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2023-2024学年广西玉林市北流市东湖初中联合体九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2023-2024学年广西玉林市北流市东湖初中联合体九年级（上）期末数学试卷，共26页。
A．2023B．﹣2023C．-12023D．12023
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若二次根式x-1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＞1C．x≥1D．x＜1
4．（3分）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，为杭州第19届亚运会主会场．座席数为80800个．将数据80800用科学记数法表示为（ ）
A．8.08×104B．8.8×104C．8.8×105D．8.08×105
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝62°，则∠ABO的大小是（ ）
A．26°B．28°C．30°D．32°
6．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ）
A．x≥2B．﹣1≤x＜2C．x≥﹣1D．x＜﹣1
7．（3分）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A．18B．16C．14D．12
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+4＝6aB．a2•a3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a3＝a
9．（3分）宽与长的比是5-12（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
10．（3分）现在5G手机非常流行，5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多120MB，下载一部900MB的电影，5G比4G要快200秒，那么5G手机的下载速度是多少呢？若设5G手机的下载速度为xMB秒，则根据题意可列方程为（ ）
A．900x-900x-120=200B．900x-120-900x=200
C．900x+120+900x=200D．900x+200=900x+120
11．（3分）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（ ）
A．△ABE的面积B．△ACD的面积
C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积
12．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，OAOB=34．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=kx的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为27时，k的值是（ ）
A．2B．3C．5D．7
二.填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）化简：16= ．
14．（2分）分解因式：x3﹣9x＝ ．
15．（2分）如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角AOB＝120°，半径为6m，则扇形的弧长是 m．（结果保留π）
16．（2分）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，则车位所占的宽度EF为 米．（3≈1.73，结果精确到0.1）
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，AE为折痕，则BE的长等于 ．
18．（2分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是 ．
三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：(-1)2022+4-(15)-1+2sin45°．
20．（6分）先化简，再求值：(1-1x+1)÷x2x2-1，其中x＝2023．
21．（10分）如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．
（1）尺规作图：作∠CBF＝∠BAE，点F是∠CBF的边与线段CD的交点（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；
（2）线段AE与BF之间有怎样数量的关系？请说明理由．
22．（10分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
23．（10分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点是A，连接PO，过点B作BC∥PO，与⊙O交于点C，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，PA＝4，求BC的长度．
24．（10分）为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
25．（10分）如图，在并联电路中，电源电压为U总＝6V，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：I总＝I1+I2（I1=6R1，I2=6R）．已知R1为定值电阻，当R变时，路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+6R．
（1）【问题理解】
定值电阻R1的阻值为 Ω．
（2）【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2=6R来探究函数I总＝1+6R的图象与性质．
①列表：下表列出I总与R的几组对应值，请写出m的值：m＝ ．
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
（3）【数学思考】
观察图象发现：函数I总＝1+6R的图象是由I2=6R的图象向 平移 个单位而得到．
（4）【数学应用】
若关于x的方程|1+6x|=kx+6在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年广西玉林市北流市东湖初中联合体九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）2023的倒数是（ ）
A．2023B．﹣2023C．-12023D．12023
【解答】解：2023的倒数是12023．
故选：D．
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．（3分）若二次根式x-1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＞1C．x≥1D．x＜1
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1．
