|BF2|,|AF1|)＝__eq \f(1,4)__．
【解析】 如图，因为点B关于l的对称点为M，所以|AM|＝|AB|．因为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，且|AB|＝a，所以|AF1|＋|BF1|＝3a，所以eq \f(|BF1|,|MF1|)＝eq \f(|BF1|,|AB|＋|AF1|)＝eq \f(|BF1|,a＋3a－|BF1|)＝eq \f(5,7)，可得|BF1|＝eq \f(5a,3)，则|AF1|＝3a－|BF1|＝eq \f(4a,3)，所以|BF2|＝2a－|BF1|＝eq \f(a,3)，故eq \f(|BF2|,|AF1|)＝eq \f(a,3)×eq \f(3,4a)＝eq \f(1,4)．
(例2(2))
变式2 (1) (2023·烟台期末)设A，B分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点和上顶点，F为C的右焦点，若F到直线AB的距离为b，则该椭圆的离心率为( A )
A．eq \f(\r(3)－1,2)B．eq \r(3)－1
C．eq \f(\r(2)－1,2)D．eq \r(2)－1
【解析】 由题意可得A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，所以直线AB的方程为eq \f(y－b,0－b)＝eq \f(x－0,－a－0)，整理得ay－bx－ab＝0，所以点F到直线AB的距离d＝eq \f(|－cb－ab|,\r(a2＋－b2))＝eq \f(cb＋ab,\r(a2＋b2))＝b，所以c＋a＝eq \r(a2＋b2)①．又因为椭圆中a2＝b2＋c2②，e＝eq \f(c,a)③，所以联立①②③得2e2＋2e－1＝0，解得e＝eq \f(－1±\r(3),2)．又因为e＞0，所以e＝eq \f(\r(3)－1,2)．
(2) (2022·新高考Ⅰ卷) 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(1,2)．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是__13__．
【解析】 因为椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆的方程为eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0．不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，因为|AF2|＝a，|OF2|＝c，a＝2c，所以∠AF2O＝eq \f(π,3)，所以△AF1F2为正三角形．因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，所以直线DE的斜率为eq \f(\r(3),3)，直线DE的方程为x＝eq \r(3)y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得到13y2－6eq \r(3)cy－9c2＝0，则Δ＝(－6eq \r(3)c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2＞0．设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则|ED|＝eq \r(1＋\r(3)2)|y1－y2|＝2×6×4×eq \f(c,13)＝6，所以c＝eq \f(13,8)， a＝2c＝eq \f(13,4)．因为DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长等于△F2DE的周长．利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13．
(变式2(2))
直线与椭圆
例3 (2023·十堰二模)已知P(2,0)是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点，过点D(1，0)且斜率为k(k＜0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点(点A在x轴的上方)，直线PA，PB分别与直线x＝1相交于M，N两点．当A为椭圆C的上顶点时，k＝－1．
(1) 求椭圆C的方程；
【解答】 由题可知，a＝2．当A为椭圆C的上顶点时，k＝eq \f(b－0,0－1)＝－1，解得b＝1，故椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2) 若|ND|－|MD|＝λ，且λ∈[1,3]，求k的取值范围．
【解答】 依题意可设直线l的方程为x＝ty＋1，t＜0，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ty＋1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去x整理得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0，Δ＝16t2＋48＞0，则y1＋y2＝－eq \f(2t,t2＋4)，y1y2＝－eq \f(3,t2＋4)．直线AP的方程为y＝eq \f(y1,x1－2)(x－2)，令x＝1，得yM＝－eq \f(y1,x1－2)．同理可得yN＝－eq \f(y2,x2－2)，则|ND|－|MD|＝eq \f(y2,x2－2)＋eq \f(y1,x1－2)＝eq \f(y2,ty2－1)＋eq \f(y1,ty1－1)＝eq \f(2ty1y2－y1＋y2,t2y1y2－ty1＋y2＋1)＝eq \f(2t·\f(－3,t2＋4)－\f(－2t,t2＋4),t2·\f(－3,t2＋4)－t·\f(－2t,t2＋4)＋1)＝eq \f(\f(－4t,t2＋4),\f(4,t2＋4))＝－t．因为|ND|－|MD|＝λ，且λ∈[1,3]，所以1≤－t≤3，－3≤t≤－1，又k＝eq \f(1,t)，故－1≤k≤－eq \f(1,3)．
(例3)
随堂内化
1．(2023·临沂一模节选)已知动点M(x，y)与点F(1，0)的距离和它到直线x＝4的距离之比是eq \f(1,2)，点M的轨迹为曲线C，则C的方程为__eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1__．
【解析】 由题意知eq \f(\r(x－12＋y2),|x－4|)＝eq \f(1,2)，化简整理得曲线C的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
2．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝eq \r(3)e1，则a＝( A )
A．eq \f(2\r(3),3)B．eq \r(2)
C．eq \r(3)D．eq \r(6)
