2023-2024学年江西师大附中九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年江西师大附中九年级（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）16的相反数是（ ）
A．16B．﹣6C．6D．-16
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．4a﹣3a＝1B．a4÷a2＝a2
C．（﹣2a）4＝﹣8a4D．（a+1）2＝a2+1
3．（3分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（ ）
A．36°B．48°C．72°D．96°
5．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．AF＝BFB．AE=12AC
C．∠DBF+∠DFB＝90°D．∠BAF＝∠EBC
6．（3分）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与AB交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2π3-32B．2π3-3C．π3-32D．π3
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：3x3﹣12x＝ ．
8．（3分）若x＝2y+3，则代数式3x﹣6y+1的值是 ．
9．（3分）已知：点A（x1，2），B（x2，3）是一次函数y＝（m2+1）x﹣5图象上的两点，则x1﹣x2 0．（填“＞”或“＜”）
10．（3分）有这样一道数学名题，其题意：一群老者去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个，请问几个老者几个梨？设有老者x人，梨y个，则可列二元一次方程组： ．
11．（3分）若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x12-3x1-x2＝ ．
12．（3分）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D是AB的中点，P是CD上的动点．若点P到△ABC的一边的距离为2，则CP的长为 ．
三、（本大题5小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）计算：(12)-1-(2-2024)0+3⋅tan30°．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，求证：AB＝2DE．
15．（6分）以下是某同学化简分式（xx2-9-1x+3）÷33-x的部分运算过程：
解：原式＝[x(x+3)(x-3)-1x+3]÷33-x①
＝[x(x+3)(x-3)-x-3(x+3)(x-3)]•3-x3②
=x-x-3(x+3)(x-3)•3-x3③
…
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；
（2）请你写出正确的解答过程．
16．（6分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ；
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案不同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
17．（6分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，CD是⊙O的直径，A是BD的中点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作一个等腰△CDE．
（2）在图2中，作一个以OB为对角线的矩形．
18．（6分）如图1，等腰Rt△ABC的顶点A，B都在y轴上，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象经过C点，已知A，B两点的坐标分别为（0，2）和（0，m）（m≠2），∠ABC＝90°．
（1）若m＝4，求该反比例函数的解析式；
（2）若m＝k，求B点的坐标．
四、（本大题2小题，每小题8分，共16分）
19．（8分）为了解学生锻炼身体的情况，某中学随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间t≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t≤40分钟记为B类，40分钟＜t≤60分钟记为C类，t＞60分钟记为D类．收集的数据绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽取了 名学生进行调查统计；
（2）扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）如果该校共有1500名学生，请你估计该校B类学生约有多少？
20．（8分）学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n=sinαsinβ称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm．
（1）求入射角α的度数．
（2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cs∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求FHAF的值．
22．（9分）已知抛物线l1：y＝x2+2mx+3（m≠0）．
（1）下列有关抛物线l1的结论正确的有 （填序号）．
①开口向下；
②对称轴在y轴的左侧；
③与y轴的交点坐标为（0，3）；
④函数值y有最小值3﹣m2；
（2）当m＝1时，抛物线l1的顶点坐标为 ，将抛物线l1沿直线x＝m翻折得到抛物线l2，则抛物线l2的表达式为 ；
