考点06 椭圆-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)

这是一份考点06 椭圆-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)，文件包含考点06椭圆原卷版docx、考点06椭圆解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共102页， 欢迎下载使用。
1、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
2、椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）.
（3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
3、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.
(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
4、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等．
5、点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)1.
6、求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
7、判断直线与椭圆的位置关系
通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δb>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1， ②))
由①－②，得eq \f(1,a2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋eq \f(1,b2)(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，变形得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)，即kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
9、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．
10、解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
考点一 求椭圆的标准方程
1．（2023秋·吉林·高二统考期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·新疆·高二新疆实验校考期中）已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·陕西西安·高二西安市第三中学校考期中）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期中）已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点二 点与椭圆的位置关系
6．（2022秋·陕西宝鸡·高二统考期末）若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期中）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为___________.
8．（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考期中）函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（ ）
A．12B．14C．16D．18
考点三 椭圆的定义及其应用
根据椭圆的方程求参数的范围
9．（2022秋·北京·高三北京八十中校考期末）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（2022秋·湖南长沙·高二校联考期中）已知方程表示椭圆，则的取值范围为（ ）
A．且B．且
C． D．
11．（2022秋·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
12．（2022秋·河南信阳·高二统考期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
椭圆的焦点三角形问题
13．（2022秋·陕西咸阳·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，若，则（ ）
A．9B．7C．5D．3
14．（2022秋·陕西西安·高二西安市曲江第一中学校考期中）已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，为坐标原点，若点是线段的中点，则的周长为（ ）
A．6B．5C．12D．10
15．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考期中）椭圆​的离心率为​，其左、右焦点分别为​，上顶点为​，直线与椭圆另一交点为​，则内切圆的半径为（ ）
A．​B．​C．​D．​
16．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆上、下焦点，有一个内角为，则的面积为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
17．（2022秋·云南·高二云南省下关第一中学校考期中）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9B．3C．4D．8
18．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）设、为椭圆的左、右焦点，动点P在椭圆上，当面积最大时，的值等于（ ）
A．B．C．0D．1
考点四 求椭圆的离心率
求椭圆的离心率
19．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为（ ）.
A．B．C．D．
20．（2022秋·湖北荆州·高二校联考期末）已知分别为椭圆的左右焦点，P为C上一动点，A为C的左顶点，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
21．（2022秋·天津津南·高二天津市咸水沽第一中学校考期末）已知椭圆的下焦点，M点在椭圆C上，线段MF与圆相切于点N，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
22．（2022秋·四川乐山·高二校考期中）已知分别是椭圆的左右焦点，是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在y轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
求椭圆的离心率的取值范围
23．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点.若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．（2022秋·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）已知点满足，且点Q恒在在以、为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
25．（2022秋·浙江金华·高二期末）已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
（三）由椭圆的离心率求参数（范围）
26．（2022秋·甘肃白银·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
27．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
28．（2022春·广东广州·高二广州科学城中学校考期中）椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为则椭圆C的长轴长为（ ）
A．2B．C．4D．8
考点五 与椭圆有关的轨迹问题
29．（2022·高二单元测试）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
30．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期中）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
31．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期中）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
32．（2022秋·浙江金华·高二校联考期末）已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点六 直线与椭圆的位置关系
33．（2022秋·山东滨州·高二校考期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
34．（2022秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
35．（2022秋·江苏徐州·高三期末）椭圆：经过点，点是椭圆的右焦点，点到左顶点的距离和到右准线的距离相等.过点的直线交椭圆于 两点（A点位于x轴下方），且，则直线的斜率为（ ）
A．1B．2C．D．
36．（2022秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知过点D（2，0）的直线l与椭圆 相交于不同的两点A、B，M是弦AB的中点，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考点七 弦长及中点弦问题
弦长问题
37．（2022春·海南省直辖县级单位·高二校考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
38．（2022秋·广东佛山·高三统考期中）已知四边形是椭圆的内接四边形（即四边形的四个顶点均在椭圆上），且四边形为矩形，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
39．（2022秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若的内切圆的周长为，则直线的方程是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
40．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为（ ）
A．B．2C．D．4
（二）中点弦问题
41．（2022秋·江苏宿迁·高二校考期中）椭圆与直线相交的弦被M点平分，则M点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
42．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考期中）若椭圆 的弦中点坐标为， 则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
43．（2022秋·江苏徐州·高二校考期中）已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于A、B陃点，若弦中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
44．（2022秋·西藏拉萨·高二拉萨中学校考期末）已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为-1的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（ ）
A．6B．C．D．
考点八 求椭圆的参数或范围问题
45．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设点，分别为椭圆的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为（ ）
A．0B．1C．2D．3
46．（2022秋·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校联考期中）设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
47．（2022秋·北京通州·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点．
(1)求椭圆的方程及焦点坐标；
(2)若线段的垂直平分线经过点，求的取值范围．
48．（2022秋·福建龙岩·高二统考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，过右焦点作直线交于，其中的周长为的离心率为.
