2023-2024学年陕西省西安市长安区六校联考九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年陕西省西安市长安区六校联考九年级（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）tan45°的值等于（ ）
A．12B．22C．32D．1
2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE＝5，则线段BC的长为（ ）
A．7.5B．10C．15D．20
4．（3分）若一个反比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m+1，﹣3）两点，则m的值为（ ）
A．6B．﹣6C．5D．﹣5
5．（3分）在一个不透明的盒子中装有红球、白球、黑球共40个，这些球除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从盒子中摸出一个球记录颜色后放回．经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在30%左右，则盒子中红球的个数约为（ ）
A．12B．15C．18D．22
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为12，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1）D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
7．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC和CD上的两点，若AB＝1，△AEF为等边三角形，则CE＝（ ）
A．32B．33C．22D．3-1
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣4x+m关于y轴对称的抛物线记为L'，且它们的顶点与原点的连线组成等边三角形，已知L的顶点在第四象限，则m的值为（ ）
A．23B．4+23C．4D．4-23
9．（3分）如果两点A（1，y1）和B（2，y2）都在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，有下列几种选项：y2＜y1＜0，y1＜y2＜0，y1＞y2＞0，y2＞y1＞0，其中可能正确的选项有（ ）种．
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如表中列出的是二次函数y＝ax2+bx+c中x与y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．方程ax2+（b+2）x+c＝﹣4的解为x1＝0，x2＝1
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣5的顶点坐标是 ．
12．（3分）已知ab=35，那么a-bb= ．
13．（3分）已知∠A是锐角，csA=35，则tanA的值为 ．
14．（3分）在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则x的值应为 ．
15．（3分）已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为 ．
16．（3分）如图，菱形OABC的顶点C坐标为（8，6），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为 ．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AE与BD相交于点F，若BE：EC＝2：3，则BF：FD的值为 ．
18．（3分）如图，菱形ABCD的周长为8厘米，∠D＝120°，点M为AB的中点，点N是边AD上任一点，把∠A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN＝ 厘米时，△BCE是直角三角形．
三、解答题（共7小题，计66分．解答应写出过程）
19．（4分）计算：2sin45°+4cs230°﹣tan260°．
20．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC．
求证：
（1）∠DAE＝∠DCE；
（2）△EGC∽△ECF．
21．（8分）甲、乙两人进行摸牌游戏：现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字1，3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再从中随机抽取一张，记录数字．
（1）甲从中随机抽取一张牌，抽取的数字为奇数的概率为 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取的数字相同的概率．
22．（10分）你当个需要贷款的购房者，购买一套商品房，首付45万元，剩余部分需贷款并按“等额本金”的形式偿还，所谓等额本金，就是在客户还款的时候，在还款期内把贷款总额进行等分，然后每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息．若每月偿还贷款金额y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）你购买的商品房的总价是 万元；
（3）若你计划每月偿还贷款不超边3000元，则至少需要多少个月还清？
23．（12分）如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？
24．（12分）已知点A为反比例函数y=5x(x＞0)图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．
（1）如图1，若点A的坐标为（5，a），求点B的坐标；
（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，若设A点坐标为(m，5m)，求四边形OCDA的面积．
25．（12分）已知抛物线C：y＝2x2+bx+c（a≠0）与x轴交于O（0，0）、A（5，0）．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）将抛物线C平移得到抛物线C'，其中A点平移后的对应点记为A'，O点平移后的对应的点记为O'，当以A、O、A'、O'为顶点的四边形为面积为20的菱形，且抛物线C'顶点在y轴的右侧时，求平移后得到的抛物线C'的表达式．
2023-2024学年陕西省西安市长安区六校联考九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）tan45°的值等于（ ）
A．12B．22C．32D．1
【解答】解：tan45°＝1．
故选：D．
2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．
故选：A．
3．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE＝5，则线段BC的长为（ ）
A．7.5B．10C．15D．20
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵BD＝2AD，
∴ADAB=13，
∵DE＝5，
∴5BC=13，
∴BC＝15．
故选：C．
