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2024年高考数学重难点突破讲义：专题4 答案
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这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：专题4 答案，共10页。试卷主要包含了AB，BC等内容，欢迎下载使用。
第10练 计数原理
1．C
【解析】 由题得Tr＋1＝C eq \\al(r,10) x10-r(－1)r(r＝0，1，2，…，10)，令r＝5，所以T6＝C eq \\al(5,10) x5(－1)5＝－C eq \\al(5,10) x5，所以(x－1)10的展开式的第6项的系数是－C eq \\al(5,10) .
2．A
【解析】 先排这名歌手有C eq \\al(1,4) 种方法，余下5名歌手全排列为A eq \\al(5,5) 种方法．所以不同排法的种数为C eq \\al(1,4) ·A eq \\al(5,5) ＝4×5×4×3×2×1＝480.
3．D
【解析】 展开式中含x3的项的系数为C eq \\al(3,5) (－1)3＋C eq \\al(3,6) (－1)3＋C eq \\al(3,7) (－1)3＋C eq \\al(3,8) (－1)3＝－121.
4．A
【解析】 将2个0插空有C eq \\al(2,5) ＝10种排法．.
5．D
【解析】 展开式的通项公式是Tr＋1＝C eq \\al(r,5) ·(ax)5-r·yr，当r＝3时，x2y3项的系数为C eq \\al(3,5) ·a2＝80，解得a＝±2 eq \r(2).
6．B
【解析】 从五项活动中随机选三项共有C eq \\al(3,5) 种情况，“书法”和“绘画”这两项活动至多有一项被选中分两种情况：①都没有被选中，有C eq \\al(3,3) 种情况；②两项活动只有一项被选中，有C eq \\al(1,2) C eq \\al(2,3) 种情况，则所求概率为P＝ eq \f(C eq \\al(3,3) ＋C eq \\al(1,2) C eq \\al(2,3) ,C eq \\al(3,5) )＝ eq \f(7,10)＝0.7.
7．C
【解析】 两边同时求导得5(x＋1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4.令x＝1，则5×24＝a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝80.
8．D
【解析】 由题可知，a7x7＝C eq \\al(7,n) ×1n-7×(2x)7＝27C eq \\al(7,n) x7，所以a7＝27C eq \\al(7,n) ；同理可得a8＝28C eq \\al(8,n) .由a7＝a8可得27C eq \\al(7,n) ＝28C eq \\al(8,n) ，即C eq \\al(7,n) ＝2C eq \\al(8,n) ，所以 eq \f(n(n－1)(n－2)…(n－6),1×2×3×…×7)＝2× eq \f(n(n－1)(n－2)…(n－7),1×2×3×…×8)，即2× eq \f(n－7,8)＝1，解得n＝11.
9．AB
【解析】 因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法有4＋3＝7(种).故A正确．对于B，由分步乘法计数原理，知三对孪生兄弟排成一排照相，仅有一对孪生兄弟相邻的排法有C eq \\al(1,3) A eq \\al(2,2) ×(2C eq \\al(1,4) C eq \\al(1,2) ＋2C eq \\al(1,4) C eq \\al(1,2) ＋C eq \\al(1,4) C eq \\al(1,2) A eq \\al(2,2) )＝288(种).对于C，设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法．对于D，首先涂A，有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法．
10．BC
【解析】 对于AB，若需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作，则每个志愿者都有4种可能，根据分步乘法计数原理，则有45＝1 024 种不同的方法，故A错误，B正确；对于CD，若每个小区至少分配一名志愿者，则有一个小区有两名志愿者，其余小区均有1名志愿者，由部分均匀分组消序和全排列可知，把5名志愿者分成4组，有 eq \f(C eq \\al(2,5) C eq \\al(1,3) C eq \\al(1,2) ,A eq \\al(3,3) )·A eq \\al(4,4) ＝240种不同的分配方法，故C正确，D错误．
11．AC
【解析】 令x＝1，得(a＋1)(2－1)5＝a＋1＝2⇒a＝1，故A正确； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x))) eq \s\up12(5)的展开式中含x7项的系数为25＝32，故B错误； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x))) eq \s\up12(5)的展开式中，x2C eq \\al(4,5) (2x)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x))) eq \s\up12(4)＝10x-1，故C正确； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x))) eq \s\up12(5)的展开式中常数项为 eq \f(1,x)·C eq \\al(2,5) ·(2x)3· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x))) eq \s\up12(2)＝80，故D错误．
12．ABD
【解析】 对于A，由组合数的性质可得C eq \\al(2,9) ＝C eq \\al(7,9) ，故A正确；对于B，由组合数的性质可得C eq \\al(2,4) ＋C eq \\al(3,4) ＝C eq \\al(3,5) ，故B正确；对于C，因为C eq \\al(0,n) ＋C eq \\al(1,n) ＋C eq \\al(2,n) ＋C eq \\al(3,n) ＋…＋C eq \\al(n,n) ＝2n，所以C eq \\al(1,n) ＋C eq \\al(2,n) ＋C eq \\al(3,n) ＋…＋C eq \\al(n,n) ＝2n－1，故C错误；对于D，(1＋x)4展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(k,4) xk，不妨设第k＋1项的二项式系数最大，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C eq \\al(k,4) ≥C eq \\al(k-1,4) ，,C eq \\al(k,4) ≥C eq \\al(k+1,4) ，))解得k＝2，所以(1＋x)4展开式中二项式系数最大的项为第三项，故D正确．
13．243
