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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直测试题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直测试题,共13页。试卷主要包含了1 直线与直线垂直,ABD 3等内容,欢迎下载使用。
1.设a,b,c是直线,则( )
A.若a⊥b,c⊥b,则a∥c
B.若a⊥b,c⊥b,则a⊥c
C.若a∥b,则a与c,b与c所成的角相等
D.若a与b是异面直线,c与b也是异面直线,则a与c是异面直线
2.(多选)四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等,M,N分别为PA,CD的中点,下列说法正确的是( )
A.MN与PD是异面直线 B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC D.MN⊥PB
3.在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD的中点分别是P,Q,R,且PQ=2,QR=eq \r(5),PR=3,那么异面直线AC和BD所成的角是( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
4. 如图所示,在等边三角形ABC中,D,E,F分别为各边中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥后,GH与IJ所成角的大小为( )
A.90° B.60° C.45° D.0°
5.如图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,则异面直线DE与AB所成角的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
7.经过空间一点P作与直线a成60°角的直线,这样的直线有________条.
8. 如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=________.
9. 如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=eq \r(2),DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
10. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点.求证:CD1⊥EF.
11. 如图,在三棱锥D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
12.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(π,2)))
13. (多选)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论,正确的是( )
A.AB⊥EF
B.AB与CM所成的角为60°
C.EF与MN是异面直线
D.MN∥CD
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB的中点为M,DD1的中点为N,则异面直线B1M与CN所成的角为________.
15. 如图,在圆柱OO1中,底面半径为1,OA⊥O1B,异面直线AB与OO1所成角的正切值为eq \f(\r(2),4),则圆柱的高为________.
16.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且AB=2eq \r(3),∠ABC=120°,若A1B⊥AD1,求AA1的长.
8.6.1 直线与直线垂直
1.C 2.ABD 3.A 4.B 5.B
6.A [如图,连接B1G,CF,
∵A1E∥B1G,
∴∠FGB1(或其补角)为异面直线A1E与GF所成的角.
连接FB1,在△FB1G中,
B1F=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB))2+AA\\al(2,1))=eq \r(5),
B1G=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AA1))2+AD2)=eq \r(2),
FG=eq \r(CF2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AA1))2)=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB))2+AD2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AA1))2)
=eq \r(3),
B1F2=B1G2+FG2.
∴∠FGB1=90°,
即异面直线A1E与GF所成的角为90°.]
7.无数
8.5
解析 如图,取AD的中点P,
连接PM,PN,
则BD∥PM,AC∥PN,
∴∠MPN(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角,
∴∠MPN=90°,
PN=eq \f(1,2)AC=4,PM=eq \f(1,2)BD=3,
∴MN=eq \r(PN2+PM2)=5.
9.解 如图,取AC的中点F,连接EF,BF.
在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,∴EF∥CD,
∴∠BEF(或其补角)即为异面直线BE与CD所成的角.
在Rt△ABC中,BC=eq \r(2),AB=AC,∴AB=AC=1.
在Rt△EAB中,AB=1,
AE=eq \f(1,2)AD=eq \f(1,2),∴BE=eq \f(\r(5),2).
在Rt△AEF中,AF=eq \f(1,2)AC=eq \f(1,2),AE=eq \f(1,2),∴EF=eq \f(\r(2),2).
在Rt△ABF中,AB=1,AF=eq \f(1,2),
∴BF=eq \f(\r(5),2).
∴BE=BF,
即△EBF为等腰三角形,
在等腰△EBF中,
cs∠FEB=eq \f(\f(1,2)EF,BE)=eq \f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))=eq \f(\r(10),10),
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).
10.证明 如图,取CD1的中点G,连接EG,DG.
∵E是BD1的中点,
∴EG∥BC,EG=eq \f(1,2)BC,
∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,
∴DF∥BC,DF=eq \f(1,2)BC,
∴EG∥DF,EG=DF,
∴四边形EFDG是平行四边形,
∴EF∥DG,
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A=AB,
∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,
又G为CD1的中点,
∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°,
∴CD1⊥EF.
11.B [如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.
∵E,F分别是CD,AB的中点,
∴FG∥AC,EG∥BD,
且FG=eq \f(1,2)AC,EG=eq \f(1,2)BD.
∴∠EFG为EF与AC所成的角(或其补角).
又∵AC=BD,∴FG=EG.
又∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,
∴∠FGE=90°,
∴△EFG为等腰直角三角形,
∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.]
12.C [设正方体棱长为1,DP=x,则x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,1)),连接AD1,AP(图略),
由AD1∥BC1可知,∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角,
在△AD1P中,AD1=eq \r(2),
AP=D1P=eq \r(1+x2),
故cs∠AD1P=eq \f(\f(\r(2),2),\r(1+x2)),
又∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,1)),
∴ cs∠AD1P=eq \f(\f(\r(2),2),\r(1+x2))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(\r(2),2))),
又∠AD1P∈(0,π),
∴∠AD1P∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,3))).]
13.AC [把正方体的平面展开图还原为原来的正方体(图略)可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有AC正确.]
14.90°
解析 如图,取AA1的中点E,连接EN,BE,
设BE交B1M于点O,易知EN∥BC,且EN=BC,
∴四边形BCNE是平行四边形,
∴BE∥CN,
∴∠BOM(或其补角)即为异面直线B1M与CN所成的角.
由BB1=AB,AE=BM,
∠EAB=∠MBB1,
得Rt△BB1M≌Rt△ABE,
∴∠BMB1=∠AEB,
∴∠BOM=90°.
15.4
解析 如图,过B作OO1的平行线交底面圆O于点H,连接OH,AH,
则∠ABH即为异面直线AB与OO1所成的角,
tan∠ABH=eq \f(\r(2),4),
易知OH∥O1B且OH=O1B,
由OA⊥O1B可知,OA⊥OH,
所以AH=eq \r(12+12)=eq \r(2),
又tan∠ABH=eq \f(AH,BH),
所以圆柱OO1的高BH=eq \f(AH,tan∠ABH)=4.
16.解 如图所示,连接CD1,AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC=2eq \r(3),
∴四边形A1BCD1是平行四边形,
∴A1B∥CD1,
∴∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角,
∵A1B⊥AD1,即异面直线A1B和AD1所成的角为90°,
∴∠AD1C=90°.
又易知AD1=D1C,
∴△ACD1是等腰直角三角形,
∴AD1=eq \f(\r(2),2)AC.
∵AB=BC=2eq \r(3),∠ABC=120°,
∴AC=2eq \r(3)×sin 60°×2=6,
∴AD1=eq \f(\r(2),2)AC=3eq \r(2),
∴AA1=eq \r(AD\\al(2,1)-A1D\\al(2,1))=eq \r(6).
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