故选：C．
4．（3分）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，为杭州第19届亚运会主会场．座席数为80800个．将数据80800用科学记数法表示为（ ）
A．8.08×104B．8.8×104C．8.8×105D．8.08×105
【解答】解：80800＝8.08×104，
故选：A．
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝62°，则∠ABO的大小是（ ）
A．26°B．28°C．30°D．32°
【解答】解：∵∠ACB＝62°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝124°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO=∠BAO=180°-∠AOB2=28°，
故选：B．
6．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ）
A．x≥2B．﹣1≤x＜2C．x≥﹣1D．x＜﹣1
【解答】解：根据数轴可知：不等式组的解集是﹣1≤x＜2，
故选：B．
7．（3分）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A．18B．16C．14D．12
【解答】解：∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程，
∴小明恰好选中“烹饪”的概率为14．
故选：C．
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+4＝6aB．a2•a3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a3＝a
【解答】解：A．2a与4不是同类项，所以不能合并，原式错误，不符合题意；
B．a2⋅a3＝a5，计算正确，符合题意；
C．（2a）2＝4a2，原式错误，不符合题意；
D．a3÷a3＝1，原式错误，不符合题意；
故选：B．
9．（3分）宽与长的比是5-12（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
【解答】解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF=12+22=5
∴FG=5
∴CG=5-1
∴CGCD=5-12
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
10．（3分）现在5G手机非常流行，5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多120MB，下载一部900MB的电影，5G比4G要快200秒，那么5G手机的下载速度是多少呢？若设5G手机的下载速度为xMB秒，则根据题意可列方程为（ ）
A．900x-900x-120=200B．900x-120-900x=200
C．900x+120+900x=200D．900x+200=900x+120
【解答】解：设5G手机的下载速度为xMB秒，则设4G手机的下载速度为（x﹣120）MB秒，
由题意可得：900x-120-900x=200，
故选：B．
11．（3分）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（ ）
A．△ABE的面积B．△ACD的面积
C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积
【解答】解：作AG⊥ED于点G，交BC于点F，
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，
∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，
∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，
∴S﹣S1﹣S2=12ED•AG-12BE•EG-12CD•DG=12ED•AG-12FG•ED=12BC•AF＝S△ABC，
∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，
故选：C．
12．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，OAOB=34．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=kx的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为27时，k的值是（ ）
A．2B．3C．5D．7
【解答】解：设OA＝3a，则OB＝4a，
∴A（3a，0），B（0，4a）．
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
则根据题意得：3ak+b=0b=4a，
解得：k=-43b=4a，
则直线AB的解析式是y=-43x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y＝x．
根据题意得：y=xy=-43x+4a，
解得：x=127ay=127a
则D的坐标是（127a，127a），
OA的中垂线的解析式是x=32a，则C的坐标是（32a，32a），
将C点坐标代入反比例函数y=kx，
则k=94a2．
设OA的垂直平分线交x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，
则OF＝CF=32a，OE＝DE=127a，
∵∠DOA＝45°，
∴△COF和△DOE为等腰直角三角形，
∴OC=2OF=322a，OD=2OE=1227a，
∴CD＝OD﹣OC＝（1227a-322a）=2（127a-32a）=3142a．
∵以CD为边的正方形的面积为27，
∴(3214a)2=27，
则a2=289，
∴k=94×289=7．
故选：D．
二.填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）化简：16= 4 ．
【解答】解：16=4，
故答案为：4．
14．（2分）分解因式：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
15．（2分）如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角AOB＝120°，半径为6m，则扇形的弧长是 4π m．（结果保留π）
【解答】解：由题意可得，
扇形的弧长为：120π×6180=4π（m），
故答案为：4π．
16．（2分）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，则车位所占的宽度EF为 4.4 米．（3≈1.73，结果精确到0.1）
【解答】解：在直角三角形DCF中，
∵CD＝5.4m，∠DCF＝30°，
∴sin∠DCF=DFDC=DF5.4=12，
∴DF＝2.7，
∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∵AD＝BC＝2，
∴cs∠ADE=DEAD=DE2=32，
∴DE=3，
∴EF＝ED+DF≈2.7+1.73≈4.4（米）．
