高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线巩固练习，共42页。试卷主要包含了3.2　抛物线的简单几何性质，抛物线的通径长为2p.，抛物线的焦点弦等内容，欢迎下载使用。

3．3.2 抛物线的简单几何性质
【考点梳理】
考点一 抛物线的简单几何性质
考点二 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
考点三 直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF)))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF)))＝eq \f(2,p).
重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
【题型归纳】
题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）
1．（2020·全国高二）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为
2．（2023·全国高二（文））点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A．B．或
C． D．或
3．（2017·河南信阳·高二期末（理））抛物线的焦点坐标为
A．B．C．D．
题型二：抛物线的对称性
4．（2023·全国高二单元测试）以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点，已知，，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（2023·中国农业大学附属中学）若正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国高二课时练习）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
题型三：抛物线的弦长问题
7．（2023·全国高二课时练习）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）
A．14B．16C．18D．20
8．（2023·马鞍山市第二中学郑蒲港分校高二开学考试（文））过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北运河·沧州市一中高二开学考试）已知直线与抛物线：相交于，两点，为抛物线的焦点．若，则等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
题型四：抛物线的焦点弦性质问题
10．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·江苏高二课前预习）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，若直线的斜率为1，则弦的长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
12．（2023·四川自贡·高二期末（文））已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于、两点，、两点分别为、两点在直线上的射影，而且，为线段的中点.则下列命题（ ）
①②等腰直角三角形
③直线的斜率为
④的面积为4（为坐标原点），其中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型五：抛物线的应用
13．（2020·广东普宁·高二期中）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽．当水位上升后，水面宽是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·山东临沂·高二期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
15．（2019·广东深圳·）如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶高于水面，水面宽为，当水面宽为时，水位下降了（ ）
A．B．C．D．
题型六：直线与抛物线的位置关系
16．（2023·贵州师大附中高二月考（理））已知抛物线：，过其焦点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，若线段中点的纵坐标为1，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·全国高二课时练习）直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（ ）
A．B．，
C．，D．或
18．（2023·全国高二课时练习）已知点，在抛物线上，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
题型七：抛物线的定值、定点、定直线问题
19．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线交于，两点，且．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）在轴上是否存在一点，使为正三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2023·全国高二课时练习） 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.
（1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；
（2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.
21．（2023·重庆市第六十六中学校高二月考）已知动圆过定点，且与直线相切，
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过点作曲线的两条弦，设、所在直线的斜率分别为、，当、变化且满足时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【双基达标】
一、单选题
22．（2023·全国高二课时练习）直线交抛物线于、两点，为抛物线的顶点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）
A．16B．20C．24D．32
24．（2022·全国高三专题练习）如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
25．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．D．
26．（2022·全国高三专题练习（理））已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．16B．14C．12D．10
27．（2023·榆林市第十中学）已知直线垂直于抛物线的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，则p=（ ）
A．B．
C．D．
28．（2023·河南高三模拟预测）抛物线：的焦点为，过点且平行于轴的直线与线段的中垂线交于点，若点在抛物线上，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
29．（2023·河北）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·全国高三专题练习（理））直线与抛物线：交于，两点，若，则，两点到抛物线的准线的距离之和为（ ）
A．1B．2C．3D．4
31．（2023·内江市教育科学研究所高二期末（文））已知直线与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则的值为（ ）
A．4B．2C．1D．
【高分突破】
一：单选题
32．（2023·全国高二课前预习）已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2＝－12yB．x2＝12yC．y2＝12xD．y2＝－12x
33．（2023·全国高二课时练习）已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．0
34．（2023·内蒙古赤峰·高二期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，线段的延长线交抛物线的准线于点.若.则（ ）
A．B．C．D．
35．（2022·浙江高三专题练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·陕西汉中·高二期末（文））已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
37．（2022·全国高三专题练习（理）（文））已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
38．（2023·全国高三专题练习（文））已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，，过两点分别作抛物线的切线，交于点.下列说法不正确的是（ ）
A．B．(为坐标原点)的面积为
C．D．若是抛物线上一动点，则的最小值为
二、多选题
39．（2022·江苏高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A．B．
C．D．的坐标为
40．（2023·河北迁安·高二期末）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
41．（2023·历下·山东师范大学附中高三开学考试）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，M为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相交B．以线段为直径的圆与y轴相切
C．当时，D．的最小值为4
42．（2023·双峰县第一中学高三开学考试）抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点Q（－2，0），过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（ ）
A．p＝2
B．
C．直线AQ与BQ的斜率之和为0
D．准线l上存在点M，若△MAB为等边三角形，可得直线AB的斜率为
43．（2023·江苏省溧水高级中学高二月考）抛物线的焦点为，动直线与抛物线交于两点且，直线分别与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．
C．D．若于点，则点的轨迹是圆
三、填空题
44．（2022·全国高三专题练习）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
45．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知点为抛物线上一动点，点为圆：上的动点，记动点到轴距离为，则的最小值为______．
46．（2023·东城·北京二中高二月考）在直角坐标系中，点为抛物线上一点，点为该抛物线的焦点，若，则的面积为___________.
