湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期期末联合考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期期末联合考试数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，第二册至5.2
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案.
【详解】当时，位移为，
当时，位移为，
在这段时间里，该物体的平均速度为：．
故选：A.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线方程求斜率，进而可得倾斜角.
【详解】设l的倾斜角为，则，
由题可知l的斜率为，所以l的倾斜角为．
故选：D.
3. 在数列中，已知，，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】通过取倒数的方法，证得数列是等差数列，求得，进而求出，解决问题即可.
【详解】由，，取倒数得：，
则是以为首项，为公差的等差数列．
所以，所以；
由于，故．
故选：C
4. 在三棱锥中，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据空间向量的运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】连接，根据向量的运算法则，可得.
故选：B.
5. 过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得.
【详解】设，，则，
两式作差得，，
当时，则中点坐标为焦点，不满足题意；
当时，得．
设线段中点，因为坐标，且过焦点，
所以，
则的斜率，
解得．
故选：A.
6. 若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分线线平行和三线共点讨论即可.
【详解】若，则，解得．若，则，解得．
若，，交于一点，联立方程组，解得得，
代入，得，解得，故a的取值集合为．
故选：D.
7. 如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，构造正三角形周长满足的等比数列，结合等比数列前项和公式及指数不等式进行求解.
【详解】由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，为公比的等比数列.
设最小正三角形的边长为米，
则，则，即，得，
故最小的正三角形的边长为米.
故选：B
8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于A，B两点，若的面积是面积的3倍，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】设到直线AB的距离为，到直线AB的距离为，根据题意得到，列出方程求得，结合，即可求解.
【详解】依题意，双曲线C：的左、右焦点分别为，，
设到直线AB的距离为，到直线AB的距离为，
则，，
因为的面积是面积的3倍，所以，
即，解得或，
联立方程组，整理得，
则，解得，所以．
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将面积比转化为距离的比，从而得解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 的公差为1B. 的公差为2
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A，B；根据等差数列通项公式以及前n项和公式即可判断C，D.
【详解】设的公差为d，由，，得，
解得，故A正确，B错误；
，，C，D正确.
故选：ACD
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由导数的四则运算和复合函数的导数公式计算.
【详解】对A,若，则，A选项不正确；
对B,若，则，B选项正确；
对C,若，则，C选项正确．
对D,若，则，D选项正确．
故选：BCD
11. 在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得平面平面
C. 当时，直线与所成角的余弦值为
D. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A项，由等体积法即可判断，对于B项，运用空间向量坐标法计算两个平面法向量平行求解即可，对于C项，运用空间向量坐标公式计算异面直线所成角余弦值即可，对于D项，由列方程求解即可.
【详解】对于A项，
因为平面平面，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为定值，
又， 的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故A项正确；
建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，，
对于B项，，，，
设，则．
设平面的法向量为，
由，令，可得．
设平面的法向量为，
由，令，可得．
若平面平面，则，解得，故B项正确；
对于C项，建立如图1所示的空间直角坐标系，当时，．
设直线与所成的角为，则，
即直线与所成角的余弦值为，故C项错误；
对于D项，如下图，当为的中点时，．
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
则，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故D项正确．
故选：ABD.
12. 已知F是椭圆的右焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，M，N分别为，的中点，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，先画出图象，然后判断四边形为平行四边形，由可得，进而结合椭圆的定义与基本不等式可得有关的不等式，解不等式得到离心率的取值范围，从而逐项判断四个选项即可得到答案.
【详解】根据题意，图象如图所示：
设为椭圆C左焦点，因为直线与椭圆C交于A，B两点，
所以由椭圆的对称性得，又，
于是四边形为平行四边形.
因为M，N分别为，的中点，是中点，
所以，，
平行四边中,，
在中，
.
因为直线斜率存在，所以A，B两点不在y轴上，即，
又在中，，
所以，，即，
又，所以，即.
综上所述，；
因为，故A，C错误；
，即，故B正确；
，即，故D正确.
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点是点在坐标平面内的射影，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再利用向量模的坐标表示即得.
【详解】由点是点在坐标平面内的射影，得，即，
所以.
故答案：
14. 已知是函数的导函数，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合导数的定义运算求解.
【详解】由题意可得：．
故答案为：.
