2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口1　频率分布直方图的分析与应用

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求中位数与百分位数
例1 (1) (2023·邢台期末)《中国居民膳食指南(2022)》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：kg)，根据测量数据，按[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60)，[60,65)，[65,70]分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是( C )
(例1(1))
A．55B．57.25
C．58.75D．60
【解析】 因为(0.01＋0.03＋0.08)×5＝0.6＜0.75,0.6＋0.04×5＝0.8＞0.75，所以该地中学生体重的第75百分位数在[55,60)内，设第75百分位数为m，则(m－55)×0.04＋0.6＝0.75，解得m＝58.75．
(2) 作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题．为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录作出频率分布直方图如图所示．
(例1(2))
已知该医院报销政策为花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6 000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6 000元以上的报销所花费费用的80%．下列说法中正确的是( D )
A．a＝0.001 8
B．若某病人住院花费了4 300元，则报销后实际花费为2 235元
C．根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为eq \f(3,10)
D．这100份花费费用的中位数是4 200元
【解析】 由频率分布直方图可得(0.000 25＋a＋0.000 15＋0.000 12＋0.000 1×2＋0.000 05×2)×1 000＝1，经计算得a＝0.000 18，即A错误；某病人住院花费了4 300元，则报销的金额为(4 300－400)×65%＝2 535元，所以此人实际花费为4 300－2 535＝1 765元，即B错误； 样本中可报销费用为80%的占比为0.15，即根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为eq \f(3,20)，即C错误；样本中花费金额小于4 000元的概率为(a＋0.000 12＋0.000 1＋0.000 05)×1 000＝0.45，所以中位数应在区间[4 000，5 000)内，所以花费费用的中位数是4 000＋eq \f(0.5－0.45,0.000 25×1 000)×1 000＝4 200元，即D正确．
变式1 (2023·岳阳二模)(多选)某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，为进一步了解学生的答题情况，通过分层随机抽样，从成绩在区间[70,90)内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是( AC )
(变式1)
A．频率分布直方图中的x＝0.030
B．估计100名学生成绩的中位数是85
C．估计100名学生成绩的80%分位数是95
D．从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于[70,80)，则后抽取的学生成绩在[80,90)的概率是eq \f(4,15)
【解析】 对于A，根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10×(0.005＋0.01＋0.015＋x＋0.040)＝1，解得x＝0.030，故A正确；对于B，由(0.005＋0.010＋0.015)×10＝0.3＜0.5，(0.005＋0.010＋0.015＋x)×10＝0.6＞0.5，故中位数位于[80,90)之间，中位数为80＋eq \f(0.5－0.3,0.3)×(90－80)＝eq \f(260,3)，故B错误；对于C,80%分位数约为90＋eq \f(0.8－0.6,0.4)×10＝95分，故C正确；对于D，在被抽取的学生中，成绩在区间[70,80)和[80,90)的学生人数之比为eq \f(10×0.015,10×0.030)＝eq \f(1,2)，故[70,80)中抽取了2人，[80,90)中抽取了4人，先抽取的学生成绩位于[70,80)，则第二次抽取时，是在5个人中抽取，而此时学生成绩在[80,90)的个数有4个，故概率为eq \f(4,5)，故D不正确．
求均值与方差
例2 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图频率分布直方图．
(例2)
(1) 求这500件产品质量指标值的样本平均数eq \x\t(x)和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
【解答】 样本平均数eq \x\t(x)＝(170×0.002＋180×0.009＋190×0.022＋200×0.033＋210×0.024＋220×0.008＋230×0.002)×10＝200，方差s2＝(170－200)2×0.002×10＋(180－200)2×0.009×10＋(190－200)2×0.022×10＋(200－200)2×0.033×10＋(210－200)2×0.024×10＋(220－200)2×0.008×10＋(230－200)2×0.002×10＝150．
(2) 产品质量指标值在185与215之间的每个盈利200元，在175与185或215与225之间的每个亏损50元，其余的每个亏损300元．该企业共生产这种产品10 000个，估计这批产品可获利或亏损多少元？
【解答】 由频率分布直方图可知，质量指标值在[185,215)的频率为(0.022＋0.033＋0.024)×10＝0.79，质量指标值在[175,185)和[215,225)的频率为(0.009＋0.008)×10＝0.17，质量指标值在[165,175)和[225,235]的频率为0.002×2×10＝0.04，所以(200×0.79－50×0.17－300×0.04)×10 000＝1 375 000(元)．故10 000件产品获利1 375 000元．
频率分布直方图中百分位数求解步骤：
(1) 找出百分位数所在的矩形区间(a，b)；
(2) 设组距为d，k百分位数＝a＋d·eq \f(\f(k,100)－a处之前的频率和,区间a，b的频率)．
变式2 某公司新研发一种电子产品，准备从甲、乙两个代加工厂中选择一个进行生产，为此先让甲、乙两个代加工厂分别试生产20件产品，通过检测，将甲工厂试生产产品的质量分数(单位：分)按照[88,90)，[90,92)，[92,94)，[94,96)，[96,98)，[98,100]分组，得到频率分布直方图如图所示，乙工厂试生产产品的质量分数分别为86,89,89,90,90,92,92,93,93,93,93,93,93,93,95,95,95,98,98,100．已知产品质量越好，质量分数越高．以频率估计概率，以样本估计总体．
(变式2)
(1) 已知甲工厂试生产产品的质量分数的方差为7.29，乙工厂试生产产品的质量分数的平均数为93，判断该公司应该选择哪个工厂进行生产，并说明理由(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
【解答】 甲工厂试生产产品的质量分数的平均数为0.1×89＋0.2×91＋0.3×93＋0.2×95＋0.15×97＋0.05×99＝93.5，甲工厂试生产产品的质量分数的方差为7.29．乙工厂试生产产品的质量分数的平均数为93＋eq \f(1,20)×(－7－4－4－3－3－1－1＋2＋2＋2＋5＋5＋7)＝93，乙工厂试生产产品的质量分数的方差为eq \f(1,20)×[(86－93)2＋2×(89－93)2＋2×(90－93)2＋2×(92－93)2＋7×(93－93)2＋3×(95－93)2＋2×(98－93)2＋(100－93)2]＝10.6．甲工厂试生产产品的质量分数的平均数大于乙工厂，并且甲工厂试生产产品的质量分数的方差小于乙工厂，故选择甲工厂．
(2) 现将质量分数低于92分的产品定为二等品，质量分数不低于92分的产品定为一等品，已知每生产一件二等品的利润为300元，每生产一件一等品的利润为400元，请估计(1)中选择的工厂生产一件产品的利润．
【解答】 甲工厂每生产一件产品是二等品的概率为2×(0.05＋0.1)＝0.3，一等品的概率为1－0.3＝0.7，所以估计甲工厂生产一件产品的利润为300×0.3＋400×0.7＝370(元)．
频率分布直方图中的数字特征
(1) 中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．
(2) 平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．
(3) 方差：s2＝(x1－eq \x\t(x))2×f1＋(x2－eq \x\t(x))2×f2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2×fn，其中xi(i＝1,2，…，n)表示矩形的底边中点的横坐标，fi(i＝1,2，…，n)表示各个矩形的面积(即频率)．