47．（2023·全国高二课时练习）抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为___________米.
48．（2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
四、解答题
49．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点. 求的取值范围．
50．（2023·贵州贵阳一中高三月考（理））在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离比到x轴的距离大1.
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点作斜率为的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且.证明：直线恒过定点.
51．（2023·云南玉溪·高三月考（理））已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，，且（为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于，．求四边形面积的最小值．
52．（2023·深圳市第七高级中学高三月考）抛物线：的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，弦的最小值为2.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）设点Q是直线上的任意一点，过点的直线l与抛物线E交于A，B两点，记直线AQ，BQ，PQ的斜率分别为，，，证明：为定值.
53．（2023·江苏鼓楼·金陵中学高三月考）已知在平面直角坐标系中，点，设动点到轴的距离为，且，记动点的轨迹为曲线.
求曲线的方程：
设动直线与交于，两点，为上不同于，的点，若直线，分别与轴相交于，两点，且，证明：动直线恒过定点.
54．（2023·山西运城·高三）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知直线与抛物线交于，两点，在抛物线上是否存在点，使得直线，分别于轴交于，两点，且，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p
【答案详解】
1．A
【详解】
由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
2．D
【详解】
将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D
3．B
【详解】
将化为，则抛物线的焦点坐标为.故选B.
4．B
解：不妨设抛物线的方程为，令点在第一象限，点在第二象限．
根据抛物线的对称性，得点的纵坐标为，代入抛物线的方程得，即点．
又点．因为点，都在以坐标原点为圆心的圆上，所以，解得或（舍去），
则抛物线的焦点到准线的距离为4．
故选：B．
5．A
【详解】
设三角形其中一个顶点为，
因为三角形是正三角形，
所以，即，
解得，
所以三角形的两个顶点为，
所以三角形的面积为，
故选：A
6．C
【详解】
如图，
∵，知两点关于轴对称，
设，
∴，解得，
∴，∴，
∴，∴.
故选：C
7．D
设，，弦的中点为，，
则，
所以，所以，
则，
所以弦的垂直平分线为．
令，则，所以．
又，
所以．
故选：D．
8．D
【详解】
由题设，令为，联立抛物线方程并整理得，
∴若，则，，又易得，
∴，则，即，
∴，
又，而，
∴，即，又，则，故.
故选：D
9．C
【详解】
，又，
，
，
直线方程为，代入抛物线方程，得：
，
，
，
故选：C.
10．A
【详解】
设，，，
抛物线的方程为，，
由可得，
所以
所以，，
所以，，，，
所以，， ，，
所以，
因为，所以，所以，
所以抛物线的方程为．
故选：A.
11．D
解：依题意得，抛物线的方程是，直线的方程是．联立
消去，得，即．设，，则，所以．
故选：D．
12．B
【详解】
根据题意可得焦点F(1,0),准线方程为x=-1,由题意可得直线BA的斜率不为0,
可设直线AB的方程为x=my+1设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知,将直线AB与抛物线方程联立得y2-4my-4=0所以.
对于①：所以FC⊥FD,即∠CFD=90°,故①正确;
对于②:由①可得,不可能CM⊥DM,更不会∠C或∠D为直角,故B不正确;
对于③:因为,所以,即，
因为所以解得,所以，
所以直线的斜率为.故③正确；
对于④:由題意可得，
点O到直线AB的距离，
所以，故④错误.
故选:B
13．C
解：建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为，
由题意知：在抛物线上，
即，
解得：，
，
当水位上升后，
即将代入，
即，
解得：，
∴水面宽为.
故选：C.
14．B
【详解】
如下图所示：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，所以，所以或，所以，所以，所以，
又因为，，，
所以的周长为：，
故选：B.
15．D
【详解】
建系如图，设拱桥所在抛物线为，点在抛物线上，得，
抛物线方程为，
当水面宽为时，设拱顶高于水面，由点在抛物线上，得，
故水面下降了.
故选：D.
16．B
【详解】
抛物线的焦点坐标为，
所以直线AB为，将其代入抛物线方程可得，
设，则，
因为线段中点的纵坐标为1，
所以，
所以准线方程为，
故选：B
17．D
【详解】
当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；
当时，由可得：，
若直线与抛物线有且只有一个公共点，
则，整理可得：，所以，
综上所述：或，
故选：D.
