2022-2023学年河南省济源市梨林三中等两校八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河南省济源市梨林三中等两校八年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列标识中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）某种球形病毒的直径大约为0.000000102m，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．1.02×10﹣9mB．1.02×10﹣8m
C．1.02×10﹣7mD．1.02×10﹣6m
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．（2a+1）（2a﹣1）＝2a2﹣1D．（2a3﹣a2）÷a2＝2a﹣1
4．（3分）课间，小明和小聪在操场上忽然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时，数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争啦，其实你们一样高，瞧瞧地上你俩的影子一样长．”原来数学老师运用全等知识从他们的影长相等得到了他们的身高相同．你知道数学老师运用全等三角形的判定方法是哪一个吗？（ ）
A．SSSB．SASC．HLD．ASA
5．（3分）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A．a2﹣2a﹣3＝（a﹣1）（a﹣3）B．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若∠B＝35°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
7．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．900x+3=2×900x-1B．900x-3=2×900x+1
C．900x-1=2×900x+3D．900x+1=2×900x-3
8．（3分）某轮船在静水中的速度为30千米/时，A港、B港之间的航行距离为S千米，水流速度为v千米/时（v＜30）．如果该轮船从A港驶往B港，接着返回A港，航行所用时间为t1小时，假设该轮船在静水中航行2S千米所用时间为t2小时，那么t1与t2的大小关系为（ ）
A．t1＜t2B．t1＞t2C．t1＝t2D．不确定
9．（3分）在学习完等腰三角形之后，某兴趣小组开展了如下数学活动：如图，正方形纸片ABCD，①先对折使AB与CD重合，得到折痕EF；②折叠纸片，使得点A落在EF的点H上，沿BH和CH剪下△BCH，小组成员得到了如下结论：①∠BHF＝30°；②BF=12CH；③△BCH是等边三角形；④∠ABG＝15°；⑤四边形ABHE和四边形DCHE全等．正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝12，点D为AB的中点，点P为AC上一动点，则PB+PD的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）|-12|+(-1)2022+2-1-(π-3)0= ．
12．（3分）六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形每一个内角为 ．
13．（3分）如图，依据尺规作图的痕迹，则∠AOB＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝8，则△AED的周长为 ．
15．（3分）如图，∠MAB为锐角，AB＝a，使点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．
三、解答题（共8道题，第16、17、18题每题8分，第19题9分，第20、21题每题10分，第22、23题每题11分，共75分）
16．（8分）先化简（1-3a+2）÷a2-2a+1a2-4，然后从1，2，3中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
17．（8分）同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题：
解方程：1-x+32x-2=2x1-x
解：1-x+32(x-1)=-2xx-1①
1﹣（x+3）＝﹣4x②
1﹣x﹣3＝﹣4x③
﹣x+4x＝﹣1+3④
3x＝2⑤
x=23⑥
（1）请你帮他找出这道题从第 步开始出错；
（2）请完整地解答此分式方程；
（3）通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？（至少要写出两条）
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点C1的坐标；
（2）将△ABC向左平移1个单位，得△A2B2C2，过点A2作直线l⊥x轴，已知点P为直线l上一点，若△A2B2P与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
