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    第八章 8.6.1 直线与直线垂直 课时练(含答案)—2024春高中数学人教A版必修第二册

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    高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直测试题

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直测试题,共13页。试卷主要包含了1 直线与直线垂直,ABD 3等内容,欢迎下载使用。

    1.设a,b,c是直线,则( )
    A.若a⊥b,c⊥b,则a∥c
    B.若a⊥b,c⊥b,则a⊥c
    C.若a∥b,则a与c,b与c所成的角相等
    D.若a与b是异面直线,c与b也是异面直线,则a与c是异面直线
    2.(多选)四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等,M,N分别为PA,CD的中点,下列说法正确的是( )
    A.MN与PD是异面直线 B.MN∥平面PBC
    C.MN∥AC D.MN⊥PB
    3.在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD的中点分别是P,Q,R,且PQ=2,QR=eq \r(5),PR=3,那么异面直线AC和BD所成的角是( )
    A.90° B.60° C.45° D.30°
    4. 如图所示,在等边三角形ABC中,D,E,F分别为各边中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥后,GH与IJ所成角的大小为( )
    A.90° B.60° C.45° D.0°
    5.如图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,则异面直线DE与AB所成角的大小为( )
    A.30° B.45°
    C.60° D.90°
    6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是( )
    A.90° B.60° C.45° D.30°
    7.经过空间一点P作与直线a成60°角的直线,这样的直线有________条.
    8. 如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=________.
    9. 如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=eq \r(2),DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
    10. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点.求证:CD1⊥EF.
    11. 如图,在三棱锥D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于( )
    A.30° B.45°
    C.60° D.90°
    12.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是( )
    A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3)))
    C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(π,2)))
    13. (多选)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论,正确的是( )
    A.AB⊥EF
    B.AB与CM所成的角为60°
    C.EF与MN是异面直线
    D.MN∥CD
    14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB的中点为M,DD1的中点为N,则异面直线B1M与CN所成的角为________.
    15. 如图,在圆柱OO1中,底面半径为1,OA⊥O1B,异面直线AB与OO1所成角的正切值为eq \f(\r(2),4),则圆柱的高为________.
    16.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且AB=2eq \r(3),∠ABC=120°,若A1B⊥AD1,求AA1的长.
    8.6.1 直线与直线垂直
    1.C 2.ABD 3.A 4.B 5.B
    6.A [如图,连接B1G,CF,
    ∵A1E∥B1G,
    ∴∠FGB1(或其补角)为异面直线A1E与GF所成的角.
    连接FB1,在△FB1G中,
    B1F=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB))2+AA\\al(2,1))=eq \r(5),
    B1G=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AA1))2+AD2)=eq \r(2),
    FG=eq \r(CF2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AA1))2)=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB))2+AD2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AA1))2)
    =eq \r(3),
    B1F2=B1G2+FG2.
    ∴∠FGB1=90°,
    即异面直线A1E与GF所成的角为90°.]
    7.无数
    8.5
    解析 如图,取AD的中点P,
    连接PM,PN,
    则BD∥PM,AC∥PN,
    ∴∠MPN(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角,
    ∴∠MPN=90°,
    PN=eq \f(1,2)AC=4,PM=eq \f(1,2)BD=3,
    ∴MN=eq \r(PN2+PM2)=5.
    9.解 如图,取AC的中点F,连接EF,BF.