答：车位所占的宽度EF约为4.4米．
故答案为：4.4．
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，AE为折痕，则BE的长等于 1.5 ．
【解答】解：根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，
设BE＝EB′＝x，则EC＝BC﹣BE＝4﹣x，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC=AB2+BC2=5，
∴B′C＝AC﹣AB'＝5﹣3＝2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝1.5，
故答案为：1.5．
18．（2分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是 4+23 ．
【解答】解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置，
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，
∴PM'PN=KM'KM，
∴PM′＝PN，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∴MN=12AC
∴PM＝PN＝1，MN=3
∴AC＝23，
AB＝BC＝2PM＝2PN＝2
∴△ABC的周长为：2+2+23=4+2 3．
故答案为：4+2 3．
三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：(-1)2022+4-(15)-1+2sin45°．
【解答】解：(-1)2022+4-(15)-1+2sin45°
＝1+2﹣5+2×22
＝1+2﹣5+1
＝﹣1．
20．（6分）先化简，再求值：(1-1x+1)÷x2x2-1，其中x＝2023．
【解答】解：(1-1x+1)÷x2x2-1
=x+1-1x+1÷x2(x+1)(x-1)
=xx+1•(x+1)(x-1)x2
=x-1x，
当x＝2023时，原式=2023-12023=20222023．
21．（10分）如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．
（1）尺规作图：作∠CBF＝∠BAE，点F是∠CBF的边与线段CD的交点（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；
（2）线段AE与BF之间有怎样数量的关系？请说明理由．
【解答】解：（1）如图，∠CBF即为所求；
（2）AE＝BF，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，
∠BAE=∠CBFAB=BC∠ABE=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF．
22．（10分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
【解答】解：（1）由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），
∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），
答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
（2）由题意知，a=6×10+50×28%×9+50×22%×8+50×24%×7+50×14%×650=8；
b＝9；c＝8；
答：a，b，c的值分别为8，9，8；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．
23．（10分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点是A，连接PO，过点B作BC∥PO，与⊙O交于点C，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，PA＝4，求BC的长度．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∵BC∥PO，
∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOP＝∠COP，
在△AOP和△COP中，
OA=OC∠AOP=∠COPOP=OP，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠OCP＝∠OAP＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AC，
在Rt△OAP中，OP=OA2+PA2=5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAP＝∠BCA，
∵∠AOP＝∠CBA，
∴△AOP∽△CBA，
∴OABC=OPAB，即3BC=56，
解得：BC=185．
24．（10分）为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
【解答】解：（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是1.2x元，
由题意得：120001.2x-5000x=500，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，
∴1.2x＝12，
答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元；
（2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本（1000﹣a）本，
由题意得：a≥60012a+10(1000-a)≤11500，
解得：600≤a≤750，
设订购两种读本的总费用为w元，
由题意得：w＝12a+10（1000﹣a）＝2a+10000，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝600时，w有最小值为2×600+10000＝11200，
此时，1000﹣600＝400，符合题意，
答：订购这两种经典读本的总费用最低为11200元．
25．（10分）如图，在并联电路中，电源电压为U总＝6V，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：I总＝I1+I2（I1=6R1，I2=6R）．已知R1为定值电阻，当R变时，路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+6R．
（1）【问题理解】
定值电阻R1的阻值为 6 Ω．
（2）【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2=6R来探究函数I总＝1+6R的图象与性质．
①列表：下表列出I总与R的几组对应值，请写出m的值：m＝ 2.5 ．
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
（3）【数学思考】
观察图象发现：函数I总＝1+6R的图象是由I2=6R的图象向 上 平移 1 个单位而得到．
（4）【数学应用】
若关于x的方程|1+6x|=kx+6在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
