2024北京通州区高一上学期期末试题数学含解析

这是一份2024北京通州区高一上学期期末试题数学含解析，共22页。

本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集，，则（ ）
A B.
C. 或D. 或
2. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数定义域和值域相同的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数是奇函数，则可取一个值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
9. 国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L和小数记录法的数据V满足（K为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：，）（ ）
标准对数视力表
A. 4.8B. 4.9C. 5.0D. 5.1
10. 设函数，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数和的图象有且只有两个公共点
B. ，当时，使得恒成立
C. ，使得成立
D. 当时，方程有解
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是__________.
12. 计算：__________．
13. 函数零点个数为__________.
14. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，当时，则__________；当由变化到时，线段扫过的面积是__________.
15. 设函数（且）.给出下列四个结论：
①当时，方程有唯一解；
②当时，方程有三个解；
③对任意实数a（且），的值域为；
④存在实数a，使得在区间上单调递增；
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点，.
（1）求，的值；
（2）求的值.
17. 某同学用“五点法”画函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.
18. 若函数.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
（1）求解析式与最小正周期；
（2）求在区间上的最值.
条件①：，
条件②：，恒成立；
条件③：函数的图象关于点对称.
注：如果选择条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 函数，.
（1）若为偶函数，求的值及函数的最小值；
（2）当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围.
20. 某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足如图连续曲线，并测得当天AQI的取大值为106.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.
（1）求函数的解析式；
（2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.
21. 已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.
条件①：；
条件②：.
（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
（2）试证明不存在8元完备数对.
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通州区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量检测
数学试卷
2024年1月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集，，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的定义即可求解.
【详解】因为全集，，
所以
故选： C
2. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据初等基本函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论.
【详解】对于A：因为函数在上是增函数，所以满足条件，故A正确；
对于B：因为函数在上是减函数，所以不满足条件，故B错误；
对于C：因为函数在上为减函数，所以不满足条件，故C错误；
对于D：因为函数在上为减函数，所以不满足条件，故D错误.
故选：A.
3. 若且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可．
【详解】因为且，
对于A选项：当时不成立；
对于B选项：单调递减，所以不成立；
对于C选项：在单调递增，成立；
对于D选项：举反例，不成立．
故选：C．
4. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域一一判定选项即可.
【详解】易知，且，，故其定义域与值域均为.
显然A选项定义域与值域均为，故A错误；
因为，且恒成立，即其定义域与值域均为，故B错误；
，即其定义域为，值域为，故C错误；
，且，故其定义域与值域均为，即D正确.
故选：D
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出的范围，再比较大小即可.
【详解】因为，所以；，；，；所以.
故选：D
6. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，
故函数零点的区间是.
故选：C
7. 若函数是奇函数，则可取一个值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式及正弦函数的性质求出的取值，从而解得.
【详解】解：根据诱导公式及正弦函数的性质可知，，
令，可得的一个值为.
故选：B
8. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】分别解出、，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由，得，
由，得，
又，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
9. 国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L和小数记录法的数据V满足（K为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：，）（ ）
标准对数视力表
A. 4.8B. 4.9C. 5.0D. 5.1
【答案】A
【解析】
【分析】利用公式结合对数运算法则计算函数关系式即可.
【详解】由题意可知，所以，
故，故A正确.
故选：A
10. 设函数，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数和的图象有且只有两个公共点
B. ，当时，使得恒成立
C. ，使得成立
D. 当时，方程有解
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数和的图象，结合函数图象即可判断A B；根据指数函数和对数函数的图象即可判断C；根据当时，函数和的图象都过过点，即可判断D.
【详解】对于A，如图所示，作出函数和的图象，
由图可知，函数和的图象有三个公共点，故A错误；
对于B，由A选项可知，当时，，
所以不存在，当时，使得恒成立，故B错误；
对于C，如图，作出函数，的图象，
由图可知，函数的图象在的图象的上方，
函数的图象在的图象的下方，
所以，，
所以不存在，使得成立，故C错误；
对于D，因为，，
当时，函数的图象过点，
函数的图象过点，即直线与函数图象有交点，
当时，直线斜率更小，直线与函数图象有交点，
所以当时，方程有解，故D正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的限制条件可得答案.
【详解】由题意得，得，所以定义域.
故答案为：
12 计算：__________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用分数指数幂运算和对数运算性质求解即可
详解】.
故答案为：1
13. 函数的零点个数为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】令，直接求解，结合函数定义域，即可得出函数零点，确定结果.
【详解】的定义域为，
令，则或，解得或（舍）.
故答案为：1
14. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，当时，则__________；当由变化到时，线段扫过的面积是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】当时，求出点对应的坐标，即可求得的值，当时，求出点对应的坐标，即可确定扇形的圆心角，从而可以求得线段扫过的面积.