【解析】 由e2＝eq \r(3)e1，得eeq \\al(2,2)＝3eeq \\al(2,1)，因此eq \f(4－1,4)＝3×eq \f(a2－1,a2)，而a＞1，所以a＝eq \f(2\r(3),3)．
3．已知过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点F(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是( B )
A．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1B．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
C．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
【解析】 如图，不妨设A在第一象限，由椭圆的左焦点F(－1，0)，点C，F是线段AB的三等分点，则C为AF的中点，F为BC中点，所以xA＝1，所以eq \f(1,a2)＋eq \f(y\\al(2,A),b2)＝1，则yA＝eq \f(b2,a)，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(b2,a)))，所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(b2,2a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(b2,2a)))，将点B的坐标代入椭圆方程得eq \f(4,a2)＋eq \f(\f(b4,4a2),b2)＝1，即eq \f(4,a2)＋eq \f(b2,4a2)＝1，又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4，所以椭圆的标准方程是eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1．
(第3题)
4．(2023·张家口期末)(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M(2,1)，直线l与椭圆C交于A，B两点，则( AC )
A．|AF1|·|AF2|的最大值为16
B．△AF1F2的内切圆半径r≤eq \r(3)
C．|AM|＋|AF1|的最小值为7
D．若M为AB的中点，则直线l的方程为x＋y－3＝0
【解析】 对于A，在椭圆C中，a＝4，b＝2eq \r(3)，则c＝eq \r(a2－b2)＝2，即点F1(－2,0)，F2(2,0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．由基本不等式可得|AF1|·|AF2|≤eq \f(|AF1|＋|AF2|2,4)＝16，当且仅当|AF1|＝|AF2|＝4时，等号成立，故|AF1|·|AF2|的最大值为16，故A正确；对于B，因为S△AF1F2＝eq \f(1,2)r(|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|)＝(a＋c)r＝6r，当点A为椭圆C的短轴的顶点时，S△AF1F2取最大值eq \f(1,2)×2c×b＝bc＝4eq \r(3)，所以r＝eq \f(S△AF1F2,6)≤eq \f(4\r(3),6)＝eq \f(2\r(3),3)，故B错误；对于C，由椭圆的定义可得|AF1|＝8－|AF2|，所以|AM|＋|AF1|＝|AM|＋8－|AF2|＝8＋(|AM|－|AF2|)≥8－|MF2|＝7，当且仅当点A为射线F2M与椭圆C的交点时，等号成立，故|AM|＋|AF1|的最小值为7，故C正确；对于D，因为eq \f(22,16)＋eq \f(1,12)＜1，则点M在椭圆C内，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则线段AB的中点在x轴上，不合题意，所以直线AB的斜率存在，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝4，,y1＋y2＝2，))由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),16)＋\f(y\\al(2,1),12)＝1，,\f(x\\al(2,2),16)＋\f(y\\al(2,2),12)＝1，))两个等式作差可得eq \f(x1－x2x1＋x2,16)＋eq \f(y1－y2y1＋y2,12)＝0，即eq \f(x1－x2,4)＋eq \f(y1－y2,6)＝0，所以直线AB的斜率为kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(3,2)，所以直线l的方程为y－1＝－eq \f(3,2)(x－2)，即3x＋2y－8＝0，故D错误．
(第4题)
1．(人A选必一P145第2(1)题)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与椭圆eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k＜9)的( D )
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
2．已知F为椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2＋(y－3)2＝1上一点，则|PQ|＋|PF|的最大值为( D )
A．3B．6
C．4＋2eq \r(3)D．5＋2eq \r(3)
【解析】 圆M：x2＋(y－3)2＝1的圆心为M(0,3)，r＝1．设椭圆的左焦点为F1，如图，由椭圆的定义知，|PF|＋|PF1|＝2a＝4，所以|PF|＝4－|PF1|，所以|PQ|＋|PF|≤|PM|＋1＋|PF|＝|PM|＋1＋4－|PF1|＝5＋|PM|－|PF1|≤5＋|MF1|，当且仅当M，P，F1三点共线时取等号，又M(0,3)，F1(－eq \r(3)，0)，|MF1|＝2eq \r(3)，故(|PQ|＋|PF|)max＝5＋2eq \r(3)．
(第2题)
3．(2022 ·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( A )
A．eq \f(\r( ,3),2)B．eq \f(\r( ,2),2)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,3)
