苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数练习题

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数练习题，共31页。试卷主要包含了2 二倍角的三角函数等内容，欢迎下载使用。

10.2 二倍角的三角函数
【考点梳理】
考点：二倍角的正弦、余弦、正切公式
【题型归纳】
题型一：二倍角的正弦公式
1．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，且角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河北沧州·高一开学考试）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东光明·高一期末）角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型二：二倍角的余弦公式
4．（2022·福建龙岩·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·湖北省武昌实验中学高一期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高一）设为锐角，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型三：二倍角的正切公式
7．（2023·江苏省外国语学校高一期中）中，，，则（ ）
A．B．C．D．-11
8．（2023·北京丰台·高一期中）下列各数，，，中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·山西·应县一中高一期末）若，则（ ）
A．B．2C．D．
题型四：二倍角公式的综合应用
10．（2023·江苏·高一课时练习）已知，，，且.
（1）求的值；（2）求的值.
11．（2023·江苏·启东中学高一）计算求值：
（1）（2）
12．（2023·江西·横峰中学高一期中（理））已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【双基达标】
一、单选题
13．（2022·河南许昌·高一期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·贵州威宁·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·山西孝义·高一开学考试）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2022·江苏省天一中学高一期末）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·福建泉州·高一期末）将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的分割被称为黄金分割，黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域．黄金分制的比值为无理数，该值恰好等于，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·河南·信阳高中高一期末（理））已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·河南·高一阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．可以改写成
C．在区间上单调递减
D．的图象关于直线对称
【高分突破】
一：单选题
20．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期末）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·福建·厦门一中高一阶段练习）黄金三角形是一个顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰长之比是黄金分割比.例如，国旗上的正五角星就是由5个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示：在黄金三角形ABC中，，根据这个信息，可求得的值为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·全国·高一课前预习）计算：（ ）
A．B．
C．D．
23．（2022·湖南·长郡中学高一期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC，弧BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆与线段AB及两个圆弧均相切，则tan∠AOB的值是（ ）
A．B．C．D．
25．（2023·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
26．（2023·全国·高一专题练习）已知.则（ ）
A．B．C．D．
27．（2023·全国·高一专题练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
28．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2022·广东光明·高一期末）下列各式的值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
30．（2022·安徽巢湖·高一期末）下列计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
31．（2022·湖南张家界·高一期末）若下列各式左右两边均有意义，则其中恒成立的有（ ）
A．B．
C．D．
32．（2022·山西大同·高一期末）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若为第一象限角，则
33．（2023·江苏如东·高一期中）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
34．（2022·河北沧州·高一期末）已知，且，则______.
35．（2022·安徽·六安一中高一期末）已知，则_________．
36．（2022·北京通州·高一期末）化简_____．
37．（2023·全国·高一课时练习）________．
四、解答题
38．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）已知.
(1)，求和的值；
(2)若，求的值.
39．（2022·湖南·高一课时练习）利用二倍角公式求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；(4)．
40．（2022·贵州威宁·高一期末）已知，．
(1)化简；
(2)若，求的值．
41．（2022·湖南·高一课时练习）已知为锐角且.
(1)求的值；
(2)求的值．
42．（2022·湖南·高一课时练习）化简：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)
【答案详解】
1．D
【详解】
由题意，角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，且角的终边上一点，
所以，，
所以．
故选：D．
2．C
【解析】
【分析】
根据的范围可知，结合两角和的余弦公式、二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系化简计算即可.
【详解】
因为，所以，
即，又，则
，
故选：C.
3．C
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出，利用诱导公式和二倍角的正弦公式将原式化简计算即可.
【详解】
由题意可得，
所以
.
故选：C
4．B
【解析】
【分析】
根据，结合诱导公式和余弦的倍角公式，代值计算即可.
【详解】
因为，
又，故.
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
根据给定条件利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】
因，
则.
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
根据为锐角，，得到，再利用二倍角公式得到，，然后再由求解.
