2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口3　体育比赛与闯关问题

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口3　体育比赛与闯关问题，共5页。
例1 (2023·连云港期初)为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制(即有一方先胜3局即获胜，比赛结束)，假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为eq \f(2,3)，在项目B中甲班每一局获胜的概率为eq \f(1,2)，且每一局之间没有影响．
(1) 求甲班在项目A中获胜的概率；
【解答】 记事件A＝“甲班在项目A中获胜”，则P(A)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＋Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋Ceq \\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \f(2,3)＝eq \f(64,81)，所以甲班在项目A中获胜的概率为eq \f(64,81)．
(2) 设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
【解答】 记事件B＝“甲班在项目B中获胜”，则P(B)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＋Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＋Ceq \\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(1,2)．X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝P(eq \x\t(A) eq \x\t(B))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝eq \f(17,81)×eq \f(1,2)＝eq \f(17,162)，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(64,81)×eq \f(1,2)＝eq \f(32,81)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝eq \f(1,2)．所以X的分布列为
故E(X)＝0×eq \f(17,162)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(32,81)＝eq \f(209,162)．所以甲班获胜的项目个数的数学期望为eq \f(209,162)．
(1) 一旦某方获得n次胜利即终止比赛；若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到n胜，如：乒乓球、篮球、斯诺克比赛；
(2) 解法：①通法：分类加法、分步乘法计数原理；②看成n重伯努利试验，利用二项分布的公式求解：P(甲胜)＝Ceq \\al(n,2n－1)pn(1－p)n－1＋Ceq \\al(n＋1,2n－1)pn＋1(1－p)n－2＋…＋Ceq \\al(2n－1,2n－1)p2n－1．
比分差距制
例2 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟(WTT)支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方(胜方至少比对方多2分)，10平后，先多得2分的一方为胜方．甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为eq \f(3,5)，乙在一次发球中，得1分的概率为eq \f(1,2)．如果在一局比赛中，由乙队员先发球．
(1) 甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率；
【解答】 甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝Ceq \\al(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(6,25)．
(2) 求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望．
【解答】 设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0,1,2,3．P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(2,5)＝eq \f(1,10)，P(X＝1)＝Ceq \\al(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(2,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(3,5)＝eq \f(7,20)，P(X＝2)＝Ceq \\al(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(3,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(2,5)＝eq \f(2,5)，P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(3,5)＝eq \f(3,20)，所以随机变量X的分布列为
所以E(X)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(7,20)＋2×eq \f(2,5)＋3×eq \f(3,20)＝eq \f(8,5)．
(1) 规定某方比对方多m分即终止比赛；
(2) 根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m；
(3) 实际如：乒乓球和羽毛球的小局比赛．
积分制
例3 (2023·湖北联考)2022年11月21日，第22届世界杯在卡塔尔开幕．小组赛阶段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环比赛(每支球队均与另外三支球队进行一场比赛)；每场比赛胜者积3分，负者积0分；若出现平局，则比赛双方各积1分．若每场比赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为eq \f(1,4)，出现平局的概率为eq \f(1,2)．
(1) 求甲队在参加两场比赛后积分X的分布列与数学期望；
【解答】 甲队参加两场比赛后积分X的取值为0,1,2,3,4,6，则P(X＝0)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)，P(X＝1)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)，P(X＝2)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，P(X＝3)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,8)，P(X＝4)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)，P(X＝6)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)，所以随机变量X的分布列为
故E(X)＝0×eq \f(1,16)＋1×eq \f(1,4)＋2×eq \f(1,4)＋3×eq \f(1,8)＋4×eq \f(1,4)＋6×eq \f(1,16)＝eq \f(5,2)．
(2) 小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率．
【解答】 由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分，6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分，共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每支球队总积分为3分或者4分．若每支球队得3分，则6场比赛都出现平局，其概率为P1＝eq \f(1,26)；若每支球队得4分，则每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负，其概率为P2＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×6＝eq \f(6,45)．所以四支球队积分均相同的概率为P＝P1＋P2＝eq \f(1,26)＋eq \f(6,45)＝eq \f(11,512)．
规定比赛m场后各队按照积分排名决定比赛名次，此时要注意积分的规则．如：世界杯的小组赛．
淘汰制
例4 某电子竞技项目竞赛，采用“双败赛制”．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为eq \f(1,2)．最初分组时AB同组，CD同组．
(1) 若p＝eq \f(2,3)，在淘汰赛赛制下，A，C获得冠军的概率分别为多少？
【解答】 记A，C拿到冠军分别为事件M，N，淘汰赛赛制下，A只需要连赢两场即可拿到冠军，因此P(M)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9)．对于C想拿到冠军，首先得战胜D，然后战胜A，B中的胜者，因此P(N)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(7,36)．
(2) 分别计算两种赛制下A获得冠军的概率(用p表示)，并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
【解答】 记两种赛制下A获得冠军的概率分别为p1，p2，则在淘汰赛赛制下，p1＝p2．而在双败赛制下，A获得冠军有三种可能性：①直接连赢三局；②从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；③直接掉入败者组拿到冠军．因此p2＝p3＋p(1－p)p2＋(1－p)p3＝p3(3－2p)，p－p1＝p(1－p)＞0，p－p2＝p(p－1)2(2p＋1)＞0．则不论哪种赛制下，A获得冠军的概率均小于p，p2－p1＝p2(1－p)(2p－1)．若p＞eq \f(1,2)，则在双败赛制下，A队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小；若p＜eq \f(1,2)，则在双败赛制下，A队伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大．综上可知，在双败赛制下，会使得强者拿到冠军的概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．
在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰．此类问题要注意若达到第m阶段，则意味着前(m－1)个阶段均能通关．
X
0
1
2
P
eq \f(17,162)
eq \f(1,2)
eq \f(32,81)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,10)
eq \f(7,20)
eq \f(2,5)
eq \f(3,20)
X
0
1
2
3
4
6
P
eq \f(1,16)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,8)
eq \f(1,4)
eq \f(1,16)