2024年高考数学重难点突破讲义：学案 第4讲　直线与抛物线

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 第4讲　直线与抛物线，共6页。

1．(多选)过点P(－2,3)的抛物线的标准方程为( AB )
A．y2＝－eq \f(9,2)xB．x2＝eq \f(4,3)y
C．y2＝eq \f(9,2)xD．x2＝－eq \f(4,3)y
2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M(x0，y0)是C上一点，|MF|＝eq \f(4,3)x0，则x0＝( C )
A．1B．2
C．3D．4
【解析】 依题意知，焦点F(1,0)，由定义知|MF|＝x0＋1，所以x0＋1＝eq \f(4,3)x0，解得x0＝3．
3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是C上两点，若yeq \\al(2,2)－2yeq \\al(2,1)＝4，则eq \f(|AF|,|BF|)＝( A )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(,2),2)
C．eq \r(,2)D．2
【解析】 由抛物线C：y2＝4x，得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，又因为yeq \\al(2,2)－2yeq \\al(2,1)＝4，所以4x2－8x1＝4，即x2＝2x1＋1，所以x2＋1＝2(x1＋1)，即|BF|＝2|AF|，所以eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(1,2)．
4．已知点A(4,2)，点F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上移动，则|PA|＋|PF|的最小值为( C )
A．eq \r(,13)B．4
C．5D．6
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，过点P作直线x＝－1的垂线，垂足为点E，由抛物线的定义可得|PE|＝|PF|，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PE|．由图可知，当A，P，E三点共线时，即当AP与直线x＝－1垂直时，|PA|＋|PF|取得最小值，且最小值为4＋1＝5．
(第4题)
5．(人A选必一P136练习3)若过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2＝4x于A，B两点，则|AB|＝__4eq \r(,6)__．
【解析】 直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2，与抛物线的方程联立并消去y，得x2－8x＋4＝0．由根与系数的关系，得xA＋xB＝8，xAxB＝4，所以|AB|＝eq \r(,1＋k2[xA＋xB2－4xAxB])＝eq \r(,2×64－16)＝4eq \r(,6)．
举题固法3
目标引领
轨迹方程
例1 (1) 在平面直角坐标系中，动点P和点M(－3,0)，N(3,0)满足|eq \(MN,\s\up6(→))|·|eq \(MP,\s\up6(→))|＋eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(NP,\s\up6(→))＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为__y2＝－12x__．
【解析】 由题意知eq \(MN,\s\up6(→))＝(6,0)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(x＋3，y)，eq \(NP,\s\up6(→))＝(x－3，y)，由|eq \(MN,\s\up6(→))|·|eq \(MP,\s\up6(→))|＋eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(NP,\s\up6(→))＝0，得6eq \r(x＋32＋y2)＋6(x－3)＝0，化简得y2＝－12x．
(2) 设O为坐标原点，F(2,0)，点A是直线x＝－2上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为__y2＝8x__．
【解析】 如图，由垂直平分线的性质可得|PA|＝|PF|，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为F(2,0)，故p＝4,2p＝8，点P的轨迹方程为y2＝8x．
(例1(2))
变式1 已知动圆M与直线y＝－2相切，且与定圆C：x2＋(y－3)2＝1外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为__x2＝12y__．
【解析】 方法一：设M(x，y)，显然y＞－2，则eq \r(x2＋y－32)＝y＋2＋1，即x2＋y2－6y＋9＝y2＋6y＋9，解得x2＝12y．
方法二：由题意知，动点M到C(0,3)的距离比到y＝－2的距离多1，则动点M到C(0,3)的距离与到y＝－3的距离相等，符合抛物线的定义，y＝－3为准线，(0,3)为焦点，设抛物线方程为x2＝2py，则eq \f(p,2)＝3，p＝6，故圆心M的轨迹方程为x2＝12y．
简单几何性质
例2 (1) (2023·娄底四模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M(m,2eq \r(p))到其焦点的距离为4，则p＝( D )
A．1B．2
C．3D．4
【解析】 因为点M(m,2eq \r(p))在y2＝2px(p＞0)上，所以4p＝2pm，得到m＝2．又点M(2,2eq \r(p))到其焦点的距离为4，根据抛物线定义知，2＋eq \f(p,2)＝4，解得p＝4．
(2) (2023·莆田模拟)已知抛物线C：x2＝2y的焦点为F，准线为l，A，B是C上异于点O的两点(O为坐标原点)，若∠AFB＝60°，过AB的中点D作DE⊥l于点E，则eq \f(|AB|,|DE|)的最小值为__1__．
【解析】 如图，过点A作AA1⊥l于点A1，过点B作BB1⊥l于点B1，设|AF|＝m，|BF|＝n，所以|DE|＝eq \f(|AA1|＋|BB1|,2)＝eq \f(m＋n,2)．因为|AB|2＝m2＋n2－2mncs∠AFB＝m2＋n2－mn＝(m＋n)2－3mn≥(m＋n)2－eq \f(3m＋n2,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))2＝|DE|2，所以|AB|≥|DE|，则eq \f(|AB|,|DE|)的最小值为1，当且仅当m＝n时，等号成立．
(例2(2))
变式2 (1) (2023·大庆一检)设抛物线C：x2＝－12y 的焦点为F，点P在C上，Q(0，－9)，若|PF|＝|QF|，则|PQ|＝( D )