19．（9分）如图，在一次数学活动课中，小明和小华想要测量教学楼AB的高度．经过思考，他们进行了如下的操作：首先，小华站在自己年级教学楼的阳台C处，小明在两栋教学楼之间移动，当他走到点E时，小华测得E处的俯角为∠1，小明测得顶点A的仰角为∠2，此时∠1与∠2互余．经测量，BE的长度为9米，C到地面的距离为9米，且小明身高为1.75米，眼睛距离地面1.70米，两教学楼之间的距离BD为19米，请你根据测量的数据帮他俩求出教学楼AB的高度．
20．（10分）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中空白部分的面积，可以得到的数学等式是 ；
（2）将图1中两个阴影的长方形沿着对角线切开，则可以得到四个全等的直角三角形，其中两直角边长分别为a，b，斜边长为c，将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形时，中间空白图形是边长为c的正方形．试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系．
（3）应用：已知直角三角形两条直角边长为6和8，求这个直角三角形斜边上的高．
21．（10分）【问题呈现】疫苗的普及，带来的是安全、是自由，是人类战胜病毒的标志．新冠疫苗的大规模接种，有效保护了我们的人身安全，让我们可以自由呼吸空气，不再恐惧病毒．为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原计划提高了20%，现在生产480万剂疫苗所用的时间比原计划生产420万剂疫苗所用的时间少1天，问原计划每天生产多少万剂疫苗？
（1）【分析交流】
某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整；
解：设原计划每天生产x万剂疫苗，则：
（2）【建模解答】请你完整解答本题．
（3）【解题收获】通过本问题的解决，请简述你对数学建模思想的一些认识．
22．（11分）在△ABC中，点D，E是边BC上的两点．
（1）如图1，若AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，BA＝BD，设∠B＝x°，∠CAD＝y°．
①猜想y与x的数量关系，并说明理由；
②在①的条件下，CA＝CE，请直接写出∠DAE的度数．
23．（11分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足|b﹣3|＝2ab﹣a2﹣b2，点C是坐标系内一点，连接AC，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD．
（1）A点的坐标为 ；B点的坐标为 ．
（2）如图1，若点C在第二象限，试判断OC与OD的关系，并说明理由．
（3）如图2，若点C的坐标为（﹣2，-32），AC与OD交于点F，连接CD．求D点的坐标．
2022-2023学年河南省济源市梨林三中等两校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母代号，填涂在答题卡的对应位置.
1．（3分）下列标识中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A、B、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
2．（3分）某种球形病毒的直径大约为0.000000102m，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．1.02×10﹣9mB．1.02×10﹣8m
C．1.02×10﹣7mD．1.02×10﹣6m
【解答】解：0.000000102m＝1.02×10﹣7m，
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．（2a+1）（2a﹣1）＝2a2﹣1D．（2a3﹣a2）÷a2＝2a﹣1
【解答】解：A．a2与a3不能合并，故本项错误；
B．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本项错误；
C．（2a+1）（2a﹣1）＝4a2﹣1，故本项错误；
D．（2a3﹣a2）÷a2＝2a﹣1，本项正确，
故选：D．
4．（3分）课间，小明和小聪在操场上忽然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时，数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争啦，其实你们一样高，瞧瞧地上你俩的影子一样长．”原来数学老师运用全等知识从他们的影长相等得到了他们的身高相同．你知道数学老师运用全等三角形的判定方法是哪一个吗？（ ）
A．SSSB．SASC．HLD．ASA
【解答】解：老师根据两人的影长相同，与地面夹角都为直角，
在阳光下，光线与地面夹角相同，
故依据ASA可判定△ABC≌△DEF，得到身高AB＝DE，
故选：D．
5．（3分）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A．a2﹣2a﹣3＝（a﹣1）（a﹣3）B．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
【解答】解：A、a2﹣2a﹣3＝（a+1）（a﹣3），分解错误，故不合题意；
B、a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，是因式分解且分解正确，故符合题意；