18．C
【详解】
如图所示，为的垂心，为焦点，
，垂直平分线段，直线垂直于轴．
设，，其中．
为垂心，，，
即，解得，
直线的方程为，即．
故选：C．
19．
【详解】
（1）由题意，设所求抛物线的标准方程为．
由，消去，得．
设，，则，．
由，
得，解得或（舍去），
∴抛物线的标准方程为．
（2）设的中点为点，则．
假设在轴上存在满足条件的点，连接．
∵为正三角形，
∴，即，
解得，∴，
∴．
又，
∴在轴上不存在一点，使为正三角形．
20．
（1）证明：由题意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，
不妨取M(5,)，N(5,－)，则，
∴，
∴AM⊥AN，即△AMN为直角三角形，得证．
（2）由题意，四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，
设直线l：y＝2(x－m)，，联立，得y2－2y－4m＝0，
由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，
∵AM⊥AN，则，又，
∴，化简得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，
∴，解得m＝6，故m＝6时，有AM⊥AN.
21．
（1）∵动圆过定点，且与直线相切，
∴曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为：.
（2）∵直线与抛物线有两个不同的交点
∴直线的斜率必不为0.
∴设其方程为，并设点，点，与抛物线联立得：.
∴整理得：，其中，，且
∵
.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴或.
当时，直线的方程可化为：，过定点；
当时，直线的方程可化为：，过定点，即点不合题意，舍去.
∴直线必过定点.
22．A
【详解】
设点、，联立，可得，
，可得，由韦达定理可得，由题意可知，
因为，则，解得.
故选：A.
23．C
解：抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：
由题意可知，则，联立
整理得：
设，，则，
设，，同理可得：
由抛物线的性质可得：，
∴，
当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24.
故选：C
24．B
【详解】
如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得
所以抛物线的方程为．
故选：B
25．B
解：抛物线的准线方程为．
方程可化为．
由题意，知圆心到准线的距离，解得，
所以抛物线的方程为，焦点为．
设，则，，
所以，解得，
所以点的坐标为或．
故选B．
26．A
【详解】
由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，
由题意有，设，，，，此时直线方程为，
取方程，得，
∴，同理得
由抛物线定义可知，
当且仅当（或）时，取得等号；
故选：A
27．A
如图，因为过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，
所以可设，作于．
因为，则．由，易得，
所以，，即知，
因为点在上．
所以，解得．
故选：A
28．A
【详解】
若点在抛物线外部，如下图，设线段的中点为，
因为线段的中垂线是，所以，
由抛物线定义，又等于点到准线的距离，而图中，
所以点不在抛物线外部；
若点在抛物线内部，如下图，
设线段的中点为，，，
因为线段的中垂线是，所以，
再由抛物线定义得，解得或，
所以时，，
时，，
故选：A.
29．B
【详解】
焦点，设直线为，代入抛物线方程得.
设，由韦达定理得：①.
由，即，有②
∴由①②得：或，即，
，化简得，
或（舍）.
故选：B.
30．C
【详解】
联立，整理得：，解得：
即直线与抛物线交于，两点，且
由，得，解得：或（舍）
所以抛物线方程为，准线方程为
故，两点到抛物线的准线的距离之和为，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解题的关键是熟悉抛物线的性质.
31．B
【详解】
解：设，联立得：，解得：，因为为的中点，所以，
又因为，所以有，即，点在抛物线上，代入可得，解得：.
故选：B.
32．A
33．B
【详解】
因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，
因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，
所以当x=0时，z最小，最小值为3.
故选：B.
34．B
【详解】
过点A，B分别作直线AM，BN垂直于准线l，垂足分别为M，N，如图：
因直线AB过抛物线的焦点F，于是有，
显然有∽，于是得，
即，，，
所以.
故选：B
35．A
【详解】
抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，∴，四边形的面积，
故选：A．
36．D
【详解】
由题知，抛物线方程为，设的直线方程为，代入抛物线方程，得，
设，，则，.
因为所以或故，即的斜率为.
故选：D
37．A
【详解】
设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
38．C
【详解】
由已知的焦点为，所以直线的方程为，
设，
直线方程与抛物线方程联立，整理得，
所以，，
由，得，代入得
，，
所以，开方可得或，
可得在，因为，所以，
在，因为，所以，
所以，，故A正确；
由，
得，故B正确；
因为，
所以
，故C错误；
由得，所以在抛物线内部，抛物线的准线方程为，
如图
过作与，交抛物线与点，所以，所以，
当在一条直线上时最小，此时，
故D正确.
故选：C.
39．AC
【详解】
由题可知,由，，
所以，.