（3）如图，设抛物线l1与y轴相交于点C，将抛物线l1沿直线x＝m翻折，得到抛物线l2，抛物线l1，l2的交点为A，抛物线l2的顶点为P．是否存在实数m，使得∠PCA＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年江西师大附中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大感6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）16的相反数是（ ）
A．16B．﹣6C．6D．-16
【解答】解：16的相反数是-16．
故选：D．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．4a﹣3a＝1B．a4÷a2＝a2
C．（﹣2a）4＝﹣8a4D．（a+1）2＝a2+1
【解答】解：A．4a﹣3a＝a，选项A不符合题意；
B．a4÷a2＝a2，选项B符合题意；
C．（﹣2a）4＝16a4，选项C不符合题意；
D．（a+1）2＝a2+2a+1，选项D不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，
∴圆锥的俯视图与主视图不同，
故选：D．
4．（3分）如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（ ）
A．36°B．48°C．72°D．96°
【解答】解：∵点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，
∴弧BD的度数为144度，
∴∠A＝72°．
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．AF＝BFB．AE=12AC
C．∠DBF+∠DFB＝90°D．∠BAF＝∠EBC
【解答】解：由图中尺规作图痕迹可知，
BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．
由垂直平分线的性质可得AF＝BF，
故A选项不符合题意；
∵DF为线段AB的垂直平分线，
∴∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠DFB＝90°，
故C选项不符合题意；
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠EBC，
∵AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠EBC，
故D选项不符合题意；
根据已知条件不能得出AE=12AC，
故B选项符合题意．
故选：B．
6．（3分）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与AB交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2π3-32B．2π3-3C．π3-32D．π3
【解答】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形AOB中，OA＝2，
∴OC＝OA＝2，
∵点A与圆心O重合，
∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，
∴OC＝AC，
∴OA＝OC＝AC＝2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CD⊥OA，
∴CD=OC2-OD2=22-12=3，
∴阴影部分的面积为：60π×22360-2×32=2π3-3，
故选：B．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：3x3﹣12x＝ 3x（x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：3x3﹣12x
＝3x（x2﹣4）
＝3x（x+2）（x﹣2）
故答案为：3x（x+2）（x﹣2）．
8．（3分）若x＝2y+3，则代数式3x﹣6y+1的值是 10 ．
【解答】解：把x＝2y+3，代入代数式3x﹣6y+1得，
3x﹣6y+1＝3（2y+3）﹣6y+1＝6y+9﹣6y+1＝10，
故答案为：10．
9．（3分）已知：点A（x1，2），B（x2，3）是一次函数y＝（m2+1）x﹣5图象上的两点，则x1﹣x2 ＜ 0．（填“＞”或“＜”）
【解答】解：∵一次函数y＝（m2+1）x﹣5中，k＝m2+1＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵3＞2，
∴x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0．
故答案为：＜．
10．（3分）有这样一道数学名题，其题意：一群老者去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个，请问几个老者几个梨？设有老者x人，梨y个，则可列二元一次方程组： x=y-12x=y+2 ．
【解答】解：依题意得x=y-12x=y+2．
故答案为：x=y-12x=y+2．．
11．（3分）若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x12-3x1-x2＝ ﹣1 ．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x12=2x1+1，
∴x12-3x1﹣x2
＝（2x1+1）﹣3x1﹣x2
＝2x1+1﹣3x1﹣x2
＝1﹣x1﹣x2
＝1﹣（x1+x2）
＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（3分）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D是AB的中点，P是CD上的动点．若点P到△ABC的一边的距离为2，则CP的长为 52或103或3512 ．
