数学必修 第二册12.3 复数的几何意义课后测评

这是一份数学必修 第二册12.3 复数的几何意义课后测评，共31页。
考点一 复数的几何意义
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
考点二 共轭复数
1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示：z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi.
【题型归纳】
题型一：复数的坐标表示
1．（2023·黑龙江·鸡西实验中学高一）复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应点的坐标（ ）
A．(3，-1)B．(-1，-3)C．(3，1)D．(2，-4)
2．（2023·安徽·六安一中高一阶段练习）在平面直角坐标系中，0（0，0），P（6，8），将向量按逆时针方向旋转后，得向量，则点Q的坐标是（ ）
A．（8，-6）B．（6，-8）C．（-8，6）D．（-6，8）
3．（2023·河北·元氏县第四中学高一期中）已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
题型二：判断复数所在的象限
4．（2023·福建·高一期中）若复数z满足（i是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（2022·全国·高一课时练习）当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2023·广东·深圳市龙岗区布吉中学高一期中）已知i是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
题型三：根据坐标反推复数表达式或参数范围
7．（2023·上海·高一课时练习）在复平面上，在正方形(为原点)中若对应的复数为，则对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·江苏扬州·高一期中）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·广东·大埔县虎山中学高一期中）已知i是虚数单位，复数m+1+（2﹣m）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）
C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
题型四：复数的几何意义综合问题
10．（2023·全国·高一课时练习）已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点之间的距离是（ ）
A．B．C．5D．25
11．（2022·全国·高一单元测试）欧拉公式(为自然底数，为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数在复平面内对应点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
12．（2023·江苏省梅村高级中学高一期中）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为（ ）
A．B．1C．D．2
【双基达标】
一、单选题
13．（2022·重庆市开州中学高一阶段练习）设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
14．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高一阶段练习）复数（表示虚数单位）在复平面内对应的点为（ ）
A．（－1，2）B．（1，－2）C．（1，2）D．（2，1）
15．（2022·河南·高一阶段练习）在复平面内，O是原点．向量对应的复数为，其中为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数的共轭复数为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2022·全国·高一课时练习）若复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
17．（2022·全国·高一）若，则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
18．（2022·全国·高一单元测试）已知复数（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
19．（2022·全国·高一）在复平面内，若复数z对应的点为（1，1），则（ ）
A．﹣1B．1C．2D．
20．（2022·全国·高一课时练习）若复数为纯虚数，则的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·全国·高一单元测试）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合.
22．（2022·湖南·高一课时练习）求实数取何值时，复数在复平面内对应的点；
(1)位于第二象限；
(2)位于第一或第三象限；
(3)在直线上．
【高分突破】
一：单选题
23．（2022·全国·高一）以下命题中，正确的是（ ）
A．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数
B．如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d
C．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应
D．复平面上，实轴上的点与实数一一对应
24．（2022·全国·高一单元测试）已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
25．（2022·全国·高一单元测试）下列命题正确的是（ ）
A．复数是关于的方程的一个根，则实数
B．设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，则与重合
C．若，则复数对应的点在复平面的虚轴上(包括原点)
D．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，若（是虚数单位，为复平面坐标原点，，），则
26．（2022·全国·高一专题练习）四边形是复平面内的平行四边形，已知三点对应的复数分别是，则向量所对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
27．（2023·江苏无锡·高一期中）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
28．（2023·安徽池州·高一期中）复数，，则（ ）
A．4B．5C．6D．9
29．（2023·湖北荆州·高一期中）复数为虚数单位在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
30．（2023·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）复数下列说法正确的是（ ）
A．z的模为B．z的虚部为
C．z的共轭复数为D．z的共轭复数表示的点在第四象限
31．（2022·全国·高一课时练习）已知：棣莫弗公式（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
32．（2022·全国·高一课时练习）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、多选题
33．（2022·福建·三明一中高一阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．复数的共轭复数是z
B．若复数满足，则
C．若复数满足，则
D．在复平面中，虚轴上的点对应的复数都是纯虚数
34．（2022·湖南·长郡中学高一阶段练习）已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足，下列结论正确的是（ ）
A．P0点的坐标为（2，1）
B．复数的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点P在一条直线上
D．P0与z对应的点P间的距离的最小值为
35．（2022·湖南师大附中高一）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数，则
B．若复数z满足，则复平面内z对应的点Z在一条直线上
C．若是纯虚数，则实数
D．复数的虚部为
36．（2022·全国·高一）是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）
A．已知复数满足，则
B．“”的充要条件是“”
C．若复数，则不可能是纯虚数
D．若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限
37．（2022·全国·高一专题练习）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
38．（2023·江苏连云港·高一期中）已知，下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
39．（2023·江苏·无锡市第六高级中学高一期中）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为B．（为的共轭复数）
C．的最大值为D．的最小值为
三、解答题
40．（2023·江苏·南京师大苏州实验学校高一期中）已知复数
(1)若为纯虚数，求实数的值；
(2)若在复平面内的对应点位于第四象限，求实数的取值范围及 的最小值.
