2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口1　组合体的表面积与体积计算

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多面体的表面积与体积
例1 (1) 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D－ACD1的体积是( A )
(例1(1))
A．eq \f(1,6)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,2)D．1
【解析】 三棱锥D－ACD1的体积等于三棱锥D1－ACD的体积，三棱锥D1－ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形，高D1D＝1，所以三棱锥D－ACD1的体积为V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1＝eq \f(1,6)．
(2) (2023·沈阳三模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭．如图，现有一方亭ABCD－EFHG，其中上底面与下底面的面积之比为1∶4，方亭的高h＝EF，BF＝eq \f(\r(6),2)EF，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为eq \f(56,3)，则该方亭的表面积为( A )
(例1(2))
A．20＋12eq \r(5)B．20＋6eq \r(5)
C．5＋3eq \r(5)D．5＋6eq \r(5)
【解析】 由题意得，S正方形EFHG＝EF2，S正方形ABCD＝4EF2，则方亭的体积为eq \f(1,3)·EF·(EF2＋4EF2＋eq \r(EF2·4EF2))＝eq \f(56,3)，解得EF＝2，则S正方形EFHG＝4，S正方形ABCD＝16．画出等腰梯形ABFE的平面图如图所示，作EM⊥AB于点M，BF＝eq \f(\r(6),2)EF＝eq \r(6)，AM＝eq \f(4－2,2)＝1，则EM＝eq \r(6－1)＝eq \r(5)，S正方形ABFE＝eq \f(1,2)×(2＋4)×eq \r(5)＝3eq \r(5)，则该方亭的表面积为S正方形EFHG＋S正方形ABCD＋4S正方形ABFE＝20＋12eq \r(5)．
(例1(2))
(3) (2023·潍坊二模)如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱(内部全空)，其中模型上、下层的底面周长均为36eq \r(,3) cm，高为4 cm．现在其内部放入一个体积为36 π cm3的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于8 cm，则该模型的侧面积至少为( B )
(例1(3))
A．800eq \r(,3) cm2B．544eq \r(,3) cm2
C．(288eq \r(,3)＋384) cm2D．(288eq \r(,3)＋768) cm2
【解析】 由题意，上、下两层的正六棱柱侧面积之和为S1＝2×36eq \r(,3)×4＝288eq \r(,3) (cm2)．当球形灯球心到各面的距离等于8 cm时，中间六棱柱的高为h＝2×8－2×4＝8 cm．当球心到侧面距离为8cm时，可知棱柱底面边长acm满足a×eq \f(\r(,3),2)＝8，解得a＝eq \f(16\r(,3),3)，所以中层正六棱柱的侧面积S2＝6×eq \f(16\r(,3),3)×8＝256eq \r(,3)(cm2)，故该模型的侧面积至少为S＝S1＋S2＝544eq \r(,3)(cm2)．
变式1 (1) (2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq \r(2)，则该棱台的体积为__eq \f(7\r(,6),6)__．
【解析】 如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD－A1B1C1D1的高．因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq \r(2)，则A1O1＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)×eq \r(2)A1B1＝eq \f(\r(2),2)，AO＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×eq \r(2)AB＝eq \r(2)，故AM＝eq \f(1,2)(AC－A1C1)＝eq \f(\r(2),2)，则A1M＝eq \r(A1A2－AM2)＝eq \r(2－\f(1,2))＝eq \f(\r(6),2)，所以所求体积为V＝eq \f(1,3)×(4＋1＋eq \r(4×1))×eq \f(\r(6),2)＝eq \f(7\r(6),6)．
(变式1(1))
(2) (2023·娄底四模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，点D是棱AA1上的点，AD＝eq \f(1,4)AA1，若截面BDC1分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为( D )
A．1∶2B．4∶5
