2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口4　三角形中的特殊线段

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口4　三角形中的特殊线段，共6页。
例1 (2023·杭州一模)已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2c sin A cs B＋2b sin A cs C＝ eq \r(3)a，c＞a.
(1) 求角A的大小；
【解析】 因为2c sin A cs B＋2b sin A cs C＝ eq \r(3)a，所以由正弦定理得2sin C sin A cs B＋2sin B sin A cs C＝ eq \r(3)sin A.因为A∈(0，π)，sin A＞0，所以sin C cs B＋sin B cs C＝ eq \f(\r(3),2)，即sin (B＋C)＝ eq \f(\r(3),2).因为A＋B＋C＝π，所以sin A＝ eq \f(\r(3),2).因为c＞a，所以A为锐角，A＝ eq \f(π,3).
(2) 若b＝2，BC边上的中线AD＝ eq \r(7)，求△ABC的面积．
【解析】 因为 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))，所以 eq \(AD,\s\up6(→))2＝ eq \f(1,4)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))2, 即4 eq \(AD,\s\up6(→))2＝ eq \(AB,\s\up6(→))2＋2 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))2，而b＝2，BC边上的中线AD＝ eq \r(7)，故| eq \(AB,\s\up6(→))|2＋2| eq \(AB,\s\up6(→))|－24＝0，解得| eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，所以S△ABC＝ eq \f(1,2)bc sin A＝ eq \f(1,2)×2×4× eq \f(\r(3),2)＝2 eq \r(3).
1．中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
推导过程：
在△ABD中，cs B＝ eq \f(AB2＋BD2－AD2,2AB·BD)，
在△ABC中，cs B＝ eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)，
联立两个方程可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
2．向量法： eq \(AD,\s\up6(→))2＝ eq \f(1,4)(b2＋c2＋2bc cs A).
推导过程：由 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))，
得 eq \(AD,\s\up6(→))2＝ eq \f(1,4)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))2＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))2＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))2＋ eq \f(1,2)| eq \(AB,\s\up6(→))|| eq \(AC,\s\up6(→))|cs A，所以 eq \(AD,\s\up6(→))2＝ eq \f(1,4)(b2＋c2＋2bc cs A).
变式1 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c sin A＝a cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,6)))，点M是线段AB的中点，且CM＝1.
(1) 求角C的大小；
【解析】 因为c sin A＝a cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,6)))，a＝2R sin A，c＝2R sin C，所以sin C sin A＝sin A cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,6))).因为sin A≠0，所以sin C＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,6)))，即sin C＝ eq \r(3)cs C，tan C＝ eq \r(3).因为C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(π,3).
(2) 求边c的取值范围．
【解析】 因为∠AMC＋∠BMC＝π，所以cs ∠AMC＋cs ∠BMC＝0，所以 eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))\s\up12(2)＋12－b2,c)＋ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))\s\up12(2)＋12－a2,c)＝0，所以c2＋4＝2(a2＋b2).因为c2＝a2＋b2－2ab cs C＝a2＋b2－ab，即 eq \f(2c2,c2＋4)＝1－ eq \f(1,\f(b,a)＋\f(a,b)).在锐角三角形ABC中，有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜A＜\f(π,2)，,A＋\f(π,3)＞\f(π,2)，))所以 eq \f(π,6)＜A＜ eq \f(π,2)，tan A＞ eq \f(\r(3),3).因为 eq \f(b,a)＝ eq \f(sin B,sin A)＝ eq \f(sin (A＋C),sin A)＝ eq \f(\f(1,2)sin A＋\f(\r(3),2)cs A,sin A)＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2tan A)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，所以 eq \f(2c2,c2＋4)＝1－ eq \f(1,\f(b,a)＋\f(a,b))∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,5)))，所以 eq \f(4,3)≤c2＜ eq \f(12,7)，即 eq \f(2\r(3),3)≤c＜ eq \f(2\r(21),7).
与角平分线相关
例2 (2023·潍坊模拟)在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(c－b)·sin C＝(a－b)(sin A＋sin B).
