2024年高考数学重难点突破讲义：专题3　立体几何

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(2021·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD, O为BD的中点．
(1) 求证：OA⊥CD；
(2) 已知△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积．
【思维引导◎明思路】
(1)
(2)
【评分标准◎看过程】
(1) 因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，(1分)
又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，(3分)
又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD．(4分)
要特别注意AO⊂平面ABD，不写丢1分
(2) 取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，
过O作OM∥CF与BC交于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，
以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴，y轴，z轴建立如图(1)所示的空间直角坐标系，(5分)
则B(0，－1,0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)，\f(1,2)，0))，D(0,1,0)，设A(0,0，t)，则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)，\f(2t,3)))．(6分)
因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为eq \(OA,\s\up6(→))＝(0,0，t)(t＞0)．(7分)
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，又eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)，\f(3,2)，0))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)，\f(2t,3)))，
所以由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(BC,\s\up6(→))＝0，,n·\(BE,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)x＋\f(3,2)y＝0，,\f(4,3)y＋\f(2t,3)z＝0，))令x＝eq \r(,3)，则y＝－1, z＝eq \f(2,t)，故n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(,3)，－1，\f(2,t)))．(9分)
因为二面角E－BC－D的大小为45°，所以|cs〈n，eq \(OA,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|n·\(OA,\s\up6(→))|,|n||\(OA,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,t\r(,4＋\f(4,t2)))＝eq \f(\r(,2),2)，
解得t＝1，所以OA＝1．(11分)
又S△OCD＝eq \f(1,2)×1×1×eq \f(\r(,3),2)＝eq \f(\r(,3),4)，所以S△BCD＝eq \f(\r(,3),2)，
故VA－BCD＝eq \f(1,3)·S△BCD·OA＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(,3),2)×1＝eq \f(\r(,3),6)．(12分)
只要列出法向量方程，可得1分

图(1) 图(2)
【一题多解◎拓思路】
(1) 因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD．(1分)
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，(3分)
又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD．(4分)
(2) 如图(2)，过E作EF⊥BD，交BD于点F，过F作FG⊥BC于点G，连接EG，(5分)
由题意可知，EF∥AO, 又AO⊥平面BCD，所以EF⊥平面BCD．又BC⊂平面BCD，所以EF⊥BC．(6分)
又BC⊥FG，FG∩EF＝F，所以BC⊥平面EFG．又EG⊂平面EFG，所以BC⊥EG，(7分)
则∠EGF为二面角E－BC－D的平面角，即∠EGF＝45°．(8分)
又CD＝DO＝OB＝OC＝1，
所以∠BOC＝120°，则∠OCB＝∠OBC＝30°，故∠BCD＝90°，所以FG∥CD．(9分)
因为eq \f(DE,AD)＝eq \f(DF,OD)＝eq \f(EF,AO)＝eq \f(2,3)，所以AO＝eq \f(3,2)EF，OF＝eq \f(1,3)，DF＝eq \f(2,3)．
由eq \f(BF,BD)＝eq \f(GF,CD)，得GF＝eq \f(1＋\f(1,3),2)＝eq \f(2,3)，所以EF＝GF＝eq \f(2,3)，则AO＝eq \f(3,2)EF＝1，(11分)
所以VA－BCD＝eq \f(1,3)S△BCD·AO＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(,3)×1×1＝eq \f(\r(,3),6)．(12分)
【老师提醒◎防失误】
1．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积．求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数eq \f(1,3)．
2．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l, m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．
3．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置关系与数量关系．
4．几种角的范围
两条异面直线所成的角：0°＜α≤90°； 直线与平面所成的角：0°≤α≤90°；二面角：0°≤α≤180°；平面与平面的夹角：0°≤α≤90°．