【解析】 根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每名同学有3种选择方法，所以5名同学共有3×3×3×3×3＝35＝243种选择方法．
14．192
【解析】 由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有C eq \\al(1,4) C eq \\al(1,2) ＝8种，再排其余4节，有A eq \\al(4,4) ＝24种，根据乘法计数原理，共有8×24＝192种排法．
15．100 216
【解析】 (1) 第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有C eq \\al(1,5) ＝5种情况；第二步，确定另外两个数位上的数，有A eq \\al(2,5) ＝20种情况，所以可以组成5×20＝100个无重复数字的三位数．(2) 被5整除且无重复数字的五位数的个位数上的数有2种情况：当个位数上的数字是0时，其他数位上的数有A eq \\al(4,5) ＝120种情况；当个位数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有C eq \\al(1,4) ＝4种情况，然后确定其他三个数位上的数有A eq \\al(3,4) ＝24种情况，所以共有24×4＝96个数．根据分类加法计数原理，可得共有120＋96＝216个数．
16．90
【解析】 由于(1＋x＋x2)6＝[1＋(x＋x2)]6，所以其展开式的通项为C eq \\al(r,6) (x＋x2)r＝C eq \\al(r,6) C eq \\al(k,r) xr－kx2k＝C eq \\al(r,6) C eq \\al(k,r) xr＋k，其中0≤k≤r≤6，r∈N，k∈N，为得到(1＋x＋x2)6展开式中x4的系数，则r＋k＝4，当r＝2，k＝2时，x4的系数为C eq \\al(2,6) C eq \\al(2,2) ＝15；当r＝3，k＝1时，x4的系数为C eq \\al(3,6) C eq \\al(1,3) ＝60；当r＝4，k＝0时，x4的系数为C eq \\al(4,6) C eq \\al(0,4) ＝15，所以(1＋x＋x2)6展开式中x4的系数为15＋60＋15＝90.
第11练 概 率
1．C
2．B
【解析】 记事件A＝“张君选择的是有思路的题”，事件B＝“答对该题”，则P(A)＝ eq \f(3,4)，P( eq \x\t(A))＝ eq \f(1,4)，P(B|A)＝ eq \f(9,10)，P(B| eq \x\t(A))＝ eq \f(1,4)，由全概率公式可得P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P( eq \x\t(A))·P(B| eq \x\t(A))＝ eq \f(3,4)× eq \f(9,10)＋ eq \f(1,4)× eq \f(1,4)＝ eq \f(59,80).
3．A
【解析】 总共有C eq \\al(4,12) 种选法，甲班有4名候选人，选择2名甲班同学和2名别班同学的选法有C eq \\al(2,4) C eq \\al(2,8) 种，则甲班恰有2名同学被选到的概率为 eq \f(C eq \\al(2,4) C eq \\al(2,8) ,C eq \\al(4,12) )＝ eq \f(56,165).
4．B
【解析】 对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为
E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65，所以 eq \r(D(X1))＝ eq \r(0.65).对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为
E(X2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85，所以 eq \r(D(X2))＝ eq \r(1.85).对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为
E(X3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05，所以 eq \r(D(X3))＝ eq \r(1.05).对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为
E(X4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45，所以 eq \r(D(X4))＝ eq \r(1.45).所以B中的标准差最大．
5．BD
【解析】 对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为试验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知取出的最大号码X不服从超几何分布，故A错误；对于B，取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；对于C，取出2个白球的概率为P＝ eq \f(C eq \\al(2,6) C eq \\al(2,4) ,C eq \\al(4,10) )＝ eq \f(3,7)，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，即总得分最大的概率为P＝ eq \f(C eq \\al(4,6) ,C eq \\al(4,10) )＝ eq \f(1,14)，故D正确．
6．ACD
【解析】 由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．
7．AC
【解析】 由题意可得，P(M)＝ eq \f(2,4)＝ eq \f(1,2)，故A正确；当两次抛掷的点数为(3，1)时，事件M与事件N同时发生，故事件M与事件N不互斥，故B错误；P(MN)＝ eq \f(4,16)＝ eq \f(1,4)，P(M)＝ eq \f(1,2)，P(N)＝ eq \f(8,16)＝ eq \f(1,2)，P(MN)＝P(M)·P(N)＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,4)，故事件M与事件N相互独立，故C正确；P(M＋N)＝P(M)＋P(N)－P(MN)＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)－ eq \f(1,4)＝ eq \f(3,4)，故D错误．
8．(1) 0.475 (2) eq \f(1,19)
【解析】 设A＝“发送的信号为0”，B＝“接收到的信号为0”，则 eq \x\t(A)＝“发送的信号为1”， eq \x\t(B)＝“接收到的信号为1”．
(1) 由题意得P(A)＝P( eq \x\t(A))＝0.5，P(B|A)＝0.9，P( eq \x\t(B)|A)＝0.1，P(B| eq \x\t(A))＝0.05，P( eq \x\t(B)| eq \x\t(A))＝0.95.(1) P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\t(A))P(B| eq \x\t(A))＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475.