4．（3分）若一个反比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m+1，﹣3）两点，则m的值为（ ）
A．6B．﹣6C．5D．﹣5
【解答】解：设反比例函数的表达式为y=kx（k≠0），
∵反比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m+1，﹣3）两点，
∴k＝3×（﹣6）＝（m+1）×（﹣3），
解得m＝5，
故选：C．
5．（3分）在一个不透明的盒子中装有红球、白球、黑球共40个，这些球除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从盒子中摸出一个球记录颜色后放回．经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在30%左右，则盒子中红球的个数约为（ ）
A．12B．15C．18D．22
【解答】解：根据题意，红球的个数约为40×30%＝12（个），
故选：A．
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为12，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1）D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
【解答】解：∵点E（﹣4，2），以原点O为位似中心，相似比为12，把△EFO缩小，
∴点E的对应点E′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选：C．
7．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC和CD上的两点，若AB＝1，△AEF为等边三角形，则CE＝（ ）
A．32B．33C．22D．3-1
【解答】解：∵四边形正方形ABCD，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
设BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
在Rt△EFC中，FE2＝CF2+CE2，
∴AB2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+1＝2（1﹣x）2，
∴x2﹣4x+1＝0，
∴x＝2±3，而x＜1，
∴x＝2-3，
即BE的长为＝2-3，
∴CE＝BC﹣BE＝1﹣（2-3）=3-1，
故选：D．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣4x+m关于y轴对称的抛物线记为L'，且它们的顶点与原点的连线组成等边三角形，已知L的顶点在第四象限，则m的值为（ ）
A．23B．4+23C．4D．4-23
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4．
∴这条抛物线L的顶点为（2，m﹣4），
∴关于y轴对称的抛物线L′的顶点（﹣2，m﹣4），
∵两个顶点和原点的连线组成等边三角形，
∴4+(m-4)2=4，
解得m1＝23+4，x2＝4﹣23，
∵L的顶点在第四象限，
∴m﹣4＜0，即m＜4，
∴m＝4﹣23．
故选：D．
9．（3分）如果两点A（1，y1）和B（2，y2）都在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，有下列几种选项：y2＜y1＜0，y1＜y2＜0，y1＞y2＞0，y2＞y1＞0，其中可能正确的选项有（ ）种．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵点A（1，y1）和B（2，y2）都在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴y1＝k，y2=k2，
当k＞0时，
∴0＜k2＜k，
∴y1＞y2＞0，
当k＜0时，
∴0＞k2＞k，
∴y1＜y2＜0，
∴B正确，
故选：B．
10．（3分）如表中列出的是二次函数y＝ax2+bx+c中x与y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．方程ax2+（b+2）x+c＝﹣4的解为x1＝0，x2＝1
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线的对称轴为直线x=32，
而x＝1时，y＝﹣6＜﹣4，
∴抛物线的开口向上，与x轴有两个交点，且在y轴两侧，所以A、B选项都不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x=32，
∴当x＞32时，y的值随x值的增大而增大，所以C选项不符合题意；
∵点（0，﹣4），（1，﹣6）在抛物线上，也在直线y＝﹣2x﹣4上，
即y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2x﹣4的交点坐标为（0，﹣4），（1，﹣6），
∴方程ax2+bx+c＝﹣2x﹣4的解为x1＝0，x2＝1，
即方程ax2+（b+2）x+c＝﹣4的解为x1＝0，x2＝1，所以D选项符合题意．
故选：D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣5的顶点坐标是 （﹣2，﹣5） ．
【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣5为抛物线的顶点式，∴根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
故答案为：（﹣2，﹣5）
12．（3分）已知ab=35，那么a-bb= -25 ．
【解答】解：∵ab=35，
∴设a＝3x，b＝5x，
∴a-bb=3x-5x5x=-25．
故答案为：-25．
13．（3分）已知∠A是锐角，csA=35，则tanA的值为 43 ．
【解答】解：如图，∠C＝90°，
∵csA=ACAB=35，
∴令AC＝3x，AB＝5x，
∴BC=BA2-AC2=4x，
∴tanA=BCAC=4x3x=43．
故答案为：43．
14．（3分）在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则x的值应为 4 ．
【解答】解：∵游戏对甲、乙双方都公平，
∴口袋中绿球和黑球的个数相等，
∴黑球的个数为2x个，
∴x+2x+2x＝20，
解得x＝4．
故答案为：4．
15．（3分）已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为 104 ．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长是2：3，
∴它们的相似比为2：3，
∴它们的面积的比为4：9，
设两个三角形的面积分别为4k，9k，
由题意得，9k﹣4k＝40，
解得k＝8，
∴两个三角形的面积分别为32，72，
∴它们的面积之和是32+72＝104．
故答案为：104．
16．（3分）如图，菱形OABC的顶点C坐标为（8，6），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为 108 ．
【解答】解：∵C（8，6），
∴OC=82+62=10，
∴CB＝OC＝10，
则点B的横坐标为8+10＝18，
故B的坐标为：（18，6），
将点B的坐标代入y=kx得，
6=k18，
解得：k＝108．