41．（2022·全国·高一课时练习）已知z为复数，和均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数；
(2)若复数对应的点在第四象限，求m的取值范围．
42．（2022·全国·高一）设复数，当取何实数时：
(1)复数z为纯虚数；
(2)在复平面上表示z的点位于第三象限；
(3)表示z的点在直线上．
43．（2022·全国·高一课时练习）已知复数的共轭复数为.
（1）若，求：；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，求的取值范围.
44．（2023·广东茂名·高一期末）已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．
（1）若，求，；
（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．
45．（2022·全国·高一）己知z为复数，为实数，为纯虚数，其中i是虚数单位，为z的共轭复数.
（1）求；
（2）若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数a的取值范围.
【答案详解】
1．A
解：由题意得：
的共轭复数为，在复平面内对应的点的坐标是
故选：A
2．C
【详解】
对应的复数为，
向量按逆时针方向旋转后，得向量，对应的复数为，
所以.
故选：C
3．B
【详解】
由
即复数，
所以复数对应的点为位于第二象限.
故选：B
4．C
【详解】
解：由，得，所以，
复数的共轭复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
5．D
【详解】
∵，
∴，，
∴复数在复平面上对应的点位于第四象限．
故选：D.
6．D
【详解】
由，则，
∴对应的点所在的象限是第四象限.
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质及题干条件，可得，所以，即可得答案.
【详解】
因为正方形，且对应的复数为，
所以，
所以，则，
所以对应的复数为.
故选：C
8．A
【解析】
【分析】
由题意可得，从而可求出实数的取值范围
【详解】
解：因为复数在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故选：A
9．A
【解析】
【分析】
根据复数对应的点在第二象限,可得,然后解不等式组得到m的取值范围.
【详解】
解:因为复数m+1+(2﹣m)i在复平面内对应的点在第二象限,
所以,解得m＜﹣1.
所以实数m的取值范围为(﹣∞,﹣1).
故选:A.
【点睛】
本题考查了复数的几何意义和一元一次不等式组的解法,属基础题.
10．C
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.
【详解】
由于复数和对应的点分别为，，
因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为.
故选：C.
11．B
【解析】
【分析】
根据欧拉公式有，判断即可确定对应点所在象限.
【详解】
由题意知：，而，
∴，故对应点在第二象限.
故选：B
12．B
【解析】
【分析】
因为为纯虚数，化简可得，则，设，用两点距离公式求解的最小值即可．
【详解】
由，
因为复数（是虚数单位，）是纯虚数，所以得
所以，则
由于，故设且，
所以
故与之间的最小距离为1
故选：B．
13．B
【解析】
【分析】
先确定复平面内的坐标，再判断象限.
【详解】
复数在复平面内的坐标为，即在复平面内z对应的点位于第二象限.
故选：B
14．C
【解析】
【分析】
根据复数的乘除法运算求出复数z，结合复数的几何意义即可得出结果.
【详解】
因为，
所以在复平面内对应的点为（1，2），
故选:C
15．C
【解析】
【分析】
根据对称求得点的坐标，从而求出对应的复数
【详解】
由题意，得，，
所以向量对应的复数为
所以向量对应的复数的共轭复数为，
故选：C．
16．B
【解析】
【分析】
化简求得，由此判断出对应点所在象限.
【详解】
，
解得，故z在复平面内所对应的点位于第二象限．
故选：B
17．B
【解析】
【分析】
先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.