C、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，不是因式分解，故不合题意；
D、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），分解不彻底，故不合题意；
故选：B．
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若∠B＝35°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝35°，
∵∠C＝90°，∠B＝35°，
∴∠BAC＝55°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝20°，
故选：A．
7．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．900x+3=2×900x-1B．900x-3=2×900x+1
C．900x-1=2×900x+3D．900x+1=2×900x-3
【解答】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴900x-3=2×900x+1．
故选：B．
8．（3分）某轮船在静水中的速度为30千米/时，A港、B港之间的航行距离为S千米，水流速度为v千米/时（v＜30）．如果该轮船从A港驶往B港，接着返回A港，航行所用时间为t1小时，假设该轮船在静水中航行2S千米所用时间为t2小时，那么t1与t2的大小关系为（ ）
A．t1＜t2B．t1＞t2C．t1＝t2D．不确定
【解答】解：由题意可得：t1=S30-v+S30+v，t2=2S30，v＞30，
t1-t2=S30-v+S30+v-2S30
=30S(30+v)30(30-v)(30+v)+30S(30-v)30(30-v)(30+v)-2S(30-v)(30+v)30(30-v)(30+v)
=30S(30+v)+30S(30-v)-2S(30-v)(30+v)30(30-v)(30+v)
=Sv215(30-v)(30+v)＞0，
∴t1＞t2，
故选：B．
9．（3分）在学习完等腰三角形之后，某兴趣小组开展了如下数学活动：如图，正方形纸片ABCD，①先对折使AB与CD重合，得到折痕EF；②折叠纸片，使得点A落在EF的点H上，沿BH和CH剪下△BCH，小组成员得到了如下结论：①∠BHF＝30°；②BF=12CH；③△BCH是等边三角形；④∠ABG＝15°；⑤四边形ABHE和四边形DCHE全等．正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：在正方形ABCD中，
AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，
由折叠可知：AB＝BH，∠ABG＝∠HBG，
∴BH＝BC，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BH＝CH，∠BFH＝90°，
∴BH＝CH＝BC，
∴△BHC是正三角形，故③正确；
∴∠HBC＝60°，
∴∠ABG=∠HBG=12(90°-∠HBC)=15°，故④正确；
∠BHF＝30°，故①正确；
∴BF=12BH
∵BH＝CH，
∴BF=12CH，故②正确；
由折叠可知：AE＝DE，
∵∠BHF＝∠CHF＝30°，∠ABH＝∠DCH＝30°，∠A＝∠D＝∠AEH＝∠DEH＝90°，
又AB＝CD，BH＝CH，EH＝EH，
∴四边形ABHE和四边形DCHE全等，故⑤正确；
∴正确的有5个，
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝12，点D为AB的中点，点P为AC上一动点，则PB+PD的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【解答】解：如图所示，作点D关于AC的对称点E，连接AE，PE，DE，则AE＝AD，PE＝PD，
∴BP+PD＝BP+PE，
∴当B，P，E在同一直线上时，BP+PD＝BP+PE＝BE，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
又∵D为AB上的中点，
∴DE＝AD＝DB，
∴∠DEB=12∠ADE＝30°＝∠ABE，
∴∠AEB＝90°，
∵AC＝12，
∴AB＝83，AE＝43，
∴Rt△ABE中，BE＝12，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）|-12|+(-1)2022+2-1-(π-3)0= 1 ．
【解答】解：|-12|+(-1)2022+2-1-(π-3)0
=12+1+12-1
＝1．
故答案为：1．
12．（3分）六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形每一个内角为 120° ．
【解答】解：∵n边形内角和＝（n﹣2）×180°（n为不小于3的整数），
∴正六边形的内角和：（6﹣2）×180°＝720°，
又∵正六边形的每个角相等，
∴正六边形每一个内角为720°÷6＝120°．
故答案为：120°．
13．（3分）如图，依据尺规作图的痕迹，则∠AOB＝ 45° ．
【解答】解：根据作图痕迹可知：OA⊥OC，
则∠AOC＝90°，
又根据作图痕迹可知：OB平分∠AOC，
则∠AOB＝45°，