【解析】 由题知A(－a,0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，kAP＝eq \f(y0,x0＋a)，kAQ＝eq \f(y0,a－x0)，故 kAP·kAQ＝eq \f(y0,x0＋a)·eq \f(y0,a－x0)＝eq \f(y\\al(2,0),a2－x\\al(2,0))＝eq \f(1,4)①．因为eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1, 即yeq \\al(2,0)＝eq \f(b2a2－x\\al(2,0),a2) ②，将②代入①整理得 eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，故离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(,1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(,3),2)．
4．(人A选必一P109练习3改编)若椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为__20__，△AF1F2的周长为__16__．
5．(人A选必一P114练习2)经过椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，若直线l与椭圆相交于A，B两点，则AB的长度为__eq \f(8\r(,2),7)__．
【解析】 因为椭圆方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，所以焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)．因为直线AB过左焦点F1且倾斜角为60°，所以直线AB的方程为y＝eq \r(,3)(x＋1)．将AB的方程与椭圆方程联立，消去y，得7x2＋12x＋4＝0，Δ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1＋x2＝－eq \f(12,7)，x1x2＝eq \f(4,7)，所以|x1－x2|＝eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,7)))2－4×\f(4,7))＝eq \f(4\r(,2),7)．因此，|AB|＝eq \r(,1＋3)·|x1－x2|＝eq \f(8\r(,2),7)．
举题固法
目标引领
轨迹方程
例1 (1) 若点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比为1∶2，则点M的轨迹方程为( C )
A．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
C．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1
【解析】 设M(x，y)，因为点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比为1∶2，所以eq \f(\r(x－22＋y2),|x－8|)＝eq \f(1,2)，即4(x－2)2＋4y2＝(x－8)2，整理得eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1．
(2) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(1,0)，动点M(x，y)与点N关于原点O对称，四边形MANB的周长为8，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为__eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)__．
【解析】 如图，因为动点M(x，y)与点N关于原点O对称，所以四边形MANB为平行四边形．又因为四边形MANB的周长为8，所以|MA|＋|MB|＝4＞|AB|，所以点M的轨迹为椭圆(去掉长轴两端点)，设其方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，其中半焦距c＝1，a＝2，所以b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(3)，所以曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)．
(例1(2))
(3) (2023·泰安一模节选)已知动点P与两定点A1(－2,0)，A2(2,0)，直线PA1与PA2的斜率之积为－eq \f(3,4)，记动点P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为__eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)__．
【解析】 设动点P的坐标为(x，y)，由题意得eq \f(y,x＋2)·eq \f(y,x－2)＝－eq \f(3,4)，化简得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)，故所求曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)．
椭圆第一定义：与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(此常数大于|F1F2|)；
椭圆第二定义：到定点F和到定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e(0＜e＜1)；
椭圆第三定义：与两定点连线的斜率乘积为定值．
变式1 已知B(－1,0)，C(1,0)为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC，AB上的两条中线长度之和为6，则点P的轨迹方程为__eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
(x≠±2)__．
【解析】 因为P为△ABC的重心，且边AC，AB上的两条中线长度之和为6，所以|PB|＋|PC|＝eq \f(2,3)×6＝4＞|BC|，故由椭圆的定义可知点P的轨迹是以B(－1,0)，C(1，0)为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，且a＝2，c＝1，所以b＝eq \r(3)，所以点P的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)．
简单几何性质
例2 (1) (2023·苏锡常镇一模)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，点P，Q在直线x＝eq \f(a2,c)上，FP⊥FQ，O为坐标原点，若eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝2eq \(OF,\s\up6(→))2，则该椭圆的离心率为( B )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(\r(,6),3)