【解答】解：（1）∵I总=1+6R，
∴I1=6R1=1，
∴R1＝6，
（2）①当R＝4时，I1=6R1=64=1.5，
∴I总=1+6R=1+1.5=2.5，
∴m＝2.5，
②先描出点（3，3），（4，2.5），（5，2.2），（6，2），再顺次连接这些点即可画出所求函数图象，
（3）当R＝6，I1＝1，I总＝2，
当R＝3时，I1＝2，I总＝3，
当R＝2时，I1＝3，I总＝4，
结合图象，所以函数I总＝1+6R的图象是由I2=6R的图象向上平移1个单位．
（4）由函数与方程的关系可知，
当k＜0时，y=|1+6x|，y=kx+6的函数图象在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴1+6x=kx+6，
化简得：kx2+5x﹣6＝0Δ＝b2﹣4ac＝25+24k＝0，
∴k=-2524，
当k＞0时，y=|1+6x|，y=kx+6的函数图象在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴-1-6x=kx+6，
化简得：kx2+7x+6＝0Δ＝b2﹣4ac＝49﹣24k＝0，
∴k=4924，
当k＝0时，y=|1+6x|，y=kx+6的图象恰好有两个交点．
∴k＝0或4924或-2524．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得4a-2b+c=036a+6b+c=0c=-3，
解得a=14b=-1c=-3，
∴y=14x2﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴MPAM=PFAE，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴6k+d=0d=-3，
∴k=12d=-3，
∴y=12x﹣3，
设P（t，14t2﹣t﹣3），则F（t，12t﹣3），
∴PF=12t﹣3-14t2+t+3=-14t2+32t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
∴MPAM=PFAE=-14t2+32t4=-116t2+38t=-116（t﹣3）2+916，
∴当t＝3时，MPAM有最大值916，
∴P（3，-154）；
（3）过点P作x轴的垂线l，在l上存在点D，使△BCD是直角三角形若存在；理由如下：
∵P（3，-154），D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴DGBH=BGCH，即33=BG6，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴OBKC=OCKD，即6KC=33，
∴KC＝6，
∴D（3，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（3，-32），BC＝35，
设D（3，m），
∵DT=12BC，
∴|m+32|=352，
∴m=352-32或m=-352-32，
∴D（3，352-32）或D（3，-352-32）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，-352-32）或（3，352-32）．
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56
R
…
3
4
5
6
…
I2=6R
…
2
1.5
1.2
1
…
I总＝1+6R
…
3
m
2.2
2
…
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56
R
…
3
4
5
6
…
I2=6R
…
2
1.5
1.2
1
…
I总＝1+6R
…
3
m
2.2
2
…
A．2023B．﹣2023C．-12023D．12023
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若二次根式x-1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＞1C．x≥1D．x＜1
4．（3分）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，为杭州第19届亚运会主会场．座席数为80800个．将数据80800用科学记数法表示为（ ）
A．8.08×104B．8.8×104C．8.8×105D．8.08×105
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝62°，则∠ABO的大小是（ ）
A．26°B．28°C．30°D．32°
6．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ）
A．x≥2B．﹣1≤x＜2C．x≥﹣1D．x＜﹣1
7．（3分）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A．18B．16C．14D．12
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+4＝6aB．a2•a3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a3＝a
9．（3分）宽与长的比是5-12（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
10．（3分）现在5G手机非常流行，5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多120MB，下载一部900MB的电影，5G比4G要快200秒，那么5G手机的下载速度是多少呢？若设5G手机的下载速度为xMB秒，则根据题意可列方程为（ ）
A．900x-900x-120=200B．900x-120-900x=200
C．900x+120+900x=200D．900x+200=900x+120
11．（3分）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（ ）
A．△ABE的面积B．△ACD的面积
C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积
12．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，OAOB=34．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=kx的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为27时，k的值是（ ）
A．2B．3C．5D．7
二.填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）化简：16= ．
14．（2分）分解因式：x3﹣9x＝ ．
15．（2分）如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角AOB＝120°，半径为6m，则扇形的弧长是 m．（结果保留π）
16．（2分）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，则车位所占的宽度EF为 米．（3≈1.73，结果精确到0.1）