故答案为：45°．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝8，则△AED的周长为 8 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝DC，
∵DE⊥AB，∠A＝45°，
∴AE＝DE＝DC，
∵∠BED＝∠C＝90°，BD＝BD，∠DBE＝∠DBC，
∴△BDE≌△BDC（AAS），
∴BE＝BC，
∴C△AED＝AE+DE+AD
＝AE+DC+AD
＝AC+AE
＝BE+AE
＝AB
＝8．
故答案为：8．
15．（3分）如图，∠MAB为锐角，AB＝a，使点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 x＝d或x≥a ．
【解答】解：过B作BD⊥AM于D，
∵点B到射线AM的距离为d，
∴BD＝d，
①如图，
当C点和D点重合时，x＝d，此时△ABC是一个直角三角形；
②如图，
当d＜x＜a时，此时C点的位置有两个，即△ABC有两个；
③如图，
当x≥a时，此时△ABC是一个三角形；
所以x的范围是x＝d或x≥a，
故答案为：x＝d或x≥a．
三、解答题（共8道题，第16、17、18题每题8分，第19题9分，第20、21题每题10分，第22、23题每题11分，共75分）
16．（8分）先化简（1-3a+2）÷a2-2a+1a2-4，然后从1，2，3中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
【解答】解：(1-3a+2)÷a2-2a+1a2-4
=(a+2a+2-3a+2)×(a+2)(a-2)(a-1)2
=a-1a+2×(a+2)(a-2)(a-1)2
=a-2a-1，
根据题意得：a+2≠0，a﹣2≠0，a﹣1≠0，
∴a≠1且a≠±2，
∴当a＝3时，
原式=3-23-1=12．
17．（8分）同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题：
解方程：1-x+32x-2=2x1-x
解：1-x+32(x-1)=-2xx-1①
1﹣（x+3）＝﹣4x②
1﹣x﹣3＝﹣4x③
﹣x+4x＝﹣1+3④
3x＝2⑤
x=23⑥
（1）请你帮他找出这道题从第 ② 步开始出错；
（2）请完整地解答此分式方程；
（3）通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？（至少要写出两条）
【解答】解：（1）这道题从第②步开始出错；
故答案为：②；
（2）1-x+32x-2=2x1-x，
去分母得：2（x﹣1）﹣（x+3）＝﹣4x，
2x﹣2﹣x﹣3＝﹣4x，
2x﹣x+4x＝2+3，
5x＝5，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0，
∴x＝1是原方程的增根，故无解．
（3）解分式方程去分母时，每一项都要乘以最简公分母；
解分式方程要检验．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点C1的坐标；
（2）将△ABC向左平移1个单位，得△A2B2C2，过点A2作直线l⊥x轴，已知点P为直线l上一点，若△A2B2P与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（4，﹣4）；
（2）如图所示，
S△ABC=4×4-12×1×2-12×2×4-12×3×4=5，
设P（﹣1，m），则S△A2B2P=12×|m-1|×2，
∵S△A2B2P=S△ABC，
∴12×|m-1|×2=5，
解得，m＝﹣4或m＝6，
∴P（﹣1，﹣4）或（﹣1，6）．
19．（9分）如图，在一次数学活动课中，小明和小华想要测量教学楼AB的高度．经过思考，他们进行了如下的操作：首先，小华站在自己年级教学楼的阳台C处，小明在两栋教学楼之间移动，当他走到点E时，小华测得E处的俯角为∠1，小明测得顶点A的仰角为∠2，此时∠1与∠2互余．经测量，BE的长度为9米，C到地面的距离为9米，且小明身高为1.75米，眼睛距离地面1.70米，两教学楼之间的距离BD为19米，请你根据测量的数据帮他俩求出教学楼AB的高度．
【解答】解：如图，过F作FG⊥AB，垂足为G，
由题意可得：BE＝FG＝9米，CD＝9米，EF＝1.70米，BD＝19米，
∴DE＝BD﹣BE＝10米，
∵∠CDE＝∠ABE＝90°，
∴∠1+∠DCE＝90°，
又∠1与∠2互余，
∴∠DCE＝∠2，
在△AFG和△ECD中，
∠AGF=∠EDCFG=CD∠2=∠DCE，
∴△AFG≌△ECD（ASA），
∴AG＝DE＝10米，
又∵BG＝EF＝1.70米，
∴AB＝AG+BG＝10+1.7＝11.7（米），
∴教学楼AB的高度为11.7米．
20．（10分）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中空白部分的面积，可以得到的数学等式是 a2+b2+2ab＝（a+b）2 ；
（2）将图1中两个阴影的长方形沿着对角线切开，则可以得到四个全等的直角三角形，其中两直角边长分别为a，b，斜边长为c，将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形时，中间空白图形是边长为c的正方形．试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系．
（3）应用：已知直角三角形两条直角边长为6和8，求这个直角三角形斜边上的高．
【解答】解：（1）方法一：空白部分是两个正方形的面积和，即a2+b2；
