2024年高考数学重难点突破讲义：专题1　三角函数、解三角形与平面向量

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范题赏析
(2022·新高考Ⅱ卷) 记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝eq \f(\r(3),2)，sinB＝eq \f(1,3)．
(1) 求△ABC的面积；
(2) 若sinAsinC＝eq \f(\r(2),3)，求b．
【思维引导◎明思路】
(1) eq \x(先表示出S1，S2，S3)―→eq \x(\a\al (再由S1－S2＋S3＝\f(\r(,3),2),求得a2＋c2－b2＝2))―→
eq \x(\a\al(结合余弦定理及平方,关系求得ac))―→eq \x(再由面积公式求解即可)
(2) eq \x(由正弦定理得\f(b2,sin2B)＝\f(ac,sinAsinC))eq \(――――→,\s\up8(即可求解))b＝eq \f(3,2)sinB
【评分标准◎看过程】
(1) 由题意得S1＝eq \f(1,2)·a2·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),4)a2，S2＝eq \f(\r(3),4)b2，S3＝eq \f(\r(3),4)c2，
则S1－S2＋S3＝eq \f(\r(3),4)a2－eq \f(\r(3),4)b2＋eq \f(\r(3),4)c2＝eq \f(\r(3),2)，即a2＋c2－b2＝2．(2分)
由余弦定理csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，整理得accsB＝1，则csB＞0，又sinB＝eq \f(1,3)，
(5分)
则csB＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3)，ac＝eq \f(1,csB)＝eq \f(3\r(2),4)，则S△ABC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(\r(2),8)．(7分)
(2) 由正弦定理eq \f(b,sinB)＝eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)，(8分)
得eq \f(b2,sin2B)＝eq \f(a,sinA)·eq \f(c,sinC)＝eq \f(ac,sinAsinC)＝eq \f(\f(3\r(2),4),\f(\r(2),3))＝eq \f(9,4)，
则eq \f(b,sinB)＝eq \f(3,2)，b＝eq \f(3,2)sinB＝eq \f(1,2)．(12分)
【老师提醒◎防失误】
(1) 根据sinB求出csB没有能够通过题设条件进行正负号取舍出现错误；将S1－S2＋S3＝eq \f(\r(3),2)转化为a2＋c2－b2＝2，不知道结合余弦定理及平方关系求得ac；不会由正弦定理得eq \f(b2,sin2B)＝eq \f(ac,sinAsinC)从而出现错误等．
(2) 公式应用时要注意“3个等号”：第1个等号是公式要呈现出来，第2个等号是代入数值，第3个等号是表示结果．
(3) 在解斜三角形时，如果已知两边a，b及一角A，要注意解的讨论．因为求角B时可能出现一解、两解或无解的情况．