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，AE为折痕，则BE的长等于 ．
18．（2分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是 ．
三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：(-1)2022+4-(15)-1+2sin45°．
20．（6分）先化简，再求值：(1-1x+1)÷x2x2-1，其中x＝2023．
21．（10分）如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．
（1）尺规作图：作∠CBF＝∠BAE，点F是∠CBF的边与线段CD的交点（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；
（2）线段AE与BF之间有怎样数量的关系？请说明理由．
22．（10分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
23．（10分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点是A，连接PO，过点B作BC∥PO，与⊙O交于点C，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，PA＝4，求BC的长度．
24．（10分）为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
25．（10分）如图，在并联电路中，电源电压为U总＝6V，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：I总＝I1+I2（I1=6R1，I2=6R）．已知R1为定值电阻，当R变时，路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+6R．
（1）【问题理解】
定值电阻R1的阻值为 Ω．
（2）【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2=6R来探究函数I总＝1+6R的图象与性质．
①列表：下表列出I总与R的几组对应值，请写出m的值：m＝ ．
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
（3）【数学思考】
观察图象发现：函数I总＝1+6R的图象是由I2=6R的图象向 平移 个单位而得到．
（4）【数学应用】
若关于x的方程|1+6x|=kx+6在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年广西玉林市北流市东湖初中联合体九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）2023的倒数是（ ）
A．2023B．﹣2023C．-12023D．12023
【解答】解：2023的倒数是12023．
故选：D．
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．（3分）若二次根式x-1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＞1C．x≥1D．x＜1
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1．
故选：C．
4．（3分）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，为杭州第19届亚运会主会场．座席数为80800个．将数据80800用科学记数法表示为（ ）
A．8.08×104B．8.8×104C．8.8×105D．8.08×105
【解答】解：80800＝8.08×104，
故选：A．
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝62°，则∠ABO的大小是（ ）
A．26°B．28°C．30°D．32°
【解答】解：∵∠ACB＝62°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝124°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO=∠BAO=180°-∠AOB2=28°，
故选：B．
6．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ）
A．x≥2B．﹣1≤x＜2C．x≥﹣1D．x＜﹣1
【解答】解：根据数轴可知：不等式组的解集是﹣1≤x＜2，
故选：B．
7．（3分）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A．18B．16C．14D．12
【解答】解：∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程，
∴小明恰好选中“烹饪”的概率为14．
故选：C．
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+4＝6aB．a2•a3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a3＝a
【解答】解：A．2a与4不是同类项，所以不能合并，原式错误，不符合题意；
B．a2⋅a3＝a5，计算正确，符合题意；
C．（2a）2＝4a2，原式错误，不符合题意；
D．a3÷a3＝1，原式错误，不符合题意；
故选：B．
9．（3分）宽与长的比是5-12（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
【解答】解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF=12+22=5
∴FG=5
∴CG=5-1
∴CGCD=5-12
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
10．（3分）现在5G手机非常流行，5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多120MB，下载一部900MB的电影，5G比4G要快200秒，那么5G手机的下载速度是多少呢？若设5G手机的下载速度为xMB秒，则根据题意可列方程为（ ）
A．900x-900x-120=200B．900x-120-900x=200
C．900x+120+900x=200D．900x+200=900x+120
【解答】解：设5G手机的下载速度为xMB秒，则设4G手机的下载速度为（x﹣120）MB秒，
由题意可得：900x-120-900x=200，
故选：B．
11．（3分）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（ ）
A．△ABE的面积B．△ACD的面积
C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积
【解答】解：作AG⊥ED于点G，交BC于点F，
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，
∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，
∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，
∴S﹣S1﹣S2=12ED•AG-12BE•EG-12CD•DG=12ED•AG-12FG•ED=12BC•AF＝S△ABC，
∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，
故选：C．
12．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，OAOB=34．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=kx的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为27时，k的值是（ ）
A．2B．3C．5D．7
【解答】解：设OA＝3a，则OB＝4a，
∴A（3a，0），B（0，4a）．
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
则根据题意得：3ak+b=0b=4a，
解得：k=-43b=4a，
则直线AB的解析式是y=-43x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y＝x．
根据题意得：y=xy=-43x+4a，
解得：x=127ay=127a
则D的坐标是（127a，127a），
OA的中垂线的解析式是x=32a，则C的坐标是（32a，32a），
将C点坐标代入反比例函数y=kx，
则k=94a2．
设OA的垂直平分线交x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，
则OF＝CF=32a，OE＝DE=127a，
∵∠DOA＝45°，
∴△COF和△DOE为等腰直角三角形，
∴OC=2OF=322a，OD=2OE=1227a，
∴CD＝OD﹣OC＝（1227a-322a）=2（127a-32a）=3142a．
∵以CD为边的正方形的面积为27，
∴(3214a)2=27，
则a2=289，
∴k=94×289=7．
故选：D．
二.填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）化简：16= 4 ．
【解答】解：16=4，
故答案为：4．
14．（2分）分解因式：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
15．（2分）如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角AOB＝120°，半径为6m，则扇形的弧长是 4π m．（结果保留π）
【解答】解：由题意可得，
扇形的弧长为：120π×6180=4π（m），
故答案为：4π．
16．（2分）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，则车位所占的宽度EF为 4.4 米．（3≈1.73，结果精确到0.1）
【解答】解：在直角三角形DCF中，
∵CD＝5.4m，∠DCF＝30°，
∴sin∠DCF=DFDC=DF5.4=12，
∴DF＝2.7，
∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∵AD＝BC＝2，
∴cs∠ADE=DEAD=DE2=32，
∴DE=3，
∴EF＝ED+DF≈2.7+1.73≈4.4（米）．
答：车位所占的宽度EF约为4.4米．
故答案为：4.4．
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，AE为折痕，则BE的长等于 1.5 ．
【解答】解：根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，
设BE＝EB′＝x，则EC＝BC﹣BE＝4﹣x，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC=AB2+BC2=5，
∴B′C＝AC﹣AB'＝5﹣3＝2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝1.5，
故答案为：1.5．
18．（2分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是 4+23 ．
【解答】解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置，
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，
∴PM'PN=KM'KM，
∴PM′＝PN，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∴MN=12AC
∴PM＝PN＝1，MN=3
∴AC＝23，
AB＝BC＝2PM＝2PN＝2
∴△ABC的周长为：2+2+23=4+2 3．
故答案为：4+2 3．
三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：(-1)2022+4-(15)-1+2sin45°．
【解答】解：(-1)2022+4-(15)-1+2sin45°
＝1+2﹣5+2×22
＝1+2﹣5+1
＝﹣1．
20．（6分）先化简，再求值：(1-1x+1)÷x2x2-1，其中x＝2023．
【解答】解：(1-1x+1)÷x2x2-1
=x+1-1x+1÷x2(x+1)(x-1)
=xx+1•(x+1)(x-1)x2
=x-1x，
当x＝2023时，原式=2023-12023=20222023．
21．（10分）如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．
（1）尺规作图：作∠CBF＝∠BAE，点F是∠CBF的边与线段CD的交点（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；
（2）线段AE与BF之间有怎样数量的关系？请说明理由．
【解答】解：（1）如图，∠CBF即为所求；
（2）AE＝BF，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，
∠BAE=∠CBFAB=BC∠ABE=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF．
22．（10分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
【解答】解：（1）由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），
∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），
答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
（2）由题意知，a=6×10+50×28%×9+50×22%×8+50×24%×7+50×14%×650=8；
b＝9；c＝8；
答：a，b，c的值分别为8，9，8；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．