C．eq \f(\r(,2),2)D．eq \f(\r(,3),2)
【解析】 设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，y1))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，y2))，则由FP⊥FQ，知eq \(FP,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－c，y1))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－c，y2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－c))2＋y1y2＝0．因为eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝2eq \(OF,\s\up6(→))2，所以eq \f(a4,c2)＋y1y2＝2c2，则y1y2＝2c2－eq \f(a4,c2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－c))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c2－\f(a4,c2)))＝0，化简得2a2＝3c2，从而椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(,6),3)．
(2) (2023·青岛二模)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与E交于点A，B，直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，F1，A，M三点共线．若|AB|＝a，eq \f(|BF1|,|MF1|)＝eq \f(5,7)，则eq \f(|BF2|,|AF1|)＝__eq \f(1,4)__．
【解析】 如图，因为点B关于l的对称点为M，所以|AM|＝|AB|．因为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，且|AB|＝a，所以|AF1|＋|BF1|＝3a，所以eq \f(|BF1|,|MF1|)＝eq \f(|BF1|,|AB|＋|AF1|)＝eq \f(|BF1|,a＋3a－|BF1|)＝eq \f(5,7)，可得|BF1|＝eq \f(5a,3)，则|AF1|＝3a－|BF1|＝eq \f(4a,3)，所以|BF2|＝2a－|BF1|＝eq \f(a,3)，故eq \f(|BF2|,|AF1|)＝eq \f(a,3)×eq \f(3,4a)＝eq \f(1,4)．
(例2(2))
变式2 (1) (2023·烟台期末)设A，B分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点和上顶点，F为C的右焦点，若F到直线AB的距离为b，则该椭圆的离心率为( A )
A．eq \f(\r(3)－1,2)B．eq \r(3)－1
C．eq \f(\r(2)－1,2)D．eq \r(2)－1
【解析】 由题意可得A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，所以直线AB的方程为eq \f(y－b,0－b)＝eq \f(x－0,－a－0)，整理得ay－bx－ab＝0，所以点F到直线AB的距离d＝eq \f(|－cb－ab|,\r(a2＋－b2))＝eq \f(cb＋ab,\r(a2＋b2))＝b，所以c＋a＝eq \r(a2＋b2)①．又因为椭圆中a2＝b2＋c2②，e＝eq \f(c,a)③，所以联立①②③得2e2＋2e－1＝0，解得e＝eq \f(－1±\r(3),2)．又因为e＞0，所以e＝eq \f(\r(3)－1,2)．
(2) (2022·新高考Ⅰ卷) 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(1,2)．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是__13__．
【解析】 因为椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆的方程为eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0．不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，因为|AF2|＝a，|OF2|＝c，a＝2c，所以∠AF2O＝eq \f(π,3)，所以△AF1F2为正三角形．因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，所以直线DE的斜率为eq \f(\r(3),3)，直线DE的方程为x＝eq \r(3)y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得到13y2－6eq \r(3)cy－9c2＝0，则Δ＝(－6eq \r(3)c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2＞0．设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则|ED|＝eq \r(1＋\r(3)2)|y1－y2|＝2×6×4×eq \f(c,13)＝6，所以c＝eq \f(13,8)， a＝2c＝eq \f(13,4)．因为DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长等于△F2DE的周长．利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13．
(变式2(2))
直线与椭圆
例3 (2023·十堰二模)已知P(2,0)是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点，过点D(1，0)且斜率为k(k＜0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点(点A在x轴的上方)，直线PA，PB分别与直线x＝1相交于M，N两点．当A为椭圆C的上顶点时，k＝－1．
(1) 求椭圆C的方程；
【解答】 由题可知，a＝2．当A为椭圆C的上顶点时，k＝eq \f(b－0,0－1)＝－1，解得b＝1，故椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2) 若|ND|－|MD|＝λ，且λ∈[1,3]，求k的取值范围．