故选：AC．
40．BCD
【详解】
对于A，抛物线，即，易知点的坐标为，故A错误；
对于B，显然直线斜率存在，设直线的方程为，联立，整理得，，故B正确；
对于C，若，则过点，则，当时，，即抛物线通经的长，故C正确，
对于D，抛物线的焦点为，准线方程为，过点，，分别作准线的垂直线，，，垂足分别为，，，所以，，所以，所以线段，所以线段的中点到轴的距离为，故D正确．
故选：BCD．
41．ACD
解：的焦点，准线方程为，
设，，在准线上的射影为，，，
由，，，
可得线段为直径的圆与准线相切，与直线相交，故A对；
当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切；
当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，
设，，，，
可得，，设，，
可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，
当时，的中点的横坐标为，，显然以线段为直径的圆与轴相交，故B错；
以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，
设，，，，可得，，
可得，又，可得，，则，故C正确；
显然当直线垂直于轴，可得取得最小值4，故D正确．
故选：ACD．
42．BCD
【详解】
对A，由准线l交x轴于点Q（－2，0），
所以，，故A错误，
对B，抛物线过焦点的弦通径最短，即垂直于轴时，
令，可得，，
所以，故B正确；
对C，设直线m的方程为，
代入抛物线方程可得：，
设，则有：，
所以
，故C正确；
对D，若△MAB为等边三角形，设A，B中点为，
则，，
设，所以，所以，则，
则点到直线m的距离，
而，
由可得，
解得，所以,
此时AB的斜率为，故D正确.
故选：BCD
43．ABD
【详解】
由题意，，若，，则，，
∵，即，又联立直线与抛物线有，
∴，，则，
∴，而，即，故过定点，A正确；
若，，，，
由：，可得，则；
由：，可得，则；
∴，而且，故，B正确；
，，
∴，C错误；
∵在直线上，又过定点且，
∴，故在以为直径的圆上，D正确；
故选：ABD
44．
解：由题意得：抛物线交点，直线l的倾斜角为60°
，直线l的方程为，即
代入抛物线方程，得
解得（舍去）
所以，于是可得
故答案为：
45．
如图，连接交圆于M点，交抛物线于 N点，
由抛物线方程，知其焦点坐标为，准线方程为，根据抛物线的定义可知：
当三点共线时 最小，又点 M在圆上
四点共线时，最小，如图所示
此时的最小值为：，
故答案为：.
46．
【详解】
抛物线的焦点，
因点为抛物线上一点，且，由抛物线对称性，不妨令点A在第一象限，则直线AF倾斜角为，如图，
直线AF方程为：，
由消去x得：，解得，，于是得点A的纵坐标为，
从而有，
所以的面积为.
故答案为：
47．
根据题意，建立如图所示的坐标系，可设抛物线的标准方程为，
因为顶点距水面2米时，水面宽8米，所以，
代入方程得，所以，
当水面上升1米后，即，
代入方程得
所以水面的宽是米
故答案为:
48．8
由题意知，抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，
∴K(－2,0)，设A(x0,y0)(y0＞0)，
∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2,y0)，
∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，又|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
∴x0＝2，y0＝4，即A(2,4)，
∴△AFK的面积为.
故答案为：8
49．（1）y2＝4x；（2）．
解：（1）直线l的方程为，联立，消去y整理得.
设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为，则，故直线l被抛物线E截得的线段长为，得p＝2，
∴抛物线E的方程为y2＝4x.
（2）由（1）知，F(1，0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是
令，得.
又∵，∴恒成立．
设
则，.
∵，∴∈．
∴的取值范围是．
50．
（1）解：由题意可知：，化简可得曲线.
（2）证明：由题意可知，是曲线上的点，
设，
则，
联立直线的方程与抛物线C的方程，
，
解得①，同理可得②，
而③，又④，
由①②③④整理可得，
故直线恒过定点.
51．（1）；（2）64.
（1）设直线为代入整理得
设
所以
又所以
由得
综上：所求抛物线的方程为
（2）由（1）得
因为所以
令，有
故当时，
四边形面积有最小值
52．
（1）对于，过焦点的弦最短时，弦垂直于轴，
此时M，N两点的横坐标均为，
代入可求得纵坐标分别为，则此时，所以，
即抛物线方程为.
（2）证明：设，，，
因为直线l的斜率显然不为0，故可设直线l的方程为，
联立方程，消去得.
所以
且
又
所以（定值）.
53．
解：，且动点的纵坐标非负，
动点到点的距离与到直线的距离相等，
动点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，
曲线的方程为.
由点在上，则，，
由抛物线的方程，可设，，
显然直线的斜率存在，且斜率为，
直线的方程为，
，即，
同理可得，，
，
，即，①
显然直线的斜率存在，且斜率为，
直线的方程为，②
将①式代入②式，整理得，③
则无论为何值，恒为方程③的解，
点恒在直线上，即动直线恒过定点.
54．
解：（1）设抛物线的方程为：由题：，
抛物线的方程：
（2）设，联立：得
由，
，
假设在抛物线上存在点，使得
，且
又
存在点使得.