【详解】
解：为锐角，，
，
，．
故，
，
，
故选：．
7．C
【解析】
【分析】
由已知求得，再由两角和的正切求，再由二倍角的正切求解．
【详解】
在中，∵，∴，
则，又，
∴，
∴．
故选：C
8．D
【解析】
【分析】
由两角和正弦公式，二倍角公式一、诱导公式等化简函数值，然后由三角函数性质判断．
【详解】
观察发现，而，，，
故选：D．
9．C
【解析】
利用正切函数的两角和与差的恒等变换，结合二倍角公式求得结果.
【详解】
因为.
故选：C．
10．（1）.（2）
【解析】
（1）由已知根据同角三角函数的基本关系可求得,根据代入即可求得求得结果.
（2）由(1)利用二倍角公式,可求得,进而可得的值,根据角的范围,即可确定结果.
【详解】
（1）∵，且
∴∴
又∵
∴
（2）∴∴或
∵∴
又∵∴
∵，且∴
又∵∴∴
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,两角和与差的三角函数,考查已知三角函数值求角,属于基础题.
11．（1）1；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先通过切化弦进行化简整理，利用两角和的正弦公式的逆应用，再结合二倍角公式和诱导公式化简即得结果；
（2）先拆分，结合两角和的正弦公式和余弦公式化简整理成，再拆分，结合两角差的正弦公式和余弦公式化简即得结果.
【详解】
解：（1）；
（2）.
12．（1）增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
（1）结合三角恒等变化化简得，根据三角函数性质求出其单调区间；
（2）根据（1）求出当时，进而，原不等式等价于，看成关于的一次函数，其端点函数值大于等于0，得，化简即可.
【详解】
解：（1）
令，
得
令，
得
故函数的增区间为，减区间为；
（2）当时，，
可得，由，
不等式可化为
，
有.
令，
则
若不等式恒成立，
则等价于，解得：
故实数m的取值范围为.
【点睛】
求三角函数单调区间的2种方法:
（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；
（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.
13．A
【解析】
【分析】
根据题意将条件变形为，然后弦化切即可求得答案.
【详解】
由题意，.
故选：A.
14．C
【解析】
【分析】
利用二倍角余弦公式求，再由结合诱导公式求目标函数的值.
【详解】
由，又，
所以.
故选：C．
15．B
【详解】
选项A ，，A错误；
选项B ，，B正确；
选项C ，，C错误；
选项D ，，D错误.
故选: B
16．C
【解析】
【分析】
利用三角变换化简，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项.
【详解】
，
，
，
因为，故.
故，
故选：C.
17．C
【解析】
【分析】
根据余弦二倍角公式即可计算求值.
【详解】
∵＝，∴，
∴.
故选：C.
18．A
【解析】
【分析】
根据题意求得，再结合正切的倍角公式，求得的值，即可求解.
【详解】
由，可得，解得，
又由，所以.
故选：A.
19．D
【解析】
【分析】
由诱导公式、二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后由余弦函数的性质判断各选项．
【详解】
．
对于选项A，最小正周期，即选项A不正确．
对于选项B，易知，而选项B中函数值可能大于0，函数不一致；
对于选项C，令，则，时，函数取得最大值，即选项C不正确；
对于选项D，由为最大值，故选项D正确，
故选：D．
20．D
【解析】
【分析】
先利用诱导公式对要求解的式子进行化简，然后结合已知条件，求解出的值，继而求解出，带入化简后的式子即可完成求解.
【详解】
由已知，
因为角的终边与单位圆交于点，所以，
所以，
故选：D.
21．C
【解析】
【分析】
由已知求得，可得的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解．
【详解】
由图可知，且，
所以.
故选：C.
22．D
【解析】
【分析】
根据正切的二倍角公式即可化简求解.
【详解】
原式.
故选：D.
23．C
【解析】
【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
解：因为，所以将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
24．A
【解析】
【分析】
根据题意，结合勾股定理，以及正切的二倍角公式，即可求解.
【详解】
如图所示，过点作，交于点，
设，圆的半径为，由题意知，，，
因为，得，解得，
因此，
故.