故答案为：108．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AE与BD相交于点F，若BE：EC＝2：3，则BF：FD的值为 49 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BE，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠EBF，
又∵∠AFD＝∠EFB，
∴△ADF∽△EBF，
∴BFFD=BEAD，
∵BEEC=23，
∴BEBC=25，
∴BFFD=25，
故答案为：25．
18．（3分）如图，菱形ABCD的周长为8厘米，∠D＝120°，点M为AB的中点，点N是边AD上任一点，把∠A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN＝ 12或1 厘米时，△BCE是直角三角形．
【解答】解：∵菱形ABCD周长为8厘米，
∴边长为2厘米，
∵点M为AB的中点，
∴AM＝BM＝1厘米，
由翻折可知：
EM＝AM＝BM，
∴∠MBE＝∠MEB，
①当∠EBC＝90°时，
∵∠D＝120°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠MBE＝∠MEB＝30°，
∴∠BME＝120°，
∴∠AMN＝∠EMN＝30°，
∴∠MNA＝90°，
∴AN=12AM=12厘米；
②当∠BEC＝90°时，
点E落在菱形对角线AC上，
∵点M为AB的中点，MN为折痕，
此时BD⊥AC于点E，
∴点N为AD的中点，
∴AN=12AD＝1厘米．
所以当AN＝1或12厘米时，△BCE是直角三角形．
故答案为：1或12．
三、解答题（共7小题，计66分．解答应写出过程）
19．（4分）计算：2sin45°+4cs230°﹣tan260°．
【解答】解：原式＝2×22+4×（32）2﹣（3）2
=2+3﹣3
=2．
20．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC．
求证：
（1）∠DAE＝∠DCE；
（2）△EGC∽△ECF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠CDE＝45°，AD∥BC，
在△ADE和△CDE中，
AD=CD∠ADE=∠CDEDE=DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE，
（2）∵AD∥CF，
∴∠DAE＝∠F，
∴∠DCE＝∠F，
又∵∠CEG＝∠FEC，
∴△EGC∽△ECF．
21．（8分）甲、乙两人进行摸牌游戏：现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字1，3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再从中随机抽取一张，记录数字．
（1）甲从中随机抽取一张牌，抽取的数字为奇数的概率为 23 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取的数字相同的概率．
【解答】解：（1）数字1，3，6中，是奇数的有1和3，
∴甲从中随机抽取一张牌，抽取的数字为奇数的概率为23．
故答案为：23．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两人抽取的数字相同的结果有3种，
∴两人抽取的数字相同的概率为39=13．
22．（10分）你当个需要贷款的购房者，购买一套商品房，首付45万元，剩余部分需贷款并按“等额本金”的形式偿还，所谓等额本金，就是在客户还款的时候，在还款期内把贷款总额进行等分，然后每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息．若每月偿还贷款金额y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）你购买的商品房的总价是 105 万元；
（3）若你计划每月偿还贷款不超边3000元，则至少需要多少个月还清？
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y=kx，
∵点（120，0.5）在反比例函数图象上，
∴k＝120×0.5＝60，
∴反比例函数解析式为：y=60x；
（2）由（1）可知，还款总数为60万元，
∴购买的商品房的总价是：45+60＝105（万元）．
故答案为：105．
（3）当y≤3000＝0.3万元时，
即60x≤0.3，解得x≥200．
答：计划每月偿还贷款不超边3000元，则至少需要200个月还清．
23．（12分）如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？
【解答】解：由题意知，设AH＝x米，BH＝y米，
△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，
∴BFHF=CBAH，DGHG=DEAH，
∴3x＝1.5×（y+3），5x＝1.5×（y+30+5）
解得x＝24．
答：旗杆AH的高度为24m．
24．（12分）已知点A为反比例函数y=5x(x＞0)图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．
（1）如图1，若点A的坐标为（5，a），求点B的坐标；
（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，若设A点坐标为(m，5m)，求四边形OCDA的面积．
【解答】解：（1）因为A点的坐标为（5，a），O点坐标为（0，0），且AB＝OA，
所以2×5﹣0＝10，2×a﹣0＝2a，
故点B的坐标为（10，2a）．
（2）因为A（m，5m），且AB＝OA，
所以点B的坐标为（2m，10m）．
又因为BC∥x轴，
所以yC=yB=10m，
则xC=m2．
又因为AD⊥BC，
所以D（m，10m）．
则S△ABD=12(2m-m)(10m-5m)=52，
S△OBC=12(2m-m2)⋅10m=152，
所以S四边形OCDA=152-52=5．
25．（12分）已知抛物线C：y＝2x2+bx+c（a≠0）与x轴交于O（0，0）、A（5，0）．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）将抛物线C平移得到抛物线C'，其中A点平移后的对应点记为A'，O点平移后的对应的点记为O'，当以A、O、A'、O'为顶点的四边形为面积为20的菱形，且抛物线C'顶点在y轴的右侧时，求平移后得到的抛物线C'的表达式．
【解答】解：（1）将点O（0，0）、A（5，0）代入y＝2x2+bx+c中，
∴c=050+5b+c=0，
解得c=0b=-10，
∴y＝2x2﹣10x；
（2）过点O'作O'D⊥x轴交于点D，
∵O（0，0）、A（5，0），
∴AO＝5，
由平移可知OA∥O'A'，OA＝O'A'＝5，
∵四边形OAA'O'是菱形，且面积为20，
∴O'D＝4，
在Rt△ODO'中，OD＝3，
∴抛物线C向右平移3个单位长，向上或向下平移4个单位长，
∵y＝2x2﹣10x＝2（x-52）2-252，
∴平移后的抛物线解析式为y＝2（x-112）2-172或y＝2（x-112）2-332．
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
1
3
6
1
（1，1）
（1，3）
（1，6）
3
（3，1）
（3，3）
（3，6）
6
（6，1）
（6，3）
（6，6）