(2) P( eq \x\t(A)|B)＝ eq \f(P(\x\t(A))P(B|\x\t(A)),P(B))＝ eq \f(0.5×0.05,0.475)＝ eq \f(1,19).
9．0.84 eq \f(2\r(21),5)
【解析】 由题意知E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＝2.4.所以D(X)＝(1－2.4)2×0.2＋(2－2.4)2×0.3＋(3－2.4)2×0.4＋(4－2.4)2×0.1＝0.84.D(2X＋7)＝4D(X)＝4×0.84＝3.36，σ(2X＋7)＝ eq \r(3.36)＝ eq \f(2\r(21),5).
10． eq \f(4,3)
【解析】 因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于x＝3对称，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，所以2c－1＋c＋3＝3×2，所以c＝ eq \f(4,3).
11．【解答】 (1) 由题知X的可能取值分别为1，2，3.P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12.所以李明参加考试次数X的分布列为
(2) 李明在一年内领到资格证书的概率为P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.976.
12．【解答】 (1) 由题意，X的可能取值为0，1，2，其中每次抽取到黑球的概率均为 eq \f(1,3)，所以2次取球可以看成2次的独立重复试验，则X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,3)))，可得P(X＝0)＝C eq \\al(0,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(4,9)，P(X＝1)＝C eq \\al(1,2) × eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝ eq \f(4,9)，P(X＝2)＝C eq \\al(2,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(0)＝ eq \f(1,9)，所以随机变量X的分布列为
E(X)＝2× eq \f(1,3)＝ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或E(X)＝0×\f(4,9)＋1×\f(4,9)＋2×\f(1,9)＝\f(2,3))).
(2) 由题意知Y的可能取值为0，1，2，可得P(Y＝0)＝ eq \f(C eq \\al(2,6) ,C eq \\al(2,9) )＝ eq \f(5,12)，P(Y＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,6) C eq \\al(1,3) ,C eq \\al(2,9) )＝ eq \f(1,2)，P(Y＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,3) ,C eq \\al(2,9) )＝ eq \f(1,12)，所以随机变量Y的分布列为
E(Y)＝2× eq \f(3,3＋6)＝ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或E(Y)＝0×\f(5,12)＋1×\f(1,2)＋2×\f(1,12)＝\f(2,3))).
13．【解答】 (1) 从这30天中任取2天，样本点总数n＝C eq \\al(2,30) ，2天的日需求量均为40个包含的样本点个数m＝C eq \\al(2,10) ，所以2天的日需求量均为40个的概率P＝ eq \f(C eq \\al(2,10) ,C eq \\al(2,30) )＝ eq \f(3,29).
(2) 由题知P(Y＝－20)＝ eq \f(1,6)，P(Y＝60)＝ eq \f(1,3)，P(Y＝140)＝ eq \f(1,3)，P(Y＝180)＝ eq \f(1,6)，所以Y的分布列为
E(Y)＝－20× eq \f(1,6)＋60× eq \f(1,3)＋140× eq \f(1,3)＋180× eq \f(1,6)＝ eq \f(280,3).因为该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝ eq \f(320,3)，且 eq \f(280,3)＜ eq \f(320,3)，所以此建议不该被采纳．
第12练 统 计
1．C
【解析】 将连续八届的进球总数从小到大排列为141，145，147，161，169，171，171，172，由于8×40%＝3.2，故进球总数的第40百分位数是第4个数据161.
2．B
3．C
【解析】 零假设为H0：变量x与y独立．因为χ2＝2.974＜x0.05＝3.841，所以没有充分证据推断H0不成立，即认为变量x与y独立，又2.706＜2.974＜3.841，所以这个结论犯错误的概率不超过0.1.
4．C
【解析】 设增加的数为k，原来的9个数分别为a1，a2，…，a9，则a1＋a2＋…＋a9＝72，a1＋a2＋…＋a9＋k＝90，所以k＝18.又因为 eq \f(1,9)∑ eq \(,\s\up6(9),\s\d4(i＝1)) (ai－8)2＝12，即∑ eq \(,\s\up6(9),\s\d4(i＝1)) (ai－8)2＝108，所以 eq \f(1,10) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(∑\(,\s\up6(9),\s\d4(i＝1)) (ai－9)2＋(k－9)2))＝ eq \f(1,10) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(∑\(,\s\up6(9),\s\d4(i＝1)) (ai－8)2－2∑\(,\s\up6(9),\s\d4(i＝1)) (ai－8)＋9＋81))＝19.8.
