2024年高考数学重难点突破讲义：专题6　函数与导数

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：专题6　函数与导数，共2页。试卷主要包含了会忽视函数f的定义域为；等内容，欢迎下载使用。
已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x．
(1) 讨论f(x)的单调性；(2) 当a＜0时，求证：f(x)≤－eq \f(3,4a)－2．
【思维引导◎明思路】
【评分标准◎看过程】
(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(1,x)＋2ax＋2a＋1＝eq \f(x＋12ax＋1,x)．(2分)
若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(3分)
若a＜0，则当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2a)))时，f′(x)＞0；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)，＋∞))时，f′(x)＜0，故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2a)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)，＋∞))上单调递减．(4分)
(2) 由(1)知，当a＜0时，f(x)在x＝－eq \f(1,2a)处取得最大值，最大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)))＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)))－1－eq \f(1,4a)，(6分)
所以f(x)≤－eq \f(3,4a)－2等价于lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)))－1－eq \f(1,4a)≤－eq \f(3,4a)－2，即lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)))＋eq \f(1,2a)＋1≤0．(8分)
设g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝eq \f(1,x)－1，x＞0．(9分)
当x∈(0,1)时，g′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0．所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(10分)
故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0．(11分)
所以当x＞0时，g(x)≤0．从而当a＜0时，lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)))＋eq \f(1,2a)＋1≤0，即f(x)≤－eq \f(3,4a)－2．(12分)
【老师提醒◎防失误】
1．会忽视函数f(x)的定义域为(0，＋∞)；
2．求导后得f′(x)＝eq \f(1,x)＋2ax＋2a＋1，不知道通分处理，或通分后f′(x)＝eq \f(x＋12ax＋1,x)忽视对字母a的讨论；
3．不等式化简后得lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)))＋eq \f(1,2a)＋1≤0，不会换元处理构造函数g(x)＝lnx－x＋1；
4．当a＜0时，证明f(x)≤－eq \f(3,4a)－2，对所证不等式化简正确是得分点．