方法二：空白部分也可以看作边长为（a+b）的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab，
由两种方法看出a2+b2+2ab＝（a+b）2，
故答案为：a2+b2+2ab＝（a+b）2；
（2）中间正方形的边长为c，因此面积为c2，
也可以看作从边长为（a+b）的面积减去四个两条直角边分别a、b的面积，即c2＝（a+b）2﹣2ab，
整理得：c2＝a2+b2；
（3）∵a＝6，b＝8，
∴斜边c=62+82=10，
∴斜边上的高为6×810=245，
答：斜边的长为245．
21．（10分）【问题呈现】疫苗的普及，带来的是安全、是自由，是人类战胜病毒的标志．新冠疫苗的大规模接种，有效保护了我们的人身安全，让我们可以自由呼吸空气，不再恐惧病毒．为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原计划提高了20%，现在生产480万剂疫苗所用的时间比原计划生产420万剂疫苗所用的时间少1天，问原计划每天生产多少万剂疫苗？
（1）【分析交流】
某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整；
解：设原计划每天生产x万剂疫苗，则：
（2）【建模解答】请你完整解答本题．
（3）【解题收获】通过本问题的解决，请简述你对数学建模思想的一些认识．
【解答】解：（1）
（2）解：设原计划每天生产x万剂疫苗，
由题意可得：420x=480(1+20%)x+1，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原方程的解，
∴原计划每天生产20万剂疫苗；
（3）通过本问题的解决，我的收获是：对于工程类问题和类似问题可以构建分式方程解决．
22．（11分）在△ABC中，点D，E是边BC上的两点．
（1）如图1，若AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，BA＝BD，设∠B＝x°，∠CAD＝y°．
①猜想y与x的数量关系，并说明理由；
②在①的条件下，CA＝CE，请直接写出∠DAE的度数．
【解答】（1）证明：如图1，过A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BF﹣DF＝CF﹣EF，即BD＝CE；
（2）解：①猜想：x＝2y，理由是：
∵BA＝BD，∠B＝x°，
∴∠BAD=∠BDA=12(180°-∠B)=90°-12x°，
∵∠BAC＝90°，∠CAD＝y°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，即90°-12x°+y°=90°，
整理得：x＝2y；
②∵CA＝CE，
∴∠CAE=∠CEA=12(180°-∠C)=90°-12∠C，
∵∠BAD=∠BDA=12(180°-∠B)=90°-12∠B，
∴∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣90°
=90°-12∠B+90°-12∠C-90°
=90°-12(∠B+∠C)
=90°-12(180°-∠BAC)
=90°-12(180°-90°)
＝45°．
23．（11分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足|b﹣3|＝2ab﹣a2﹣b2，点C是坐标系内一点，连接AC，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD．
（1）A点的坐标为 （3，0） ；B点的坐标为 （0，3） ．
（2）如图1，若点C在第二象限，试判断OC与OD的关系，并说明理由．
（3）如图2，若点C的坐标为（﹣2，-32），AC与OD交于点F，连接CD．求D点的坐标．
【解答】解：（1）∵|b﹣3|＝2ab﹣a2﹣b2，
∴（a﹣b）2+|b﹣3|＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣3＝0，
∴a＝b＝3，
∴A（3，0），B（0，3），
故答案为：（3，0），（0，3）；
（2）OD＝OC，理由如下：
设AC交y轴于G，如图：
∵BE⊥AC，
∴∠BEG＝90°＝∠AOG，
∵∠BGE＝∠AGO，
∴∠EBG＝∠OAG，即∠DBO＝∠CAO，
由（1）知A（3，0），B（0，3），
∴OA＝3＝OB，
在△BDO和△ACO中，
BD=AC∠DBO=∠CAOOB=OA，
∴△BDO≌△ACO（SAS），
∴OD＝OC；
（3）过C作CH⊥x轴于H，过D作DM⊥y轴于M，如图：
∵A（3，0），C（﹣2，-32），
∴CH=32，AH＝5，
同（2）可得∠DBO＝∠CAO，
∵∠DMB＝90°＝∠CHA，BD＝AC，
∴BDM△≌△ACH（AAS），
∴DM＝CH=32，BM＝AH＝5，
∵B（0，3），
∴D（32，﹣2）．
生产总量（单位：万剂）
生产效率（单位：万剂/天）
生产时间（单位：天）
原计划
420
x
①
现在
480
②
③
生产总量（单位：万剂）
生产效率（单位：万剂/天）
生产时间（单位：天）
原计划
420
x
① 420x
现在
480
② （1+20%）x
③ 480(1+20%)x
生产总量（单位：万剂）
生产效率（单位：万剂/天）
生产时间（单位：天）
原计划
420
x
420x
现在
480
（1+20%）x
480(1+20%)x