5．AC
【解析】 对于A，由折线图可知，2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有9个均高于1 500万，3个低于1 400万，根据数据之间的差距可得 2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1 400万，故A正确；对于B，由图可知共有13个数据，因为13×25%＝3.25，所以第一四分位数是按照从小到大排列的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1 400万，故B错误；对于C，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故C正确；对于D，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故D错误．
6．BC
【解析】 新样本平均数为 eq \f(100×6＋200×9,300)＝8，故A错误，B正确；合并一起后样本的方差为s2＝ eq \f(100,300)×[8＋(8－6)2]＋ eq \f(200,300)×[11＋(8－9)2]＝12，故C正确，D错误．
7．AC
【解析】 对于A，由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5(0.01×2＋0.02＋0.05＋a＋b)＝1，,5(b＋0.02＋0.01)×100＝35，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0.07，,b＝0.04，))故A正确；对于B，这100名学生中体重低于55 kg的人数为(0.01＋0.07)×5×100＝40，故B错误；对于C，(0.01＋0.07＋0.05)×5＝0.65＜0.8，(0.01＋0.07＋0.05＋0.04)×5＝0.85＞0.8，故第80百分位数落在[60，65)内，(x－60)×0.04＝0.8－0.65，解得x＝63.75，用样本估计总体，估计该校学生体重的第80百分位数约为63.75，故C正确；对于D，平均数为(47.5×0.01＋52.5×0.07＋57.5×0.05＋62.5×0.04＋67.5×0.02＋72.5×0.01)×5＝58.因为(0.01＋0.07)×5＝0.4＜0.5，(0.01＋0.07＋0.05)×5＝0.65＞0.5，故学生体重的中位数落在[55，60)内，设中位数为y，则(y－55)×0.05＝0.5－0.4，解得y＝57，因为58＞57，故用样本估计总体，估计该校学生体重的平均数大于中位数，故D错误．
8．25
9．100
【解析】 由题得 eq \f(17＋22＋32＋43＋45＋49＋b＋56,8)＝ eq \f(a＋41,2)，即4a＋164＝264＋b，所以4a－b＝100.
10．90.2 4.76
【解析】 样本均值 eq \x\t(x)＝ eq \f(12×91＋8×89,12＋8)＝90.2，样本方差s2＝ eq \f(12×[3＋(91－90.2)2]＋8×[5＋(89－90.2)2],12＋8)＝4.76.
11．【解答】 (1) 由题意得 eq \x\t(y)＝ eq \f(0.1＋0.4＋m＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5,10)＋10＝10.3，解得m＝0.1，所以a＝10.1，所以s eq \\al(2,2) ＝ eq \f(1,10)×[3×(10.1－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.0－10.3)2]＝0.04.
(2) 由(1)中数据可得 eq \x\t(y)－ eq \x\t(x)＝10.3－10.0＝0.3，而2 eq \r(\f(s eq \\al(2,1) ＋s eq \\al(2,2) ,10))＝ eq \r(\f(2,5)（s eq \\al(2,1) ＋s eq \\al(2,2) ）)＝ eq \r(0.030 4)，因为0.3＝ eq \r(0.09)＞ eq \r(0.030 4)，所以 eq \x\t(y)－ eq \x\t(x)≥2 eq \r(\f(s eq \\al(2,1) ＋s eq \\al(2,2) ,10))成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
12．【解答】 (1) 由散点图可以判断y＝c＋d eq \r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2) 令wi＝ eq \r(xi)，先建立y关于w的经验回归方程，由 eq \(d,\s\up6(^))＝ eq \f(∑\(,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (wi－\x\t(w))·(yi－\x\t(y)),∑\(,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (wi－\x\t(w))2)＝ eq \f(108.8,1.6)＝68，得 eq \(c,\s\up6(^))＝ eq \x\t(y)－ eq \(d,\s\up6(^)) eq \x\t(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y关于x的非线性经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68 eq \r(x).
(3) ①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值 eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68 eq \r(49)＝576.6(t)，年利润z的预报值 eq \(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32(千元).②根据(2)的结果知，年利润z的预报值 eq \(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68 eq \r(x))－x＝－x＋13.6 eq \r(x)＋20.12，所以当 eq \r(x)＝ eq \f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24时， eq \(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
X1
1
2
3
4
P
0.1
0.4
0.4
0.1
X2
1
2
3
4
P
0.4
0.1
0.1
0.4
X3
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.3
0.2
X4
1
2
3
4
P
0.3
0.2
0.2
0.3
X
1
2
3
P
0.6
0.28
0.12
X
0
1
2
P
eq \f(4,9)
eq \f(4,9)
eq \f(1,9)
Y
0
1
2
P
eq \f(5,12)
eq \f(1,2)
eq \f(1,12)
Y
－20
60
140
180
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
第10练 计数原理
1．C
【解析】 由题得Tr＋1＝C eq \\al(r,10) x10-r(－1)r(r＝0，1，2，…，10)，令r＝5，所以T6＝C eq \\al(5,10) x5(－1)5＝－C eq \\al(5,10) x5，所以(x－1)10的展开式的第6项的系数是－C eq \\al(5,10) .
