2023-2024学年山东省青岛市崂山区育才中学九年级（上）期末数学试题

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1．已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A．3a＝5bB．5a＝3bC．a＝5bD．ab＝15
2．如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．小莉的影子比小玉的影子长 B．小莉的影子比小玉的影子短
C．小莉的影子和小玉的影子一样长D．无法判断谁的影子长
3．班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家想办法估计出袋中白球的个数．数学课代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入10个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球．如果设袋中有白球x个，
根据小明的方法用来估计袋中白球个数的方程是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．已知A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（ ）
A．b＜a＜cB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．c＜a＜b
5．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
7．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是（ ）cm．
A．210B．120C．504D．60
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；
③b2＜4ac；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）
9．已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+＝0，则α+β＝ ．
10．如图所示是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是6，则它的表面积是 ．
11．如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为 ．
12．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上，若正方形ADEF的面积为4，且BF＝AF，则k的值为 ．

14．如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE＝3，DF＝2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 ．
15．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②cs∠ABE＝；③当0＜t≤5时，y＝t2；④当t＝秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是 （填序号）．
三、作图题（本题满分4分）
16．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段c，直线l及l外一点A．
求作：矩形ABCD，使边BC在直线l上，对角线AC＝c．
四、解答题（本题共8道小题，满分71分）
17．计算：
（1）2x2﹣4x+＝0（配方法）；
（2）3（x﹣2）2＝x2﹣4（用适当方法）．
18．小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，若两次数字之差（大数减小数）等于2，小明胜；若两次数字之差（大数减小数）等于1，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．（列表或画树状图说明）
19．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
20．如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式及a的值．
（2）如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
21．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
角平分线分线段成比例定理：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E．
任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB＝11，AC＝15，直接写出线段FC的长．
22．拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．
（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）．
（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，B是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若AB＝AC，∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

24．公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过25.5米？
25．在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′，设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
（1）如图①，求点B、C、D的坐标．
（2）如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，
D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S．
（3）在（2）问的条件下，是否存在某一时刻t，使得矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S与△OAB的面积比为23：32？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
（4）当＜t＜4时，求S的最大值（直接写出结果即可）．
备用图 备用图
桌面所受压强P（Pa）
400
500
800
1000
1250
受力面积S（m2）
0.5
0.4
a
0.2
0.16