(1) 求角A的大小；
【解析】 因为(c－b)sin C＝(a－b)(sin A＋sin B)，所以由正弦定理可得(c－b)c＝(a－b)(a＋b)，整理得b2＋c2－bc＝a2，由余弦定理可得cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(bc,2bc)＝ eq \f(1,2).又因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,3).
(2) 若D为BC上的点，AD平分角A，且b＝3，AD＝ eq \r(3)，求 eq \f(BD,DC).
【解析】 因为D为BC上的点，AD平分角A，则S△ABC＝ eq \f(1,2)bcsin A＝ eq \f(\r(3),4)bc.又由S△ABC＝ eq \f(1,2)AC·AD sin eq \f(A,2)＋ eq \f(1,2)AB·AD sin eq \f(A,2)＝ eq \f(1,4)·AD(b＋c)＝ eq \f(\r(3),4)(b＋c)，可得bc＝b＋c.又因为b＝3，所以3c＝3＋c，解得c＝ eq \f(3,2).因为 eq \f(S△ABD,S△ACD)＝ eq \f(AB,AC)＝ eq \f(BD,DC)，所以 eq \f(BD,DC)＝ eq \f(c,b)＝ eq \f(1,2).
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
1．利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD.
2．内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则 eq \f(AB,AC)＝ eq \f(BD,DC).
3．等面积法：因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以 eq \f(1,2)c·AD sin eq \f(A,2)＋ eq \f(1,2)b·AD sin eq \f(A,2)＝ eq \f(1,2)bc sin A，所以(b＋c)AD＝2bc cs eq \f(A,2)，整理得AD＝ eq \f(2bc cs \f(A,2),b＋c)(角平分线长公式).
变式2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B＝b sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3))).
(1) 求角A的大小；
【解析】 因为a sin B＝b sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))，所以由正弦定理得sin A sin B＝sin B sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3))).因为sin B≠0，所以sin A＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))，所以sin A＝ eq \f(1,2)sin A＋ eq \f(\r(3),2)cs A，即 eq \f(1,2)sin A＝ eq \f(\r(3),2)cs A，所以tan A＝ eq \r(3).因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,3).
(2) 若AB＝3，AC＝1，∠BAC的内角平分线交BC于点D，求AD的长．
【解析】 方法一：因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以 eq \f(1,2)AB·AC·sin ∠BAC＝ eq \f(1,2)AB·AD·sin ∠BAD＋ eq \f(1,2)AD·AC·sin ∠DAC，所以 eq \f(1,2)×3×1×sin eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2)×3×AD×sin eq \f(π,6)＋ eq \f(1,2)×AD×1×sin eq \f(π,6)，所以AD＝ eq \f(3\r(3),4).
方法二：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs ∠BAC＝32＋12－2×3×1×cs eq \f(π,3)＝7，所以BC＝ eq \r(7).在△ABD中，由正弦定理得 eq \f(BD,sin ∠BAD)＝ eq \f(AB,sin ∠ADB).在△ADC中，由正弦定理得 eq \f(DC,sin ∠DAC)＝ eq \f(AC,sin ∠ADC).因为sin ∠BAD＝sin ∠DAC，sin ∠ADB＝sin ∠ADC，所以 eq \f(BD,DC)＝ eq \f(AB,AC)＝ eq \f(3,1)，所以DC＝ eq \f(\r(7),4).在△ADC中，由余弦定理得DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cs ∠DAC，设AD＝x，则 eq \f(7,16)＝x2＋1－2x· eq \f(\r(3),2)，即x2－ eq \r(3)x＋ eq \f(9,16)＝0，解得x＝ eq \f(3\r(3),4)或 eq \f(\r(3),4).在△ABC中，由余弦定理得cs C＜0，所以C是钝角．在△ADC中，AD＞AC，所以AD＝ eq \f(3\r(3),4).