2．A
【解析】 先排这名歌手有C eq \\al(1,4) 种方法，余下5名歌手全排列为A eq \\al(5,5) 种方法．所以不同排法的种数为C eq \\al(1,4) ·A eq \\al(5,5) ＝4×5×4×3×2×1＝480.
3．D
【解析】 展开式中含x3的项的系数为C eq \\al(3,5) (－1)3＋C eq \\al(3,6) (－1)3＋C eq \\al(3,7) (－1)3＋C eq \\al(3,8) (－1)3＝－121.
4．A
【解析】 将2个0插空有C eq \\al(2,5) ＝10种排法．.
5．D
【解析】 展开式的通项公式是Tr＋1＝C eq \\al(r,5) ·(ax)5-r·yr，当r＝3时，x2y3项的系数为C eq \\al(3,5) ·a2＝80，解得a＝±2 eq \r(2).
6．B
【解析】 从五项活动中随机选三项共有C eq \\al(3,5) 种情况，“书法”和“绘画”这两项活动至多有一项被选中分两种情况：①都没有被选中，有C eq \\al(3,3) 种情况；②两项活动只有一项被选中，有C eq \\al(1,2) C eq \\al(2,3) 种情况，则所求概率为P＝ eq \f(C eq \\al(3,3) ＋C eq \\al(1,2) C eq \\al(2,3) ,C eq \\al(3,5) )＝ eq \f(7,10)＝0.7.
7．C
【解析】 两边同时求导得5(x＋1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4.令x＝1，则5×24＝a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝80.
8．D
【解析】 由题可知，a7x7＝C eq \\al(7,n) ×1n-7×(2x)7＝27C eq \\al(7,n) x7，所以a7＝27C eq \\al(7,n) ；同理可得a8＝28C eq \\al(8,n) .由a7＝a8可得27C eq \\al(7,n) ＝28C eq \\al(8,n) ，即C eq \\al(7,n) ＝2C eq \\al(8,n) ，所以 eq \f(n(n－1)(n－2)…(n－6),1×2×3×…×7)＝2× eq \f(n(n－1)(n－2)…(n－7),1×2×3×…×8)，即2× eq \f(n－7,8)＝1，解得n＝11.
9．AB
【解析】 因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法有4＋3＝7(种).故A正确．对于B，由分步乘法计数原理，知三对孪生兄弟排成一排照相，仅有一对孪生兄弟相邻的排法有C eq \\al(1,3) A eq \\al(2,2) ×(2C eq \\al(1,4) C eq \\al(1,2) ＋2C eq \\al(1,4) C eq \\al(1,2) ＋C eq \\al(1,4) C eq \\al(1,2) A eq \\al(2,2) )＝288(种).对于C，设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法．对于D，首先涂A，有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法．
10．BC
【解析】 对于AB，若需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作，则每个志愿者都有4种可能，根据分步乘法计数原理，则有45＝1 024 种不同的方法，故A错误，B正确；对于CD，若每个小区至少分配一名志愿者，则有一个小区有两名志愿者，其余小区均有1名志愿者，由部分均匀分组消序和全排列可知，把5名志愿者分成4组，有 eq \f(C eq \\al(2,5) C eq \\al(1,3) C eq \\al(1,2) ,A eq \\al(3,3) )·A eq \\al(4,4) ＝240种不同的分配方法，故C正确，D错误．
11．AC
【解析】 令x＝1，得(a＋1)(2－1)5＝a＋1＝2⇒a＝1，故A正确； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x))) eq \s\up12(5)的展开式中含x7项的系数为25＝32，故B错误； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x))) eq \s\up12(5)的展开式中，x2C eq \\al(4,5) (2x)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x))) eq \s\up12(4)＝10x-1，故C正确； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x))) eq \s\up12(5)的展开式中常数项为 eq \f(1,x)·C eq \\al(2,5) ·(2x)3· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x))) eq \s\up12(2)＝80，故D错误．
12．ABD
【解析】 对于A，由组合数的性质可得C eq \\al(2,9) ＝C eq \\al(7,9) ，故A正确；对于B，由组合数的性质可得C eq \\al(2,4) ＋C eq \\al(3,4) ＝C eq \\al(3,5) ，故B正确；对于C，因为C eq \\al(0,n) ＋C eq \\al(1,n) ＋C eq \\al(2,n) ＋C eq \\al(3,n) ＋…＋C eq \\al(n,n) ＝2n，所以C eq \\al(1,n) ＋C eq \\al(2,n) ＋C eq \\al(3,n) ＋…＋C eq \\al(n,n) ＝2n－1，故C错误；对于D，(1＋x)4展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(k,4) xk，不妨设第k＋1项的二项式系数最大，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C eq \\al(k,4) ≥C eq \\al(k-1,4) ，,C eq \\al(k,4) ≥C eq \\al(k+1,4) ，))解得k＝2，所以(1＋x)4展开式中二项式系数最大的项为第三项，故D正确．
13．243
【解析】 根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每名同学有3种选择方法，所以5名同学共有3×3×3×3×3＝35＝243种选择方法．
14．192
【解析】 由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有C eq \\al(1,4) C eq \\al(1,2) ＝8种，再排其余4节，有A eq \\al(4,4) ＝24种，根据乘法计数原理，共有8×24＝192种排法．