23．（10分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点是A，连接PO，过点B作BC∥PO，与⊙O交于点C，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，PA＝4，求BC的长度．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∵BC∥PO，
∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOP＝∠COP，
在△AOP和△COP中，
OA=OC∠AOP=∠COPOP=OP，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠OCP＝∠OAP＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AC，
在Rt△OAP中，OP=OA2+PA2=5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAP＝∠BCA，
∵∠AOP＝∠CBA，
∴△AOP∽△CBA，
∴OABC=OPAB，即3BC=56，
解得：BC=185．
24．（10分）为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
【解答】解：（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是1.2x元，
由题意得：120001.2x-5000x=500，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，
∴1.2x＝12，
答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元；
（2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本（1000﹣a）本，
由题意得：a≥60012a+10(1000-a)≤11500，
解得：600≤a≤750，
设订购两种读本的总费用为w元，
由题意得：w＝12a+10（1000﹣a）＝2a+10000，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝600时，w有最小值为2×600+10000＝11200，
此时，1000﹣600＝400，符合题意，
答：订购这两种经典读本的总费用最低为11200元．
25．（10分）如图，在并联电路中，电源电压为U总＝6V，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：I总＝I1+I2（I1=6R1，I2=6R）．已知R1为定值电阻，当R变时，路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+6R．
（1）【问题理解】
定值电阻R1的阻值为 6 Ω．
（2）【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2=6R来探究函数I总＝1+6R的图象与性质．
①列表：下表列出I总与R的几组对应值，请写出m的值：m＝ 2.5 ．
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
（3）【数学思考】
观察图象发现：函数I总＝1+6R的图象是由I2=6R的图象向 上 平移 1 个单位而得到．
（4）【数学应用】
若关于x的方程|1+6x|=kx+6在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
【解答】解：（1）∵I总=1+6R，
∴I1=6R1=1，
∴R1＝6，
（2）①当R＝4时，I1=6R1=64=1.5，
∴I总=1+6R=1+1.5=2.5，
∴m＝2.5，
②先描出点（3，3），（4，2.5），（5，2.2），（6，2），再顺次连接这些点即可画出所求函数图象，
（3）当R＝6，I1＝1，I总＝2，
当R＝3时，I1＝2，I总＝3，
当R＝2时，I1＝3，I总＝4，
结合图象，所以函数I总＝1+6R的图象是由I2=6R的图象向上平移1个单位．
（4）由函数与方程的关系可知，
当k＜0时，y=|1+6x|，y=kx+6的函数图象在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴1+6x=kx+6，
化简得：kx2+5x﹣6＝0Δ＝b2﹣4ac＝25+24k＝0，
∴k=-2524，
当k＞0时，y=|1+6x|，y=kx+6的函数图象在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴-1-6x=kx+6，
化简得：kx2+7x+6＝0Δ＝b2﹣4ac＝49﹣24k＝0，
∴k=4924，
当k＝0时，y=|1+6x|，y=kx+6的图象恰好有两个交点．
∴k＝0或4924或-2524．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得4a-2b+c=036a+6b+c=0c=-3，
解得a=14b=-1c=-3，
∴y=14x2﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴MPAM=PFAE，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴6k+d=0d=-3，
∴k=12d=-3，
∴y=12x﹣3，
设P（t，14t2﹣t﹣3），则F（t，12t﹣3），
∴PF=12t﹣3-14t2+t+3=-14t2+32t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
∴MPAM=PFAE=-14t2+32t4=-116t2+38t=-116（t﹣3）2+916，
∴当t＝3时，MPAM有最大值916，
∴P（3，-154）；
（3）过点P作x轴的垂线l，在l上存在点D，使△BCD是直角三角形若存在；理由如下：
∵P（3，-154），D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴DGBH=BGCH，即33=BG6，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴OBKC=OCKD，即6KC=33，
∴KC＝6，
∴D（3，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（3，-32），BC＝35，
设D（3，m），
∵DT=12BC，
∴|m+32|=352，
∴m=352-32或m=-352-32，
∴D（3，352-32）或D（3，-352-32）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，-352-32）或（3，352-32）．
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56
R
…
3
4
5
6
…
I2=6R
…
2
1.5
1.2
1
…
I总＝1+6R
…
3
m
2.2
2
…
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56
R
…
3
4
5
6
…
I2=6R
…
2
1.5
1.2
1
…
I总＝1+6R
…
3
m
2.2
2
…
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