方法三：在△ABD中，由正弦定理得 eq \f(BD,sin ∠BAD)＝ eq \f(AB,sin ∠ADB).在△ADC中，由正弦定理得 eq \f(DC,sin ∠DAC)＝ eq \f(AC,sin ∠ADC).因为sin ∠BAD＝sin ∠DAC，sin ∠ADB＝sin ∠ADC，所以 eq \f(BD,DC)＝ eq \f(AB,AC)＝ eq \f(3,1).所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(AC,\s\up6(→))，所以| eq \(AD,\s\up6(→))|2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\(AC,\s\up6(→))))2＝ eq \f(1,16)| eq \(AB,\s\up6(→))|2＋ eq \f(9,16)| eq \(AC,\s\up6(→))|2＋ eq \f(3,8) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,16)×9＋ eq \f(9,16)×1＋ eq \f(3,8)×3×1× eq \f(1,2)＝ eq \f(27,16)，所以AD＝ eq \f(3\r(3),4).
与高线相关
例3 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cs C＝ eq \f(a－c sin B,b).
(1) 求角B的大小；
【解析】 由余弦定理，得 eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(a－c sin B,b)，所以a2＋b2－c2＝2a(a－c sin B)，所以b2＝a2＋c2－2ac sin B.又因为b2＝a2＋c2－2ac cs B，所以sin B＝cs B，则tan B＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝ eq \f(π,4).
(2) 若边AB上的高为 eq \f(c,4)，求cs C.
【解析】 因为△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)ac sin B＝ eq \f(\r(2),4)ac＝ eq \f(c2,8)，所以a＝ eq \f(\r(2),4)c.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cs B＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)c))2＋c2－2× eq \f(\r(2),4)c×c× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(5,8)c2，所以b＝ eq \f(\r(10),4)c，所以cs C＝ eq \f(a－c sin B,b)＝ eq \f(\f(\r(2),4)c－\f(\r(2),2)c,\f(\r(10),4)c)＝－ eq \f(\r(5),5).
1．若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝ eq \f(1,a)∶ eq \f(1,b)∶ eq \f(1,c)＝ eq \f(1,sin A)∶ eq \f(1,sin B)∶ eq \f(1,sin C).
2．求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．
3．高线的两个作用：(1) 产生直角三角形；(2) 与三角形的面积相关．
等分线问题
例4 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－b2＝ac cs B－ eq \f(1,2)bc.
(1) 求角A的大小；
【解析】 由题意得a2－b2＝ac cs B－ eq \f(1,2)bc，结合余弦定理可得a2－b2＝ac· eq \f(a2＋c2－b2,2ac)－ eq \f(1,2)bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(1,2).因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,3).
(2) 若a＝6，2 eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，求线段AD长的最大值．
【解析】 因为2 eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))，则| eq \(AD,\s\up6(→))|2＝ eq \f(1,9)(b2＋4c2＋2bc).因为b2＋c2－a2＝bc，且a＝6，所以b2＋c2－bc＝36，则| eq \(AD,\s\up6(→))|2＝4× eq \f(b2＋4c2＋2bc,b2＋c2－bc)＝4× eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,c)))\s\up12(2)＋4＋2×\f(b,c),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,c)))\s\up12(2)＋1－\f(b,c)).令 eq \f(b,c)＝t，则| eq \(AD,\s\up6(→))|2＝4× eq \f(t2＋4＋2t,t2＋1－t)＝4＋ eq \f(12(t＋1),t2－t＋1).令u＝t＋1(u＞1)，则| eq \(AD,\s\up6(→))|2＝4＋ eq \f(12u,u2－3u＋3)＝4＋ eq \f(12,u＋\f(3,u)－3)≤4＋ eq \f(12,2\r(3)－3)＝16＋8 eq \r(3)，当且仅当u＝ eq \r(3)时取等号，所以AD长的最大值为2 eq \r(3)＋2.
如图所示，在△ABC中，若点D是边BC上的点，且 eq \(BD,\s\up6(→))＝λ eq \(DC,\s\up6(→))(λ≠－1)，则向量 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(\(AB,\s\up6(→))＋λ\(AC,\s\up6(→)),1＋λ).在向量线性表示(运算)有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效．