【详解】
因为，
所以，
故z对应的点位于复平面内第二象限．
故选：B．
18．A
【解析】
【分析】
利用复数运算求得，由此求得对应点所在象限.
【详解】
设，则，
所以且，所以，
所以，对应点为，在第一象限.
故选：A
19．B
【解析】
【分析】
首先由坐标确定复数z，并化简，最后求出模长
【详解】
由已知复数z对应的点为（1，1），则,
因此,所以
故选：B.
20．A
【解析】
【分析】
由复数的类型有且，求参数m，进而写出的共轭复数.
【详解】
由题意知：且，
∴，即，故的共轭复数是.
故选：A.
21．
【解析】
【分析】
由共轭复数定义可得，根据对应点的象限可以构造不等式组求得结果.
【详解】
由题意得：，
对应的点在第一象限，，解得：，
实数的取值集合为.
22．(1)或；
(2)或或；
(3)或.
【解析】
【分析】
（1）可得点的坐标为，然后可得，解出即可；
（2）可得或，解出即可；
（3）将点的坐标代入直线的方程求解即可.
(1)
复数在复平面内对应的点的坐标为
若点位于第二象限，则，解得或
(2)
若点位于第一或第三象限，则或
解得或或
(3)
若点在直线上，则
解得或
23．D
【解析】
【分析】
根据复数的定义和几何意义即可解答.
【详解】
A：，当时,不是纯虚数，故A错误；
B：如果a＋bi＝c＋di，当且仅当a、b、c、d∈R时，a＝c，b＝d，故B错误；
C：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C错误；
D：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D正确.
故选：D.
24．C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则化简复数，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线对称的点，得到复数，最后利用复数的乘法运算法则即可求得．
【详解】
因为，所以复数在复平面内对应的点为，
其关于直线对称的点为，所以，
所以，
故选：C．
25．C
【解析】
【分析】
结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A：复数是关于的方程的一个根，所以：，
，故A错误；
对于B：设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，
即这两个向量的模长相等，但是与不一定重合，故B错误；
对于C：若，设，故：，整理得：，故，故C正确；
对于D：已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
若，所以，
，
，
解得：，，故，故D错误．
故选：C．
26．D
【解析】
【分析】
结合中点坐标公式确定正确选项.
【详解】
依题意，
所以中点为，所以，
所以，对应复数为.
故选：D
27．C
【解析】
【分析】
由已知得， 由乘法运算可得答案.
【详解】
由已知可得，
则，
∴对应点的坐标为，
故选：C．
28．C
【解析】
【分析】
根据复数乘法运算求出，然后根据复数的模长公式即可求出结果.
【详解】
因为，，所以，，
则，
故选：C.
29．D
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均大于0，列不等式组求解即可.
【详解】
在复平面内对应的点在第一象限，
，解得.
∴实数a的取值范围是.
故选：D
30．A
【解析】
【分析】
由复数的除法运算可得，然后求出模长、共轭复数可判断选项.
【详解】
，
z的模为，故A正确；
z的虚部为，故B错误；
z的共轭复数为，故C错误；
z的共轭复数表示的点为在第一象限，故D错误.
故选：A.
31．B
【解析】
【分析】
由已知求得复数所对应点的坐标，结合三角函数的象限符号得答案．
【详解】
解：由，
所以，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，，
，
所以，，
复数在复平面内所对应的点位于第二象限．
故选：．
32．C
【解析】
【分析】
由棣莫弗公式对复数化简可得答案
【详解】
由己知得，
∴复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
33．AC
【解析】
【分析】
依据共轭复数定义判断选项A；举反例否定选项B；求得的关系判断选项C；依据复平面定义判断选项D.
【详解】
选项A：复数的共轭复数是z.判断正确；
选项B：令，则有，但.判断错误；
选项C：设复数，
则由，可得，则有.判断正确；
选项D：在复平面中，虚轴上的点（除原点外）对应的复数都是纯虚数.判断错误.
故选：AC
34．ACD
【解析】
【分析】
对于A，利用复数的几何意义即可得出在复平面内对应的点.
对于B，复数的共轭复数对应的点，即可判断.
对于C，设点，，由复数z满足，根据几何意义即可判断正误.
对于D，与对应的点P间的距离的最小值为点到直线的距离，代入即可判断.