    在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,∴EF∥CD,
    ∴∠BEF(或其补角)即为异面直线BE与CD所成的角.
    在Rt△ABC中,BC=eq \r(2),AB=AC,∴AB=AC=1.
    在Rt△EAB中,AB=1,
    AE=eq \f(1,2)AD=eq \f(1,2),∴BE=eq \f(\r(5),2).
    在Rt△AEF中,AF=eq \f(1,2)AC=eq \f(1,2),AE=eq \f(1,2),∴EF=eq \f(\r(2),2).
    在Rt△ABF中,AB=1,AF=eq \f(1,2),
    ∴BF=eq \f(\r(5),2).
    ∴BE=BF,
    即△EBF为等腰三角形,
    在等腰△EBF中,
    cs∠FEB=eq \f(\f(1,2)EF,BE)=eq \f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))=eq \f(\r(10),10),
    ∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).
    10.证明 如图,取CD1的中点G,连接EG,DG.
    ∵E是BD1的中点,
    ∴EG∥BC,EG=eq \f(1,2)BC,
    ∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,
    ∴DF∥BC,DF=eq \f(1,2)BC,
    ∴EG∥DF,EG=DF,
    ∴四边形EFDG是平行四边形,
    ∴EF∥DG,
    ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
    又∵A1A=AB,
    ∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,
    又G为CD1的中点,
    ∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,
    ∴异面直线CD1与EF所成的角为90°,
    ∴CD1⊥EF.
    11.B [如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.
    ∵E,F分别是CD,AB的中点,
    ∴FG∥AC,EG∥BD,
    且FG=eq \f(1,2)AC,EG=eq \f(1,2)BD.
    ∴∠EFG为EF与AC所成的角(或其补角).
    又∵AC=BD,∴FG=EG.
    又∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,
    ∴∠FGE=90°,
    ∴△EFG为等腰直角三角形,
    ∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.]
    12.C [设正方体棱长为1,DP=x,则x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,1)),连接AD1,AP(图略),
    由AD1∥BC1可知,∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角,
    在△AD1P中,AD1=eq \r(2),
    AP=D1P=eq \r(1+x2),
    故cs∠AD1P=eq \f(\f(\r(2),2),\r(1+x2)),
    又∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,1)),
    ∴ cs∠AD1P=eq \f(\f(\r(2),2),\r(1+x2))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(\r(2),2))),
    又∠AD1P∈(0,π),
    ∴∠AD1P∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,3))).]
    13.AC [把正方体的平面展开图还原为原来的正方体(图略)可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有AC正确.]
    14.90°
    解析 如图,取AA1的中点E,连接EN,BE,
    设BE交B1M于点O,易知EN∥BC,且EN=BC,
    ∴四边形BCNE是平行四边形,
    ∴BE∥CN,
    ∴∠BOM(或其补角)即为异面直线B1M与CN所成的角.
    由BB1=AB,AE=BM,
    ∠EAB=∠MBB1,
    得Rt△BB1M≌Rt△ABE,
    ∴∠BMB1=∠AEB,
    ∴∠BOM=90°.
    15.4
    解析 如图,过B作OO1的平行线交底面圆O于点H,连接OH,AH,
    则∠ABH即为异面直线AB与OO1所成的角,
    tan∠ABH=eq \f(\r(2),4),
    易知OH∥O1B且OH=O1B,
    由OA⊥O1B可知,OA⊥OH,
    所以AH=eq \r(12+12)=eq \r(2),
    又tan∠ABH=eq \f(AH,BH),
    所以圆柱OO1的高BH=eq \f(AH,tan∠ABH)=4.
    16.解 如图所示,连接CD1,AC.
    在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC=2eq \r(3),
    ∴四边形A1BCD1是平行四边形,
    ∴A1B∥CD1,
    ∴∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角,
    ∵A1B⊥AD1,即异面直线A1B和AD1所成的角为90°,
    ∴∠AD1C=90°.
    又易知AD1=D1C,
    ∴△ACD1是等腰直角三角形,
    ∴AD1=eq \f(\r(2),2)AC.
    ∵AB=BC=2eq \r(3),∠ABC=120°,
    ∴AC=2eq \r(3)×sin 60°×2=6,
    ∴AD1=eq \f(\r(2),2)AC=3eq \r(2),
    ∴AA1=eq \r(AD\\al(2,1)-A1D\\al(2,1))=eq \r(6).

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