【解答】解：如图，过点P分别作△ABC三边的垂线段，垂足分别为E、F、G，
∵AC2+BC2＝62+82＝102，AB2＝102，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵点D为AB的中点，AB＝10，
∴CD＝D＝BD=12AB＝5，
①当PE＝2时，
∵∠PEC＝∠BCA＝90°，∠PCE＝∠BAC，
∴△PCE∽△BAC，
∴PEBC=CPAB，
即28=CP10，
∴CP=52；
②当PF＝2时，
∵∠PFC＝∠ACB＝90°，∠PCF＝∠ABC，
∴△PCF∽△ABC，
∴PFAC=CPAB，
即26=CP10，
∴CP=103；
③当PG＝2时，过点C作CH⊥AB于H，则CH=AC⋅BCAB=245，
∵PG⊥AB，CH⊥AB，
∴△PGD∽△CHD，
∴FGCH=PDCD，
即2245=PD5，
∴PD=2512，
∴PC＝CD﹣PD
＝5-2512
=3512；
综上所述，PC=52或PC=103或PC=3512，
故答案为：52或103或3512．
三、（本大题5小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）计算：(12)-1-(2-2024)0+3⋅tan30°．
【解答】解：原式＝2﹣1+3×33
＝2﹣1+1
＝2．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，求证：AB＝2DE．
【解答】证明：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AC＝2DE，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴AB＝2DE．
15．（6分）以下是某同学化简分式（xx2-9-1x+3）÷33-x的部分运算过程：
解：原式＝[x(x+3)(x-3)-1x+3]÷33-x①
＝[x(x+3)(x-3)-x-3(x+3)(x-3)]•3-x3②
=x-x-3(x+3)(x-3)•3-x3③
…
（1）上面的运算过程中第 ③ 步出现了错误；
（2）请你写出正确的解答过程．
【解答】解：（1）上面的运算过程中第③步出现了错误，
故答案为：③；
（2）正确的解答过程如下：
（xx2-9-1x+3）÷33-x
＝[x(x+3)(x-3)-1x+3]•3-x3
=x-(x-3)(x+3)(x-3)•3-x3
=3(x+3)(x-3)•3-x3
=-1x+3．
16．（6分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 13 ；
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案不同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是13，
故答案为：13；
（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有6种，
∴两次抽取的卡片图案不相同的概率为69=23．
17．（6分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，CD是⊙O的直径，A是BD的中点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作一个等腰△CDE．
（2）在图2中，作一个以OB为对角线的矩形．
【解答】解：（1）如图所示：
连接AC，延长CB、DA相交于点E，
∵点A是弧BD的中点，
∴弧AD＝弧AB，
∴∠BCA＝∠DCA，
∵CD是圆O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴AC⊥AD，
∴△CDE是等腰三角形；
（2）矩形BMON如图所示：
连接OA、BD相交于点M，连接OB，CM，交于点G，则点G是三条中线的交点，
∴CN＝NB，
则ON⊥CB，
∵点A是弧BD的中点，
∴弧AB＝弧AD
∴AB＝AD，
∵OB＝OD，
∴OA是BD的垂直平分线，
∴∠BMO＝90°，
∵CD是圆O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵ON⊥BC，
∴∠BNO＝90°，
∴四边形DMON是矩形．
18．（6分）如图1，等腰Rt△ABC的顶点A，B都在y轴上，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象经过C点，已知A，B两点的坐标分别为（0，2）和（0，m）（m≠2），∠ABC＝90°．
（1）若m＝4，求该反比例函数的解析式；
（2）若m＝k，求B点的坐标．
【解答】解：（1）∵m＝4，
∴B（0，4），
∵A（0，2），
∴AB＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝2，
∴C（2，4），
把C（2，4）代入y=kx(k＞0，x＞0)得k＝2×4＝8，
故反比例函数的解析式为y=8x(x＞0)；
（2）①当m＞2时，k（k﹣2）＝k，
解得k＝0（舍去）或k＝3，
∴B（0，3）．
②当m＜2时，如图，
∴k（2﹣k）＝k，
解得k＝0（舍去）或k＝1．
∴B（0，1）
综上所述，B点的坐标为（0，1）或（0，3）．
四、（本大题2小题，每小题8分，共16分）
19．（8分）为了解学生锻炼身体的情况，某中学随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间t≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t≤40分钟记为B类，40分钟＜t≤60分钟记为C类，t＞60分钟记为D类．收集的数据绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽取了 50 名学生进行调查统计；