【详解】
复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，因此A正确；
复数的共轭复数对应的点与点关于虛轴不对称，因此B不正确，
设点，，由复数z满足，
结合复数的几何意义，可知复数对应的点P到点与点的距离相等，
则复数对应的点P在线段的垂直平分线上，因此C正确；
与对应的点P间的距离的最小值为点到直线的距离，因此D正确.
故选：ACD.
35．AB
【解析】
【分析】
根据复数的运算直接计算可知A；由复数的模的公式化简可判断B；根据纯虚数的概念列方程直接求解可知C；由虚部概念可判断D.
【详解】
对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：设，代入，得，整理得，即点Z在直线上，故B正确；
对于C：是纯虚数，则，即，故C错误；
对于D：复数的虚部为，故D错误.
故选：AB.
36．ACD
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算及求模公式可判断A,举反例可判断B,根据纯虚数的概念可判断C，设，根据乘方运算可判断D.
【详解】
对于A，，
所以，A正确；
对于B，当时，满足，但是不满足，B不正确；
对于C, 若复数为纯虚数，则 ，无解，
所以不可能是纯虚数，C正确；
对D，设，或，
所以或，D正确
故选：ACD
37．BC
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.
【详解】
对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；
对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；
对于C，，最大值为，故C正确；
对于D，的共轭复数为，故D错误.
故选：BC.
38．ABD
【解析】
【分析】
设，结合共轭复数的概念、复数的模长公式以及复数的四则运算逐项分析即可求出结果.
【详解】
设，
所以，则，
由于，所以，因此，故A正确；
，则，
，因此，故B正确；
，，所以与不一定相等，故C错误；
，
，
所以，故D正确；
故选：ABD.
39．ABC
【解析】
【分析】
对 A，根据复数的表达式直接写出点的坐标进行判断即可；对B，根据复数的共轭复数的定义进行判断即可；对C，D，根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可.
【详解】
解：对A，复数为虚数单位在复平面内对应的点为，
点的坐标为，故A正确；
对 B，，
，故B正确；
对 C，D，设，在复平面内对应的点为，
设，
，
点到点的距离为1，
因此点是在以为圆心，1为半径的圆，
表示圆上的点到点距离，
因此，
，故C正确，D错误.
故选：ABC.
40．(1);
(2),.
【解析】
【分析】
（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．
（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．
(1)
为纯虚数，
且
(2)
在复平面内的对应点为
由题意：，．
即实数的取值范围是．
而，
当时，．
41．(1)；
(2)或
【解析】
【分析】
（1）设，得出和，根据题意即可求出；
（2）表示出，根据对应的点在第四象限可得不等关系求解.
(1)
设，则，
，
因为和均为实数，所以，解得，
所以，则；
(2)
，
因为对应的点在第四象限，所以，解得或.
42．(1)复数不可能为纯虚数
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由实部等于0，虚部不等于0可得；
（2）由实部小于0，虚部小于0可得；
（3）用实部代入，用虚部代入求解可得．
(1)
由为纯虚数，则该组条件无解，所以复数不可能为纯虚数；
(2)
由表示的点位于第三象限，则解得；
(3)
由表示的点在直线上，则，解得．
43．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)利用复数模、共轭复数的意义结合复数乘法运算计算即得；
(2)利用共轭复数的意义及复数相等建立关系，再结合复数的几何意义列式计算即得.
【详解】
(1)依题意，，，则，
于是得，
所以；
(2)由(1)及得：，即，则，
因为在复平面内对应的点在第四象限，于是得，解得，
所以的取值范围为.
44．（1），；（2）．
【解析】
【分析】
（1）向量，对应的复数分别为，.利用即可得出得出结果.
（2）， 对应的点在第二象限，计算可得，，
进而计算即可得出结果.
【详解】
解：（1）由题意可知，所以．
，所以．
又，
所以所以
所以，．
（2）由已知可得，，，所以，
又，所以，
解得或（舍），又对应的点在第二象限，所以，
可得，，，
可得．
45．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设由为实数可得，为纯虚数可得，可得解；
（2）化简可得，结合对应的点在第三象限，可得解.
【详解】
（1）设
为实数
又为纯虚数

；
（2）
因为在复平面对应的点在第三象限