C．4∶9D．5∶7
(变式1(2))
【解析】 不妨令AB＝BC＝CA＝AA1＝4，且上、下底面均为等边三角形．又AA1⊥底面ABC，易知ABC－A1B1C1为直三棱柱，即侧面为矩形，所以三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝AA1·S△ABC＝4×eq \f(1,2)×42×eq \f(\r(3),2)＝16eq \r(3)．而AD＝1，CC1＝4，故S梯形ACC1D＝eq \f(1,2)AC·(AD＋CC1)＝10，所以VB－ACC1D＝eq \f(1,3)×2eq \r(3)×10＝eq \f(20\r(3),3)，故VC1－A1B1BD＝V－VB－ACC1D＝eq \f(28\r(3),3)，所以eq \f(VB－ACC1D,VC1－A1B1BD)＝eq \f(5,7)．
旋转体的表面积与体积
例2 (1) (2023·烟台三模)已知底面半径为3的圆锥SO，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为( C )
A．eq \r(3)πB．2eq \r(3)π
C．4eq \r(3)πD．8eq \r(3)π
【解析】 如图，作出圆锥的轴截面SAB，依题意，OB＝OA＝3，OD＝OC＝1，SB＝6，所以SO＝eq \r(SB2－OB2)＝3eq \r(3)，易知△BDF∽△BOS，则eq \f(BD,BO)＝eq \f(DF,SO)，所以DF＝2eq \r(3)，即圆锥的内接圆柱的底面半径r＝1，高h＝2eq \r(3)，所以圆柱的侧面积S＝2πrh＝2×1×2eq \r(3)π＝4eq \r(3)π．
(例2(1))
(2) (2023·莆田二检)某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为144π cm3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为1.5 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为(1.5π≈4.7)( C )
(例2(2))
A．3 045.6 gB．1 565.1 g
C．972.9 gD．296.1 g
【解析】 设半球的半径为Rcm，因为V半球＝eq \f(2,3)πR3＝144π(cm3)，所以R＝6．由题意圆台的上底面半径及高均是3cm，下底面半径为6cm，所以V圆台＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h＝eq \f(1,3)(32·π＋62·π＋eq \r(32·π·62·π))×3＝63π(cm3)，所以该实心模型的体积为V＝V半球＋V圆台＝144π＋63π＝207π(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为207π×1.5≈207×4.7＝972.9(g)．
(3) (2023·诸暨三模)马剑馒头在诸暨市很有名．某马剑镇馒头商家为了将马剑馒头销往全国，定制了如图所示的由底面圆半径为4 cm的圆柱体和球冠(球的一部分，球心与圆柱底面圆心重合)组成的单独包装盒(包装盒总高度为5 cm)，则包装盒的表面积(单位：cm2，球冠的表面积公式为S＝2πRh，其中R为球冠对应球体的半径，h为球冠的高)是( D )
(例2(3))
A．36πB．40π
C．44πD．60π
【解析】 如图，由题意知包装盒总高度为5 cm，即球冠所在球的半径为OC＝R＝5cm，圆柱底面圆的半径为O′A＝r＝4cm，设球冠的高为O′C＝h cm，则OA2＝O′O2＋O′A2，即52＝(5－h)2＋42，所以h＝2或h＝8(舍去)，故圆柱高为5－2＝3(cm)，包装盒的表面积为2π×4×3＋π×42＋2π×5×2＝60π(cm2)．
(例2(3))
变式2 (2023·承德二模)如图，该模型为圆柱中挖去圆台余下的部分，圆柱和挖去的圆台上、下底面圆的圆心重合，圆柱的底面半径和高均为3，挖去的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，则该模型的体积为( C )
(变式2)
A．eq \f(20,3)πB．eq \f(17,3)π
C．20πD．23π
【解析】 由题设知，圆台上底面积S1＝π，下底面积S2＝4π，圆台体积为V＝eq \f(1,3)×3×(π＋eq \r(π·4π)＋4π)＝7π，而圆柱体积为V′＝3×9π＝27π，所以该模型的体积为V′－V＝27π－7π＝20π．
1．三类几何体表面积的求法
2．求体积的常用方法
求多面体的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，要弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
直接法
对于规则的几何体，利用相关公式直接计算
割补法
首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算，或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算
等体积法
选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即可利用三棱锥的任意一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换