2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口3　两直线斜率乘积为e2－1的应用

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口3　两直线斜率乘积为e2－1的应用，共5页。
圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点A1(－a，0)，A2(a,0)的斜率乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线，两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点．如果常数e2－1＞0，那么轨迹为双曲线；如果e2－1∈(－1，0)，那么轨迹为椭圆．
例1 (1) 已知P，A，B是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上不同的三点，且A，B关于原点对称，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB＝eq \f(3,4)，则该双曲线的离心率是( C )
A．2B．2eq \r(3)
C．eq \f(\r(7),2)D．2eq \r(2)
【解析】 由题意，设P(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，eq \f(x\\al(2,1),a2)－eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，两式相减得eq \f(x2－x\\al(2,1),a2)＝eq \f(y2－y\\al(2,1),b2)，即eq \f(y2－y\\al(2,1),x2－x\\al(2,1))＝eq \f(b2,a2)．因为kPAkPB＝eq \f(3,4)，所以eq \f(y－y1,x－x1)·eq \f(y＋y1,x＋x1)＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，则该双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\f(3,4))＝eq \f(\r(7),2)．
(2) 已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，且AB，AD的斜率之积的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－\f(3,4)))，则椭圆Ω的离心率的取值范围为( A )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,5),5)，\f(1,2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,5),5)，\f(\r(,2),2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(,5),5)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(1,4)))
【解析】 因为平行四边形ABCD内接于椭圆Ω，假设A，C不关于原点对称，过点A，C作互相平行的两条直线，分别交椭圆Ω于B，D两点，则由椭圆的对称性，|AB|≠|CD|，这与条件不符合．所以由椭圆的对称性可得A，C关于原点对称，B，D关于原点对称．设A(x1，y1)，C(－x1，－y1)，B(x0，y0)，D(－x0，－y0)，所以直线AB的斜率kAB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)，直线AD的斜率kAD＝eq \f(y0＋y1,x0＋x1)，则kAB·kAD＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))．又A，B都在椭圆Ω上，则yeq \\al(2,0)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),a2)))，yeq \\al(2,1)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,1),a2)))，所以yeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,1)＝b2·eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,0),a2)，所以kAB·kAD＝－eq \f(b2,a2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－\f(3,4)))．又e＝eq \r(,1－\f(b2,a2))，所以e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,5),5)，\f(1,2)))．
变式1 (1) 已知A，B，P为双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1上不同三点，且满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))(O为坐标原点)，直线PA，PB的斜率记为m，n，则m2＋eq \f(n2,4)的最小值为( B )
A．8B．4
C．2D．1
【解析】 因为满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))(O为坐标原点)，所以A，B关于原点对称．设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x0，y0)，则eq \f(y\\al(2,0),4)＝xeq \\al(2,0)－1，eq \f(y\\al(2,1),4)＝xeq \\al(2,1)－1，直线PA，PB的斜率记为m，n，满足mn＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))＝4，则m2＋eq \f(n2,4)≥2m·eq \f(n,2)＝mn＝4，即m2＋eq \f(n2,4)的最小值为4．
(2) 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，M，N分别为椭圆C的左、右顶点，若在椭圆C上存在一点H，使得kMH·kNH∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，则椭圆C的离心率e的取值范围为( A )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)，1))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(,2),2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)，1))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(,3),2)))
【解析】 由题意，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，可得M(－a，0)，N(a,0)，设H(x0，y0)，代入椭圆方程可得yeq \\al(2,0)＝eq \f(b2,a2)(a2－xeq \\al(2,0))，则kMH·kNH＝eq \f(y0,x0＋a)·eq \f(y0,x0－a)＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)＝eq \f(\f(b2,a2)a2－x\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)＝－eq \f(b2,a2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，即eq \f(c2－a2,a2)＝e2－1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，即e2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))．又因为0＜e＜1，所以e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)，1))．
中点弦问题
例2 (1) (2023·辽阳期末)已知直线y＝－eq \f(1,2)x＋2与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，线段AB的中点为P(2,1)，则椭圆C的离心率是( A )
A．eq \f(\r(3),2)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(3,4)D．eq \f(1,4)
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))从而eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)＝0，故eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)．由题意可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)，则－eq \f(4b2,2a2)＝－eq \f(1,2)，从而eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，故椭圆C的离心率e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2)．
(2) 已知斜率为1的直线与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为2，则双曲线C的离心率为( A )
A．eq \r(,3)B．2
C．eq \r(,5)D．3
【解析】 方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)－\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＝eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)．因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)．因为kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝1，kOP＝eq \f(y0,x0)＝2，所以eq \f(b2,2a2)＝1，故eq \f(b2,a2)＝2，故e＝eq \f(c,a)＝eq \r(,1＋\f(b2,a2))＝eq \r(,3)．
方法二：直接利用双曲线中的二级结论，kOPkAB＝eq \f(b2,a2)⇒2×1＝eq \f(b2,a2)⇒b2＝2a2⇒c2－a2＝2a2⇒e2＝3⇒e＝eq \r(,3)．
变式2 已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线y2＝12x的焦点重合，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( D )
A．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1B．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C．eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
【解析】 方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则A，B关于x轴对称，不合题意．将A，B两点的坐标代入椭圆方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)＝0，可得eq \f(x1＋x2,a2)＋eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y1＋y2,b2)＝0．因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2．因为抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，所以F(3，0)．又直线AB过点F(3，0)，因此kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(－1－0,1－3)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(2,a2)＋eq \f(1,2)×eq \f(－2,b2)＝0，整理得a2＝2b2．又c＝3＝eq \r(,a2－b2)，解得a2＝18，b2＝9，因此，椭圆E的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1．
(变式2)
方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则A，B关于x轴对称，不合题意．因为抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，所以F(3,0)，所以c＝3．设线段AB的中点坐标为M(1，－1)，利用二级结论kOMkAB＝－eq \f(b2,a2)⇒kOMkFM＝－eq \f(b2,a2)⇒－1×eq \f(0－－1,3－1)＝－eq \f(b2,a2)⇒eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)．又因为a2＝b2＋9，解得a2＝18，b2＝9，因此，椭圆E的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1．
1．椭圆方程中有关－eq \f(b2,a2)的经典结论
(1) AB是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq \f(b2,a2)；
(2) 若椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，P点是椭圆上异于A，B两点的任一点，则有kPAkPB＝－eq \f(b2,a2)．
2．双曲线方程中有关eq \f(b2,a2)的经典结论
(1) AB是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝eq \f(b2,a2)，即kAB＝eq \f(b2x0,a2y0)；
(2) 若双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，点P是双曲线上异于A，B两点的任一点，则有kPAkPB＝eq \f(b2,a2)．