15．100 216
【解析】 (1) 第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有C eq \\al(1,5) ＝5种情况；第二步，确定另外两个数位上的数，有A eq \\al(2,5) ＝20种情况，所以可以组成5×20＝100个无重复数字的三位数．(2) 被5整除且无重复数字的五位数的个位数上的数有2种情况：当个位数上的数字是0时，其他数位上的数有A eq \\al(4,5) ＝120种情况；当个位数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有C eq \\al(1,4) ＝4种情况，然后确定其他三个数位上的数有A eq \\al(3,4) ＝24种情况，所以共有24×4＝96个数．根据分类加法计数原理，可得共有120＋96＝216个数．
16．90
【解析】 由于(1＋x＋x2)6＝[1＋(x＋x2)]6，所以其展开式的通项为C eq \\al(r,6) (x＋x2)r＝C eq \\al(r,6) C eq \\al(k,r) xr－kx2k＝C eq \\al(r,6) C eq \\al(k,r) xr＋k，其中0≤k≤r≤6，r∈N，k∈N，为得到(1＋x＋x2)6展开式中x4的系数，则r＋k＝4，当r＝2，k＝2时，x4的系数为C eq \\al(2,6) C eq \\al(2,2) ＝15；当r＝3，k＝1时，x4的系数为C eq \\al(3,6) C eq \\al(1,3) ＝60；当r＝4，k＝0时，x4的系数为C eq \\al(4,6) C eq \\al(0,4) ＝15，所以(1＋x＋x2)6展开式中x4的系数为15＋60＋15＝90.
第11练 概 率
1．C
2．B
【解析】 记事件A＝“张君选择的是有思路的题”，事件B＝“答对该题”，则P(A)＝ eq \f(3,4)，P( eq \x\t(A))＝ eq \f(1,4)，P(B|A)＝ eq \f(9,10)，P(B| eq \x\t(A))＝ eq \f(1,4)，由全概率公式可得P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P( eq \x\t(A))·P(B| eq \x\t(A))＝ eq \f(3,4)× eq \f(9,10)＋ eq \f(1,4)× eq \f(1,4)＝ eq \f(59,80).
3．A
【解析】 总共有C eq \\al(4,12) 种选法，甲班有4名候选人，选择2名甲班同学和2名别班同学的选法有C eq \\al(2,4) C eq \\al(2,8) 种，则甲班恰有2名同学被选到的概率为 eq \f(C eq \\al(2,4) C eq \\al(2,8) ,C eq \\al(4,12) )＝ eq \f(56,165).
4．B
【解析】 对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为
E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65，所以 eq \r(D(X1))＝ eq \r(0.65).对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为
E(X2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85，所以 eq \r(D(X2))＝ eq \r(1.85).对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为
E(X3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05，所以 eq \r(D(X3))＝ eq \r(1.05).对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为
E(X4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45，所以 eq \r(D(X4))＝ eq \r(1.45).所以B中的标准差最大．
5．BD
【解析】 对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为试验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知取出的最大号码X不服从超几何分布，故A错误；对于B，取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；对于C，取出2个白球的概率为P＝ eq \f(C eq \\al(2,6) C eq \\al(2,4) ,C eq \\al(4,10) )＝ eq \f(3,7)，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，即总得分最大的概率为P＝ eq \f(C eq \\al(4,6) ,C eq \\al(4,10) )＝ eq \f(1,14)，故D正确．
6．ACD
【解析】 由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．
7．AC
【解析】 由题意可得，P(M)＝ eq \f(2,4)＝ eq \f(1,2)，故A正确；当两次抛掷的点数为(3，1)时，事件M与事件N同时发生，故事件M与事件N不互斥，故B错误；P(MN)＝ eq \f(4,16)＝ eq \f(1,4)，P(M)＝ eq \f(1,2)，P(N)＝ eq \f(8,16)＝ eq \f(1,2)，P(MN)＝P(M)·P(N)＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,4)，故事件M与事件N相互独立，故C正确；P(M＋N)＝P(M)＋P(N)－P(MN)＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)－ eq \f(1,4)＝ eq \f(3,4)，故D错误．
8．(1) 0.475 (2) eq \f(1,19)
【解析】 设A＝“发送的信号为0”，B＝“接收到的信号为0”，则 eq \x\t(A)＝“发送的信号为1”， eq \x\t(B)＝“接收到的信号为1”．
(1) 由题意得P(A)＝P( eq \x\t(A))＝0.5，P(B|A)＝0.9，P( eq \x\t(B)|A)＝0.1，P(B| eq \x\t(A))＝0.05，P( eq \x\t(B)| eq \x\t(A))＝0.95.(1) P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\t(A))P(B| eq \x\t(A))＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475.