【详解】当时，，，
此时点位于点，
所以，
此时，，
当时，，，
此时点位于点，
此时，，
所以，且，
所以，
所以当由变化到时，线段扫过的面积就是扇形的面积，
即，
故答案为：，.
15. 设函数（且）.给出下列四个结论：
①当时，方程有唯一解；
②当时，方程有三个解；
③对任意实数a（且），的值域为；
④存在实数a，使得在区间上单调递增；
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①②
【解析】
【分析】直接解方程可判定①，分类讨论解方程可判定②，利用幂函数与指数函数的单调性可判定③，利用分段函数的性质可判定④.
【详解】当时，，则方程，
若，
若，与前提矛盾，舍去，
所以当时，方程有唯一解，故①正确；
当时，
若，
若，
易知在上单调递减，
则当时,，且在上单调递减，
当时，，则，
此时，
作出函数与的草图如下，
可知当时，方程有三个解，故②正确；
因为且，可知恒成立，
若，由上可知在上单调递减，
且时，，此时；
若，易知在上单调递增，即，
（i）当时，，则，
（ii）当时，在时，，此时；
则当时，取不到最小值，故③错误；
由上可知和时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，故④错误.
故答案为：①②
【点睛】难点点睛：难点在第二个结论和第三个结论，需要利用指数函数的单调性与零点分类讨论参数的范围，讨论容易遗漏.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点，.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的定义计算即可；
（2）利用余弦的差角公式计算即可.
【小问1详解】
根据题意可知：，，则，
同理，，则；
【小问2详解】
易知，所以
.
17. 某同学用“五点法”画函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）由五点法，可求周期，从而求出，代点求出，从而求出的解析式.
（2）根据函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，即可得出.
【小问1详解】
由表格知，且，即，故，
由，则，故，则.
【小问2详解】
由题意知，
由，，
所以，，
即函数的单调增区间为，.
18. 若函数.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
（1）求的解析式与最小正周期；
（2）求在区间上的最值.
条件①：，
条件②：，恒成立；
条件③：函数的图象关于点对称.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1），
（2）最大值；最小值
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，若选条件①可推得函数不存在，选择条件②③，可求得函数的解析式，进而得到最小正周期；
（2）由可得，借助正弦函数性质可求出最值.
【小问1详解】
因为，，
所以，
若选条件①：因为的最大值为，最小值为.
所以无解，故条件①不能使函数存在.
若选条件②：因为，.
故在处取最大值，
即，，所以，
因为，故，所以，最小正周期为：.
若选条件③：因为函数的图象关于点对称.
所以，
所以，，
即，，因为，故.
所以，最小正周期为：.
【小问2详解】
因为，则，
故当，即时，取最大值；
故当，即时，取最小值.
19. 函数，.
（1）若为偶函数，求的值及函数的最小值；
（2）当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数计算，利用换元法，结合基本不等式进行最小值的求解即可.
（2）由于函数图像恒在轴上方，所以函数，进行参数分离，得到恒成立，结合换元法进行讨论即可.
【小问1详解】
因为函数为偶函数.
所以恒成立，即恒成立.
即恒成立，解得，
所以，令，
，当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值为.
【小问2详解】
当时，函数的图象恒在轴上方，
故当时恒成立.
即恒成立.
令，令，.
因为，对称轴为，
故当即时，取最大值4，故.
20. 某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足如图连续曲线，并测得当天AQI的取大值为106.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.
（1）求函数的解析式；
（2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.
【答案】20.
21. 这一天在这个时间段的空气，空气属于污染状态，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解；
（2）由（1）可得的解析式，分类讨论解不等式即可得结果.
【小问1详解】
当时，由图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为，且过，，可设，，
代入点可得，解得，
故当时，；
点代入，解得，
故当时，；
.
【小问2详解】
当时，令，解得，
当时，令，解得，
所以，
综上所述：这一天在这个时间段的空气，空气属于污染状态.
21. 已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.
条件①：；
条件②：.
（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
（2）试证明不存在8元完备数对.
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用元完备数对的定义推理判断即得.
（2）令，根据元完备数对的定义确定的所有可能情况，再导出矛盾即可.
【小问1详解】
当时，由，得，不符合题意，
所以不存在3元完备数对；
当时，当，，，时，
满足且，符合题意，
所以为4元完备数对.
【小问2详解】
假设存在8元完备数对，
当时，令，则，且，
则有以下三种可能：①；②；③
当时，于是，即，
由，得或，
而，则有，
因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，
由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对；
当或时，同理不存在8元完备数对，
所以不存在8元完备数对.
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
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