15. 若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用圆关于直线对称可知该直线过圆心，可得，再利用定点到圆上点距离的最值的求法即可求得结果.
【详解】由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心，
则，解得，
则该圆的方程转化为，该圆圆心为，半径为，
易知圆心与的距离为，
故点与该圆上任意一点的距离的最小值为．
故答案为：1
16. 在数列中，，，其中是自然对数的底数，令，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到，两式相加，结合等比数列的求和公式和对数的运算法则，即可求解.
【详解】由，得，
则，
则，故．
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列满足，且对于任意m，，都有．
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）取，得到，得到是4为公比的等比数列，求出通项公式；
（2）裂项相消得到，再进行求和即可.
【小问1详解】
取，则由，得．
因为，所以，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
故．
【小问2详解】
由（1）可知，
则，
故．
18. 已知四边形的三个顶点，，．
（1）求过A，B，C三点的圆的方程．
（2）设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：根据斜率分析可知，结合直角三角形的外接圆的性质分析求解；方法二：设圆的一般方程，代入A，B，C三点运算求解即可；
（2）利用向量关系求得.方法一：根据题意可知直线l过线段的中点，再利用直线的两点式方程运算求解；方法二：设l与相交于点，可知，利用向量关系求得点，再利用直线的两点式方程运算求解.
【小问1详解】
方法一：因为，，，
则，，
由，得，
则过A，B，C三点的圆的圆心为线段的中点，
半径，
所以过A，B，C三点的圆的方程为；
方法二：设过A，B，C三点的圆的方程为，
则，解得，
故过A，B，C三点的圆的方程为，即.
【小问2详解】
设，
由题意可得：，，
因为线段上靠近点A的三等分点为E，则，
则，解得，即．
方法一：直线l平分四边形的面积，可知直线l过线段的中点，
所以直线l的方程为，整理得；
方法二：设l与相交于点，则，
由直线l平分四边形的面积，可得，
则，解得，即，
所以直线l的方程为，整理得.
19. 已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线垂直．
（1）求a，b的值；
（2）求经过点且与曲线相切的切线方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义分析列式求解；
（2）设切点，切线斜率，求直线方程并代入点运算求解即可.
【小问1详解】
由，则，
因为的图象在点处的切线与直线垂直，
则，解得.
【小问2详解】
由（1）可设切线与曲线相切于点，
则切线斜率，
则切线的方程为，
将点代入方程整理得，解得或．
当时，切线方程为．
当时，切线方程为．
故经过点且与曲线相切的切线方程为或．
20. 如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且．
（1）求的长;
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合垂直关系，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，利用计算出的长度即可；
（2）利用向量法求出平面的法向量与平面的法向量，进而求出二面角的正弦值即可.
【小问1详解】
因为平面，，故以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系．
设，由，得，，，．
因为F是的中点，所以，则，．
又，所以，
解得，故．
【小问2详解】
由（1）可知，，则，，．
设平面的法向量为，
则，令，得．
设平面的法向量为，
则，令，得．
所以，
故二面角的正弦值为．
21. 已知是首项为1的等差数列，是公比为2的等比数列，且，．
（1）求和的通项公式；
（2）在中，对每个正整数k，在和之间插入k个，得到一个新数列，设是数列的前n项和，比较与20000的大小关系．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列的通项公式运算求解；
（2）根据题意分析可知，利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式以及错位相减法运算求解.
【小问1详解】
设数列的公差为d，
因为，则，解得，
所以，．
【小问2详解】
因为，
当时，，
可知，
且，
令的前n项和为，
则，
可得，
两式相减得，
即，可得，
所以．
22. 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
（1）求椭圆和双曲线的离心率；
（2）设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
【答案】（1）椭圆的离心率，双曲线的离心率
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解；
（2）由（1）可知，联立方程求点的坐标，结合斜率公式分析证明.
【小问1详解】
椭圆的焦距，双曲线的焦距，
则，整理得，
从而，，
故椭圆的离心率，双曲线的离心率．
【小问2详解】
由（1）可知，椭圆，
因为，所以直线的方程为．
联立方程组，整理得，
则，则，
可得，即，
因为，，，
则，，
故．
【点睛】方法点睛：与弦端点相关问题的解法