高中数学8.6 空间直线、平面的垂直一课一练

这是一份高中数学8.6 空间直线、平面的垂直一课一练，共13页。试卷主要包含了下列说法中，正确的有，∠A1C1B1＝90°等内容，欢迎下载使用。
1．已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
2. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
3．(多选)下列说法中，正确的有( )
A．如果一条直线垂直于平面内的四条直线，那么这条直线和这个平面垂直
B．过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直
C．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面
D．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内
4. 如图，在四棱锥M－ABCD中，MC⊥平面ABCD，那么MA与BD垂直的充分条件是( )
A．四边形ABCD为矩形
B．四边形ABCD为菱形
C．四边形ABCD为平行四边形
D．四边形ABCD为梯形
5. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
6. 如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
7．若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ，则θ的取值范围为________．
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则EF与AA1的位置关系是________．
9. 如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求AE与平面BDE所成角的大小．
10. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直．求证：EF∥BD1.
11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥△EFH所在平面
B．AH⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
12．在四面体P－ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
13. 如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝eq \r(2)∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为( )
A．45° B．60°
C．30° D．75°
14. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
15. 每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图，若点G，H，M，N分别是正八面体棱DE，BC，AD，BF的中点，则下列结论正确的是( )
A．GH⊥平面FBC
B．GH与MN是异面直线
C．GH∥平面EAB
D．MN与GH是相交直线
16. 如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD?
8．6.2 直线与平面垂直
1．C 2.B 3.BCD 4.B
5．A [取BC的中点E，连接DE，AE(图略)，则DE⊥平面ABC，故DE⊥AE，∠DAE即为AD与平面ABC所成的角，设三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为1，则DE＝eq \f(1,2)，AE＝eq \f(\r(3),2)，所以tan ∠DAE＝eq \f(\r(3),3)，所以∠DAE＝30°.]
6．B [易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，
所以AC⊥BC，
所以△ABC为直角三角形．]
7.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
8. 平行
解析 如图，∵AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D，
∴EF与BB1不相交，∴EF∥BB1，
又AA1∥BB1，∴EF∥AA1.
9．(1)证明 ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)解 设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示．
∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角．
在Rt△EAD中，
EA＝eq \r(AD2＋DE2)
＝2eq \r(2)，
又AO＝eq \r(2)，
∴在Rt△EOA中，
sin∠AEO＝eq \f(AO,EA)＝eq \f(1,2)，
∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°.
10．证明 如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，
∵DD1⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
11．B
12．A [如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，
连接OA，OB，OC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
又PA＝PB＝PC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
则OA＝OB＝OC，
∴O为△ABC的外心．]
13．A [如图，取BC的中点D，连接AD，B1D，
∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，
∴AD⊥平面BCC1B1，
∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角．
设AB＝eq \r(2)，则AA1＝1，AD＝eq \f(\r(6),2)，AB1＝eq \r(3)，
∴sin∠AB1D＝eq \f(AD,AB1)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠AB1D＝45°.
即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.]
14．∠A1C1B1＝90°
解析 如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，
如∠A1C1B1＝90°等)
15．C [如图，连接AC，EF，BD，
则它们相交且相互平分，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AE∥CF.
又G，H，M，N分别是正八面体棱DE，BC，AD，BF的中点，
∴GM∥AE，NH∥CF，
且GM＝eq \f(1,2)AE，NH＝eq \f(1,2)CF，
∴GM∥NH，且GM＝NH，
∴四边形MNHG是平行四边形，故排除B，D；
易证平面GMH∥平面EAB，
又GH⊂平面GMH，
∴GH∥平面EAB，故C正确；
由题意得EH⊥BC，MH⊥BC，EH∩MH＝H，
∴BC⊥平面EMH.
又GH⊄平面EMH，GH∩EH＝H，
∴GH与BC不垂直，
∴GH与平面FBC不垂直，故A错误．]
16．(1)证明 取PD的中点E，连接NE，AE，如图．
又∵N是PC的中点，
∴NE∥DC且NE＝eq \f(1,2)DC，
又∵DC∥AB且DC＝AB，
AM＝eq \f(1,2)AB，
∴AM∥CD且AM＝eq \f(1,2)CD，
∴NE∥AM且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE.
∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)解 当α＝45°时，MN⊥平面PCD，证明如下．
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，
∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，
PA，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，
CD，PD⊂平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.