故选：A.
25．D
【解析】
【分析】
利用二倍角公式化简，再结合的范围确定和的符号即可求解.
【详解】
由二倍角公式可知，，，
从而，
又因为，所以，，
从而.
故选：D.
26．D
【解析】
【分析】
根据，利用平方关系和二倍角的余弦公式得到，然后由求解.
【详解】
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
.
故选：D.
27．A
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换化简已知条件，求得，由此求得，进而求得.
【详解】
，
∵，∴，∴，∴，，
且，∴，，∴.
故选：A
28．BD
【解析】
【分析】
根据同角的三角函数关系式、诱导公式，结合二倍角公式进行逐一判断即可.
【详解】
由，所以.
A：因为，所以，本选项结论不正确；
B：因为，，所以，本选项结论正确；
C：因为，所以本选项结论不正确；
D：因为，所以本选项结论正确，
故选：BD
29．BC
【解析】
【分析】
根据两角和的正切公式、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，结合指数和对数的运算性质逐一判断即可.
【详解】
错误；
对；
对；，D错误.
故选：BC.
30．BD
【解析】
【分析】
根据三角函数恒等变换公式逐个分析计算即可
【详解】
对于A，，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，
所以C错误，
对于D，，所以D正确，
故选：BD
31．ACD
【解析】
【分析】
根据三角函数恒等变换公式逐个选项加以判断.
【详解】
，A对，
，B错，
，C对，
，D对，
故选：ACD.
32．ABD
【解析】
【分析】
直接通过“切化弦”的思想即可判断AB；通过对分式齐次式化简可判断C；通过二倍角余弦公式化简可判断D.
【详解】
对于A，，故A正确；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，因为为第一象限角，所以，
所以，故D正确；
故选：ABD.
33．ABC
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换求出各选项中代数的值，由此可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，；
对于D选项，
.
故选：ABC.
34．##
【解析】
【分析】
化简已知条件，求得，通过两边平方的方法求得，进而求得.
【详解】
依题意，
①，
，，
化简得①，则，
由，得，，
.
故答案为：
35．
【解析】
【分析】
先利用诱导公式求出，再利用余弦的二倍角公式求解即可
【详解】
由，得，
，
所以，
所以
，
故答案为：
36．-2
【解析】
【分析】
利用余弦的二倍角公式和正切的商数关系可得答案.
【详解】
.
故答案为：.
37．
【解析】
【分析】
利用二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及诱导公式化简可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
38．(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据同角三角函数基本关系式，以及二倍角公式，即可求解；
（2）根据角的变换，再结合两角和的余弦公式，即可求解.
(1)
，，
，得，
；
(2)
，，
，，

.
39．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角的正弦公式直接求得；
（2）利用二倍角的余弦公式直接求得；
（3）利用二倍角的余弦公式直接求得；
（4）利用二倍角的正切公式直接求得.
(1)
.
(2)
.
(3)
(4)
40．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简.
（2）利用已知条件求得，由此求得，进而求得.
(1)
，
∵，，，
∴．
(2)
∵，∴，
由，可得，
∴，
∴．
41．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用两角和的正切公式展开得到方程，解得即可；
（2）利用两角和的正弦公式及二倍角公式化简原式为，再根据及同角三角函数的基本关系求出、，即可得解；
(1)
解：因为，所以，即，解得
(2)
解：
因为为锐角且，
所以.
由，得，
所以，，
可得，即原式.
42．(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【解析】
【分析】
（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；
（2）逆用正切二倍角公式，结合特殊角的正切值进行求解即可；
（3）运用切化弦法，结合辅助角公式、二倍角公式、诱导公式进行求解即可；
（4）运用平方差公式，结合同角的三角函数关系式、余弦的二倍角公式进行求解即可；
（5）运用切化弦法，结合正弦和余弦的二倍角公式进行求解即可；
（6）根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可.
(1)
(2)
；
(3)
(4)
；
(5)
(6)
.