(2) P( eq \x\t(A)|B)＝ eq \f(P(\x\t(A))P(B|\x\t(A)),P(B))＝ eq \f(0.5×0.05,0.475)＝ eq \f(1,19).
9．0.84 eq \f(2\r(21),5)
【解析】 由题意知E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＝2.4.所以D(X)＝(1－2.4)2×0.2＋(2－2.4)2×0.3＋(3－2.4)2×0.4＋(4－2.4)2×0.1＝0.84.D(2X＋7)＝4D(X)＝4×0.84＝3.36，σ(2X＋7)＝ eq \r(3.36)＝ eq \f(2\r(21),5).
10． eq \f(4,3)
【解析】 因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于x＝3对称，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，所以2c－1＋c＋3＝3×2，所以c＝ eq \f(4,3).
11．【解答】 (1) 由题知X的可能取值分别为1，2，3.P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12.所以李明参加考试次数X的分布列为
(2) 李明在一年内领到资格证书的概率为P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.976.
12．【解答】 (1) 由题意，X的可能取值为0，1，2，其中每次抽取到黑球的概率均为 eq \f(1,3)，所以2次取球可以看成2次的独立重复试验，则X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,3)))，可得P(X＝0)＝C eq \\al(0,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(4,9)，P(X＝1)＝C eq \\al(1,2) × eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝ eq \f(4,9)，P(X＝2)＝C eq \\al(2,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(0)＝ eq \f(1,9)，所以随机变量X的分布列为
E(X)＝2× eq \f(1,3)＝ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或E(X)＝0×\f(4,9)＋1×\f(4,9)＋2×\f(1,9)＝\f(2,3))).
(2) 由题意知Y的可能取值为0，1，2，可得P(Y＝0)＝ eq \f(C eq \\al(2,6) ,C eq \\al(2,9) )＝ eq \f(5,12)，P(Y＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,6) C eq \\al(1,3) ,C eq \\al(2,9) )＝ eq \f(1,2)，P(Y＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,3) ,C eq \\al(2,9) )＝ eq \f(1,12)，所以随机变量Y的分布列为
E(Y)＝2× eq \f(3,3＋6)＝ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或E(Y)＝0×\f(5,12)＋1×\f(1,2)＋2×\f(1,12)＝\f(2,3))).
13．【解答】 (1) 从这30天中任取2天，样本点总数n＝C eq \\al(2,30) ，2天的日需求量均为40个包含的样本点个数m＝C eq \\al(2,10) ，所以2天的日需求量均为40个的概率P＝ eq \f(C eq \\al(2,10) ,C eq \\al(2,30) )＝ eq \f(3,29).
(2) 由题知P(Y＝－20)＝ eq \f(1,6)，P(Y＝60)＝ eq \f(1,3)，P(Y＝140)＝ eq \f(1,3)，P(Y＝180)＝ eq \f(1,6)，所以Y的分布列为
E(Y)＝－20× eq \f(1,6)＋60× eq \f(1,3)＋140× eq \f(1,3)＋180× eq \f(1,6)＝ eq \f(280,3).因为该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝ eq \f(320,3)，且 eq \f(280,3)＜ eq \f(320,3)，所以此建议不该被采纳．
第12练 统 计
1．C
【解析】 将连续八届的进球总数从小到大排列为141，145，147，161，169，171，171，172，由于8×40%＝3.2，故进球总数的第40百分位数是第4个数据161.
2．B
3．C
【解析】 零假设为H0：变量x与y独立．因为χ2＝2.974＜x0.05＝3.841，所以没有充分证据推断H0不成立，即认为变量x与y独立，又2.706＜2.974＜3.841，所以这个结论犯错误的概率不超过0.1.
4．C
【解析】 设增加的数为k，原来的9个数分别为a1，a2，…，a9，则a1＋a2＋…＋a9＝72，a1＋a2＋…＋a9＋k＝90，所以k＝18.又因为 eq \f(1,9)∑ eq \(,\s\up6(9),\s\d4(i＝1)) (ai－8)2＝12，即∑ eq \(,\s\up6(9),\s\d4(i＝1)) (ai－8)2＝108，所以 eq \f(1,10) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(∑\(,\s\up6(9),\s\d4(i＝1)) (ai－9)2＋(k－9)2))＝ eq \f(1,10) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(∑\(,\s\up6(9),\s\d4(i＝1)) (ai－8)2－2∑\(,\s\up6(9),\s\d4(i＝1)) (ai－8)＋9＋81))＝19.8.