【解答】 依题意可设直线l的方程为x＝ty＋1，t＜0，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ty＋1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去x整理得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0，Δ＝16t2＋48＞0，则y1＋y2＝－eq \f(2t,t2＋4)，y1y2＝－eq \f(3,t2＋4)．直线AP的方程为y＝eq \f(y1,x1－2)(x－2)，令x＝1，得yM＝－eq \f(y1,x1－2)．同理可得yN＝－eq \f(y2,x2－2)，则|ND|－|MD|＝eq \f(y2,x2－2)＋eq \f(y1,x1－2)＝eq \f(y2,ty2－1)＋eq \f(y1,ty1－1)＝eq \f(2ty1y2－y1＋y2,t2y1y2－ty1＋y2＋1)＝eq \f(2t·\f(－3,t2＋4)－\f(－2t,t2＋4),t2·\f(－3,t2＋4)－t·\f(－2t,t2＋4)＋1)＝eq \f(\f(－4t,t2＋4),\f(4,t2＋4))＝－t．因为|ND|－|MD|＝λ，且λ∈[1,3]，所以1≤－t≤3，－3≤t≤－1，又k＝eq \f(1,t)，故－1≤k≤－eq \f(1,3)．
(例3)
随堂内化
1．(2023·临沂一模节选)已知动点M(x，y)与点F(1，0)的距离和它到直线x＝4的距离之比是eq \f(1,2)，点M的轨迹为曲线C，则C的方程为__eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1__．
【解析】 由题意知eq \f(\r(x－12＋y2),|x－4|)＝eq \f(1,2)，化简整理得曲线C的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
2．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝eq \r(3)e1，则a＝( A )
A．eq \f(2\r(3),3)B．eq \r(2)
C．eq \r(3)D．eq \r(6)
【解析】 由e2＝eq \r(3)e1，得eeq \\al(2,2)＝3eeq \\al(2,1)，因此eq \f(4－1,4)＝3×eq \f(a2－1,a2)，而a＞1，所以a＝eq \f(2\r(3),3)．
3．已知过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点F(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是( B )
A．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1B．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
C．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
【解析】 如图，不妨设A在第一象限，由椭圆的左焦点F(－1，0)，点C，F是线段AB的三等分点，则C为AF的中点，F为BC中点，所以xA＝1，所以eq \f(1,a2)＋eq \f(y\\al(2,A),b2)＝1，则yA＝eq \f(b2,a)，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(b2,a)))，所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(b2,2a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(b2,2a)))，将点B的坐标代入椭圆方程得eq \f(4,a2)＋eq \f(\f(b4,4a2),b2)＝1，即eq \f(4,a2)＋eq \f(b2,4a2)＝1，又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4，所以椭圆的标准方程是eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1．
(第3题)
4．(2023·张家口期末)(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M(2,1)，直线l与椭圆C交于A，B两点，则( AC )
A．|AF1|·|AF2|的最大值为16
B．△AF1F2的内切圆半径r≤eq \r(3)
C．|AM|＋|AF1|的最小值为7
D．若M为AB的中点，则直线l的方程为x＋y－3＝0
【解析】 对于A，在椭圆C中，a＝4，b＝2eq \r(3)，则c＝eq \r(a2－b2)＝2，即点F1(－2,0)，F2(2,0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．由基本不等式可得|AF1|·|AF2|≤eq \f(|AF1|＋|AF2|2,4)＝16，当且仅当|AF1|＝|AF2|＝4时，等号成立，故|AF1|·|AF2|的最大值为16，故A正确；对于B，因为S△AF1F2＝eq \f(1,2)r(|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|)＝(a＋c)r＝6r，当点A为椭圆C的短轴的顶点时，S△AF1F2取最大值eq \f(1,2)×2c×b＝bc＝4eq \r(3)，所以r＝eq \f(S△AF1F2,6)≤eq \f(4\r(3),6)＝eq \f(2\r(3),3)，故B错误；对于C，由椭圆的定义可得|AF1|＝8－|AF2|，所以|AM|＋|AF1|＝|AM|＋8－|AF2|＝8＋(|AM|－|AF2|)≥8－|MF2|＝7，当且仅当点A为射线F2M与椭圆C的交点时，等号成立，故|AM|＋|AF1|的最小值为7，故C正确；对于D，因为eq \f(22,16)＋eq \f(1,12)＜1，则点M在椭圆C内，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则线段AB的中点在x轴上，不合题意，所以直线AB的斜率存在，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝4，,y1＋y2＝2，))由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),16)＋\f(y\\al(2,1),12)＝1，,\f(x\\al(2,2),16)＋\f(y\\al(2,2),12)＝1，))两个等式作差可得eq \f(x1－x2x1＋x2,16)＋eq \f(y1－y2y1＋y2,12)＝0，即eq \f(x1－x2,4)＋eq \f(y1－y2,6)＝0，所以直线AB的斜率为kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(3,2)，所以直线l的方程为y－1＝－eq \f(3,2)(x－2)，即3x＋2y－8＝0，故D错误．
(第4题)
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