2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口2　三项展开式或多个二项式特定项及系数问题

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口2　三项展开式或多个二项式特定项及系数问题，共4页。
求特定项或特定项的系数
例1 (1) (2023·嘉兴期末)(1－x)4(1＋2y)3的展开式中xy2的系数为__－48__．
【解析】 (1－x)4(1＋2y)3的展开式中xy2的系数是(1－x)4的展开式中x的系数与(1＋2y)3的展开式中y2的系数之积，即为Ceq \\al(1,4)×(－1)×Ceq \\al(2,3)×22＝－48．
(2) (2023·杭州一模)在(1＋x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x)))5的展开式中，常数项为__41__．
【解析】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x)))5的展开式通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))r＝Ceq \\al(r,5)(－2)rx－r，由－r＝0，得r＝0，由－r＝－2，得r＝2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x)))5的展开式中常数项为Ceq \\al(0,5)，含x－2的项为Ceq \\al(2,5)(－2)2x－2，所以(1＋x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x)))5的展开式中常数项为Ceq \\al(0,5)＋Ceq \\al(2,5)(－2)2＝41．
(3) 在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)－y))10的展开式中，x3y7的系数为__－120__．
【解析】 由二项式展开式的通项，可得Tk＋1＝Ceq \\al(k,10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))10－k(－y)k，故只有T8＝Ceq \\al(7,10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))3(－y)7包含x3y7．又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))3展开式的通项为Tm＋1＝Ceq \\al(m,3)x3－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))m＝Ceq \\al(m,3)x3－2m，故当m＝0时，x3y7的系数为(－1)7Ceq \\al(7,10)Ceq \\al(0,3)＝－120．
系数和
例2 (1) (多选)已知(x－1)(x＋2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则( AD )
A．a0＝－64B．a7＝－1
C．a1＋a2＋…＋a7＝0D．a1＋a3＋a5＋a7＝1
【解析】 由(x－1)(x＋2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝0，得a0＝－64，故A正确；由(x＋2)6的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)2rx6－r，得a7＝1，故B错误；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝0①，再由a0＝－64，得a1＋a2＋…＋a7＝64，故C错误；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝－2②，①－②再除以2得a1＋a3＋a5＋a7＝1，故D正确．
(2) 若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( D )
A．－80B．－40
C．40D．80
【解析】 令x＝1，得展开式的各项系数和为1＋a＝2，则a＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5＋eq \f(1,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5，展开式中常数项为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的常数项与含x的项的系数和．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r25－r·Ceq \\al(r,5)x5－2r，令5－2r＝1，得r＝2；令5－2r＝0，无整数解，故展开式中常数项为8Ceq \\al(2,5)＝80．
变式2 (1) (2023·芜湖三模)(多选)已知(x2＋x＋1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18，下列说法正确的有( AD )
A．a0＝1B．a2＝42
C．a2＋a4＋…＋a18＝eq \f(39＋1,2)D．a1＋2a2＋3a3＋…＋18a18＝311
【解析】 对于A，令x＝0，则a0＝1，故A正确；对于B，(x2＋x＋1)9展开式的通项为Ceq \\al(r,9)(x2)9－r(x＋1)r，(x＋1)r展开式的通项为Ceq \\al(k,r)xr－k，所以(x2＋x＋1)9展开式的通项为Ceq \\al(r,9)Ceq \\al(k,r)x18－r－k，令18－r－k＝2，则r＋k＝16，又r∈[0,9]，k∈[0，r]，r，k∈N，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝7，,r＝9))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝8，,r＝8，))所以a2＝Ceq \\al(9,9)Ceq \\al(7,9)＋Ceq \\al(8,9)Ceq \\al(8,8)＝36＋9＝45，故B错误；对于C，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a18＝39；令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a18＝1，两式作和得2(a0＋a2＋…＋a18)＝39＋1，所以a0＋a2＋a4＋…＋a18＝eq \f(39＋1,2)，又a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a18＝eq \f(39＋1,2)－1＝eq \f(39－1,2)，故C错误；对于D，因为[(x2＋x＋1)9]′＝9(x2＋x＋1)8(2x＋1)，(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18)′＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，所以9(x2＋x＋1)8(2x＋1)＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋…＋18a18＝9×38×3＝311，故D正确．
(2) 若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是( C )
A．－2B．－3
C．125D．－131
【解析】 令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得－2＝a0＋a1＋a2＋…＋a8，即a1＋a2＋…＋a8＝－3．又a8＝(－2)7Ceq \\al(7,7)＝－128，所以a1＋a2＋…＋a7＝－3－a8＝125．
求系数最值
例3 已知(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为第( D )
A．7项B．8项
C．9项D．10项
【解析】 (1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数和为Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＝1＋n＋eq \f(nn－1,2)＝79，整理可得n2＋n－156＝0．因为n≥2且n∈N*，解得n＝12．(1＋3x)12的展开式通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,12)·(3x)k＝Ceq \\al(k,12)·3kxk(k＝0,1,2，…，12)，设展开式中第r＋1项的系数最大，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C\\al(r,12)·3r≥C\\al(r＋1,12)·3r＋1，,C\\al(r,12)·3r≥C\\al(r－1,12)·3r－1，))即
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(12！,r！·12－r！)·3r≥\f(12！,r＋1！·11－r！)·3r＋1，,\f(12！,r！·12－r！)·3r≥\f(12！,r－1！·13－r！)·3r－1，))
解得eq \f(35,4)≤r≤eq \f(39,4)．因为r∈N，故r＝9，因此，展开式中系数最大的项为第10项．
变式3 已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为( C )
A．－448B．－1 024
C．－1 792D．－5 376
【解析】 因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝8，所以展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)(eq \r(x))8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))r＝(－2)rCeq \\al(r,8)xeq \f(8－3r,2)，r＝0,1，…，8，则该展开式中各项系数为ar＝(－2)rCeq \\al(r,8)，r＝0,1，…，8．当系数取最小值时，r为奇数且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ar－ar＋2≤0，,ar－ar－2≤0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2rC\\al(r,8)－－2r＋2C\\al(r＋2,8)≤0，,－2rC\\al(r,8)－－2r－2C\\al(r－2,8)≤0，))解得r＝5，所以系数的最小值为a5＝(－2)5Ceq \\al(5,8)＝－1 792．
1．求特定项的方法
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
2．赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n(cx＋d)m(a，b，c，d∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
3．二项式系数最大项的确定方法
(1) 若n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；
(2) 若n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等且最大．