专题09 线段上动点问题压轴题的四种考法-七年级数学上册压轴题攻略（人教版）

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例．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；
(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意表示出和的长度，然后即可求出；
（2）根据题意表示出和的长度，再表示出和的长度，即可发现和之间的数量关系；
（3）分两种情况讨论：①点M在点B的左侧，②点M在点B的右侧．表示出和，即可发现，，三者之间的数量关系．
【详解】（1）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，
∴．
（2）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，
因为，所以，
因为，所以．
（3）如图①，
当点M在点B的左侧时，，
所以；
如图②，当点M在点B的右侧时，，
所以．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键．
【变式训练1】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________；
（2）在（1）的条件下，若，求t的值；
（3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）6；-3；（2）或13；（3）或，见解析
【分析】（1）由点A表示的数为，AO＝2OB可知，可求出OB，AB长，从而得出结论；
（2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝6+t，分别代入2OP﹣OQ＝9列式即可求出t的值；
（3））设线段的长为b，则 ，分两种情况去绝对值，求出t的值，即可解决问题．
【详解】（1）∵点A表示的数为，AO＝2OB，
∴AO＝12，OB＝6，
∴AB＝18，
∴线段中点表示的数为3．
故答案是：6；﹣3；
（2）当P､Q相遇时，（秒），
∴．当点P在上时，，
∵，
∴，，符合；
当点P在原点O右侧时，，
∵，，
，符合．
综上所述，若，t的值为或13.
（3）设线段的长为b，则．
∵点P在线段上运动，
∴．．
若，则，
∴，
∴，
解得．
∴，
又∵，
∴；
若，则，
∴，
∴，
解得．
∴．
∵．
∴．
综上所述，线段与线段之间的数量关系为或．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
【变式训练2】如图1，，是直线上的两个点，且．线段（在的左侧）可以在直线上左右移动．已知，点是的中点．
（1）如图2，当与重合时， ， ；
（2）在图2的基础上，将线段沿直线向左移动个单位长度得到图3．
①若，求和的长；
②若，则的值是 ．
（3）在图2的基础上，将线段沿直线向右移动个单位长度．请直接写出与之间的数量关系 ．
【答案】（1）5，2.5；（2）①=2，=1；②1；（3）AM=2BC．
【分析】（1）当与重合时，AM=MN-NA=5,由点是的中点．由，可得AC=BC=；
（2）①由线段沿直线向左移动个单位长度,可得BN=可求=MN-AN =2，由点是的中点．NC=AC=，可求；②由，解方程即可；
（3）又线段沿直线向由移动个单位长度,BN=，可得AN= 5-b，可求=MN-AN=5+b，由点是的中点．可求NC=AC=，可求=CN+BN=即可．
【详解】解：（1）当与重合时，AM=MN-NA=MN-BA=10-5=5，
∵点是的中点．
∴点是的中点，
∵，
∴AC=BC=，
故答案为：5，2.5；
（2）①∵线段沿直线向左移动个单位长度，
∵，
∴BN=，
∴AN=AB+BN=5+=8，
∴=MN-AN=MN-（AB+BN）=10-（5+3）=2，
∵点是的中点．
∴NC=AC=，
=CN-BN=4-3=1；
②∵，
，
即，
，
=1，
故答案为：１；
（3）∵线段沿直线向由移动个单位长度，
∴BN=，
∴AN=AB-BN=5-b，
∴=MN-AN= 10-（5-b）=5+b，
∵点是的中点．
∴NC=AC=，
∴=CN+BN=，
∴AM=2BC．
故答案为：AM=2BC．
【点睛】本题考查与线段有关的动点与动线问题，掌握线段的中点定义，会根据线段和差列方程，理解线段和差是解题关键．
类型二、定值问题
例．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且，
(1)填空： ， ；
(2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数；
(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．
【答案】(1)8，；(2)；(3)的值不会发生变化，详见解析
【分析】（1）根据非负数的性质，可得，即可求解；
（2）先求出，可得，即可求解；
（3）根据题意可得依题意得：，从而得到，，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，解得：；
故答案为：8，
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点 C 表示的数为；
（3）解：的值不会发生变化，
依题意得：，
∴，，
∴，
∴ 的值不会发生变化．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【变式训练1】如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)3.5
(2)t为2或时，点C为线段PQ的中点
(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析
【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长；
（2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可．
（3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断．
【详解】（1）解：当时，
∵
∴，
∴．
故答案为：3.5．
（2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，
∴．
∵
∴．
①当Q由C往B第一次运动时，即时，
此时，，
∴，
∵点C为线段PQ的中点，
∴，即，
解得：；
②当Q由B往C点第一次返回时，即时，
此时，，
∴，
解得：，不符合题意舍；
③当Q由C往B第二次运动时，即时，
此时，，
∴，
解得：；
综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点；
（3）根据（2）可知．
∵点M是线段CQ的中点，
∴．
①当Q由C往B第一次运动时，即时，
此时，．
∵，
∴，
∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意．
②当Q由B往C点第一次返回时，即时，
此时，，
∴，
∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；
③当Q由C往B第二次运动时，即时，
此时，，
∴，
∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意．
综上可知PM的长度为3cm或1cm．
【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
【变式训练2】如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．
（1）求线段，的长；
（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；
（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．
【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析
【分析】（1）利用两个非负数和为0，可得每个非负数为0，可求，即可；
（2）分类考虑当点在点的右侧和点在点的左侧时，利用中点可求AM，DN，利用线段和差求AD，可求MN=AD-AM-DN即可；
（3）利用PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC即可．
【详解】解：（1）由，，
，
得，，
所以，；
（2）当点在点的右侧时，如图，
因为点，分别为线段，的中点，，
所以，，
又因为，
所以，
当点在点的左侧时，如图，
因为点，分别为线段，的中点，
所以，，
所以
所以．
综上，线段的长为9；
（3）②正确，且．理由如下：
因为点与点重合，所以，
所以，所以，
所以．
【点睛】本题考查非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比问题，掌握非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比，关键是利用线段和差PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC．
【变式训练3】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；
（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；
②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，
∴m－12=0，n－4=0，
∴m=12，n=4；
故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点
∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN
=AC +CD+BD
=AC +CD+BD+CD
=(AC +CD+BD)+CD
=(AB +CD)
=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有：
解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点
∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0
∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t