A．2eq \r(2)B．4eq \r(2)
C．5eq \r(2)D．6eq \r(2)
【解析】 由题意可知F(0，－3)，|QF|＝6，所以|PF|＝6．因为抛物线C的通径长2p＝12，所以PF⊥y轴，所以|PQ|＝eq \r(62＋62)＝6eq \r(2)．
(2) (2023·烟台三模)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p,0)，过点F的直线交C于M，N两点，直线MD垂直于x轴，|MF|＝3，则|NF|＝__eq \f(3,2)__．
【解析】 由题意得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，因为直线MD垂直于x轴，D(p，0)，准线方程为x＝－eq \f(p,2)，所以点M的横坐标为p．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据抛物线的定义知|MF|＝x1＋eq \f(p,2)＝eq \f(3,2)p＝3，解得p＝2，则抛物线C：y2＝4x，F(1,0)，可设直线MN的方程为x－1＝my，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))可得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16＞0，y1y2＝－4，则(y1y2)2＝16x1x2＝16，即32x2＝16，解得x2＝eq \f(1,2)，则|NF|＝x2＋eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2)．
(变式2(2))
直线与抛物线
例3 (2023·揭阳期末)已知F是抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，过点F的直线l与E交于A，B两点．当l⊥x轴时，△OAB(O为坐标原点)的面积为2．
(1) 求抛物线E的方程；
【解答】当l⊥x轴时，AB为抛物线E的通径，此时|AB|＝2p．易知OF⊥AB，所以OF是△OAB的高，所以△OAB的面积S＝eq \f(1,2)×|AB|×|OF|＝eq \f(p2,2)＝2，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x．
(2) 设过点F的直线l1与E交于C，D两点，且|FA|·|FB|＝|FC|·|FD|．当|CD|＝8时，求直线l的方程．
【解答】由题意可设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))得y2－4my－4＝0，Δ＞0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．根据抛物线的定义，得|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1，所以|FA|·|FB|＝(x1＋1)(x2＋1)＝(my1＋2)(my2＋2)，整理得|FA|·|FB|＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4．设直线l1的方程为x＝m1y＋1，同理可得|FC|·|FD|＝4meq \\al(2,1)＋4．因为|FA|·|FB|＝|FC|·|FD|，所以4m2＋4＝4meq \\al(2,1)＋4，解得m＝m1(舍去)或m＋m1＝0，即m1＝－m，所以|AB|＝|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4，同理可得|CD|＝4meq \\al(2,1)＋4＝4(－m)2＋4＝4m2＋4．当|CD|＝8时，即4m2＋4＝8，解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0．
随堂内化
1．(2023·莆田二检)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，则|AF|＝( B )
A．3B．4
C．5D．6
【解析】 由题意得F(1,0)，准线方程为x＝－1，设A(m，n)，则AF中点的横坐标为eq \f(m＋1,2)，故eq \f(m＋1,2)＝2，解得m＝3，由抛物线的焦半径可知|AF|＝3＋1＝4．
2．(2023·唐山调研)若直线l：x－y－1＝0与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，则|AB|＝( A )
A．8B．4eq \r(2)
C．4D．2eq \r(2)
【解析】 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y－1＝0，,y2＝4x，))消去y并化简得x2－6x＋1＝0，Δ＝32＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1·x2＝1，所以|AB|＝eq \r(1＋12)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(2)×eq \r(36－4)＝8．
3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|的最小值为1．
(1) 求p；
【解答】 因为|PF|≥eq \f(p,2)，则eq \f(p,2)＝1，所以p＝2．
(2) 设O为坐标原点，A，B为抛物线C上不同的两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＜eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－3，求|AB|的取值范围．
【解答】 由(1)得C：y2＝4x，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)，y2))，则eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)，y1))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)，y2))，故k1＝eq \f(4,y1)，k2＝eq \f(4,y2)．由k1k2＜eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－3，得eq \f(16,y1y2)＜eq \f(y1y22,16)＋y1y2＝－3，所以y1y2＝－4．设直线AB的方程为y＝kx＋b，联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝4x，))得eq \f(k,4)y2－y＋b＝0，所以y1y2＝eq \f(b,\f(k,4))＝－4，则b＝－k，故y＝kx＋b＝kx－k＝k(x－1)过焦点(1,0)，所以|AB|≥2p＝4．