（2）扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为 36° ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）如果该校共有1500名学生，请你估计该校B类学生约有多少？
【解答】解：（1）观察统计图可知：A类学生共15人，占总人数的30%，
∴总人数为：15÷30%＝50（名）；
故答案为：50；
（2）D类的人数为：50﹣15﹣22﹣8＝5（人），占总人数的百分比为5÷50＝10%，
∴扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角为360°×10%＝36°，
故答案为：36°；
（3）由（2）可知D类的人数为5，
∴补充条形统计图如下：
；
（4）B类人数占总数的百分比为：22÷50＝44%，
∴1500×44%＝660（人），
答：估计该校B类学生约有660人．
20．（8分）学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n=sinαsinβ称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm．
（1）求入射角α的度数．
（2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
【解答】解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G，
由题意得：四边形DGBF是矩形，
∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，
在Rt△DGB中，tan∠BDG=BGDG=1612=43，
∴∠BDG＝53°，
∴∠PDH＝∠BDG＝53°，
∴入射角α的度数为53°；
（2）∵BG＝16cm，BC＝7cm，
∴CG＝BG﹣BC＝9（cm），
在Rt△CDG中，DG＝12cm，
∴DC=CG2+DG2=92+122=15（cm），
∴sinβ＝sin∠GDC=CGCD=915=35，
由（1）得：∠PDH＝53°，
∴sin∠PDH＝sinα≈45，
∴折射率n=sinαsinβ=4535=43，
∴光线从空气射入水中的折射率n约为43．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cs∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求FHAF的值．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，
设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴cs∠DAB＝cs∠COE=OCOE=；
（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，
∴EC=OE2-OC2=(2.5x)2-(1.5x)2=2x，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴FHAF=CEAE=2x4x=12．
22．（9分）已知抛物线l1：y＝x2+2mx+3（m≠0）．
（1）下列有关抛物线l1的结论正确的有 ③④ （填序号）．
①开口向下；
②对称轴在y轴的左侧；
③与y轴的交点坐标为（0，3）；
④函数值y有最小值3﹣m2；
（2）当m＝1时，抛物线l1的顶点坐标为 （﹣1，2） ，将抛物线l1沿直线x＝m翻折得到抛物线l2，则抛物线l2的表达式为 y＝x2﹣6x+11 ；
（3）如图，设抛物线l1与y轴相交于点C，将抛物线l1沿直线x＝m翻折，得到抛物线l2，抛物线l1，l2的交点为A，抛物线l2的顶点为P．是否存在实数m，使得∠PCA＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①∵a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2+2mx+3的开口方向向上，
∴①的结论不正确；
②∵抛物线y＝x2+2mx+3的对称轴为直线x＝﹣m，m的值不确定，
∴对称轴在y轴的左侧，也可能对称轴在y轴的右侧，
∴②的结论不正确；
③令x＝0，则y＝3，
∴抛物线y＝x2+2mx+3与y轴的交点坐标为（0，3），
∴③的结论正确；
④y＝x2+2mx+3＝（x+m）2+3﹣m2，
∵1＞0，
∴当x＝﹣m时，函数值y有最小值3﹣m2，
∴④的结论正确．
故答案为：③④；
（2）当m＝1时，
∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线l1的顶点坐标为（﹣1，2）；
∵将抛物线l1沿直线x＝1翻折得到抛物线l2，
∴抛物线l2的顶点坐标为（3，2），
∴抛物线l2的解析式为y＝a（x﹣3）2+2，
当x＝1时，y＝1+2+3＝6，
∴A（1，6）．
∴4a+2＝6，
∴a＝1．
即抛物线l2的解析式为y＝x2﹣6x+11．
故答案为：（﹣1，2 ）；y＝x2﹣6x+11；
（3）存在实数m，使得∠PCA＝90°，m的值为±1．理由：
∵抛物线l1的顶点坐标为（﹣m，3﹣m2），
将抛物线l1沿直线x＝m翻折，得到抛物线l2，
∴抛物线l2的顶点P的坐标为（3m，3﹣m2），
把x＝m代入y＝x2+2mx+3，得：y＝3m2+3，
∴点A的坐标为（m，3m2+3），
如图，过点A作AB⊥y轴于点B，过点P作PD⊥y轴于点D，
∴∠ABC＝∠PDC＝90°，
∴∠CPD+∠PCD＝90°，
∵∠ACP＝90°，
∴∠ACB+∠PCD＝90°，
∴∠ACB＝∠CPD，
∴△ABC∽△CDP，
∴ABBC=CDDP，
∴AB•DP＝BC•CD．
∵C（0，3），A（m，3m2+3），P（3m，3﹣m2），
∴OC＝3，OB＝3m2+3，OD＝3﹣m2，
∴AB＝|m|，BC＝OB﹣OC＝3m2，CD＝OC﹣OD＝m2，DP＝|3m|，
∴|m|⋅|3m|＝3m2⋅m2，
∴3m2＝3m4．
∵m≠0，
∴m2＝1，
∴m＝±1．
∴存在实数m，使得∠PCA＝90°，m的值为±1．