5．AC
【解析】 对于A，由折线图可知，2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有9个均高于1 500万，3个低于1 400万，根据数据之间的差距可得 2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1 400万，故A正确；对于B，由图可知共有13个数据，因为13×25%＝3.25，所以第一四分位数是按照从小到大排列的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1 400万，故B错误；对于C，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故C正确；对于D，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故D错误．
6．BC
【解析】 新样本平均数为 eq \f(100×6＋200×9,300)＝8，故A错误，B正确；合并一起后样本的方差为s2＝ eq \f(100,300)×[8＋(8－6)2]＋ eq \f(200,300)×[11＋(8－9)2]＝12，故C正确，D错误．
7．AC
【解析】 对于A，由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5(0.01×2＋0.02＋0.05＋a＋b)＝1，,5(b＋0.02＋0.01)×100＝35，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0.07，,b＝0.04，))故A正确；对于B，这100名学生中体重低于55 kg的人数为(0.01＋0.07)×5×100＝40，故B错误；对于C，(0.01＋0.07＋0.05)×5＝0.65＜0.8，(0.01＋0.07＋0.05＋0.04)×5＝0.85＞0.8，故第80百分位数落在[60，65)内，(x－60)×0.04＝0.8－0.65，解得x＝63.75，用样本估计总体，估计该校学生体重的第80百分位数约为63.75，故C正确；对于D，平均数为(47.5×0.01＋52.5×0.07＋57.5×0.05＋62.5×0.04＋67.5×0.02＋72.5×0.01)×5＝58.因为(0.01＋0.07)×5＝0.4＜0.5，(0.01＋0.07＋0.05)×5＝0.65＞0.5，故学生体重的中位数落在[55，60)内，设中位数为y，则(y－55)×0.05＝0.5－0.4，解得y＝57，因为58＞57，故用样本估计总体，估计该校学生体重的平均数大于中位数，故D错误．
8．25
9．100
【解析】 由题得 eq \f(17＋22＋32＋43＋45＋49＋b＋56,8)＝ eq \f(a＋41,2)，即4a＋164＝264＋b，所以4a－b＝100.
10．90.2 4.76
【解析】 样本均值 eq \x\t(x)＝ eq \f(12×91＋8×89,12＋8)＝90.2，样本方差s2＝ eq \f(12×[3＋(91－90.2)2]＋8×[5＋(89－90.2)2],12＋8)＝4.76.
11．【解答】 (1) 由题意得 eq \x\t(y)＝ eq \f(0.1＋0.4＋m＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5,10)＋10＝10.3，解得m＝0.1，所以a＝10.1，所以s eq \\al(2,2) ＝ eq \f(1,10)×[3×(10.1－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.0－10.3)2]＝0.04.
(2) 由(1)中数据可得 eq \x\t(y)－ eq \x\t(x)＝10.3－10.0＝0.3，而2 eq \r(\f(s eq \\al(2,1) ＋s eq \\al(2,2) ,10))＝ eq \r(\f(2,5)（s eq \\al(2,1) ＋s eq \\al(2,2) ）)＝ eq \r(0.030 4)，因为0.3＝ eq \r(0.09)＞ eq \r(0.030 4)，所以 eq \x\t(y)－ eq \x\t(x)≥2 eq \r(\f(s eq \\al(2,1) ＋s eq \\al(2,2) ,10))成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
12．【解答】 (1) 由散点图可以判断y＝c＋d eq \r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2) 令wi＝ eq \r(xi)，先建立y关于w的经验回归方程，由 eq \(d,\s\up6(^))＝ eq \f(∑\(,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (wi－\x\t(w))·(yi－\x\t(y)),∑\(,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (wi－\x\t(w))2)＝ eq \f(108.8,1.6)＝68，得 eq \(c,\s\up6(^))＝ eq \x\t(y)－ eq \(d,\s\up6(^)) eq \x\t(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y关于x的非线性经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68 eq \r(x).
(3) ①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值 eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68 eq \r(49)＝576.6(t)，年利润z的预报值 eq \(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32(千元).②根据(2)的结果知，年利润z的预报值 eq \(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68 eq \r(x))－x＝－x＋13.6 eq \r(x)＋20.12，所以当 eq \r(x)＝ eq \f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24时， eq \(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
X1
1
2
3
4
P
0.1
0.4
0.4
0.1
X2
1
2
3
4
P
0.4
0.1
0.1
0.4
X3
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.3
0.2
X4
1
2
3
4
P
0.3
0.2
0.2
0.3
X
1
2
3
P
0.6
0.28
0.12
X
0
1
2
P
eq \f(4,9)
eq \f(4,9)
eq \f(1,9)
Y
0
1
2
P
eq \f(5,12)
eq \f(1,2)
eq \f(1,12)
Y
－20
60
140
180
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
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