(1)求的方程；
(2)已知的重心为，设和的面积比为，求实数的取值范围.
考点九 求椭圆的最值问题
49．（2022秋·广西钦州·高二浦北中学校考期中）若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
50．（2022秋·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考期中）设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是（ ）
A．B．1C．3D．9
51．（2022秋·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最近距离为______.
52．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为__________．
53．（2022秋·河南·高二校联考期中）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
54．【多选】（2022秋·河北张家口·高三统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，直线与椭圆交于、两点，则（ ）
A．的最大值为
B．的内切圆半径
C．的最小值为
D．若为的中点，则直线的方程为
55．【多选】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，点为椭圆的一个动点，点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．的面积最大值为
C．点到直线距离的最大值为
D．的最大值为7
考点十 椭圆的定点、定值问题
56．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知椭圆C：过点，椭圆C离心率为，其左右焦点分别为，，上下顶点为，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点Q是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；
(3)若M，N为椭圆C上相异两点（均不同于点），，的斜率分别是，，若.求证：直线MN必过定点，并求出定点坐标.
57．（2022秋·福建福州·高三校考期末）已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF．
(1)求C的方程；
(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．
58．（2022秋·广东惠州·高三校考期末）己知椭圆，过点．
(1)求C的方程；
(2)若不过点的直线l与C交于M，N两点，且满足，试探究：l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
59．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
60．（2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知椭圆（）的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，两点，直线的斜率为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)椭圆右顶点为，为椭圆上除左右顶点外的任意一点，求证：为定值，并求出这个定值；
(3)若的外接圆在处的切线与椭圆交另一点于，且的面积为，求椭圆的方程．
61．（2022秋·北京·高二北大附中校考期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点 .证明：以线段为直径作圆被轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.
考点十一 椭圆中的向量问题
62．（2022秋·天津和平·高二耀华中学校考期末）已知椭圆的右焦点为，离心率．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，若，求的方程．
63．（2022秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）已知点、，平面直角坐标系上的一个动点满足，设动点的轨迹为曲线.
(1)点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围；
(2)已知点、是曲线上的两个动点，若（是坐标原点），试证明：直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程.
64．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中）已知，是椭圆M：的左右焦点．
(1)若C是椭圆上一点，求的最小值；
(2)直线与椭圆M交于A，B两点，O是坐标原点．椭圆M上存在点P使得四边形OAPB为平行四边形，求m的值．
65．（2022秋·福建三明·高二校联考期中）已知，是椭圆：的焦点，，是左、右顶点，椭圆上的点满足，且直线，的斜率之积等于
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交于，两点，若，，其中，证明
考点十二 椭圆的实际应用问题
66．（2022春·上海杨浦·高二校考期中）某海域有两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是两岛．曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群反射信号的时间比为．你能否确定鱼群此时分别与两岛的距离？
67．（2022秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）
（2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）
参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长.
68．（2022·全国·高二期末）浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆. 已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为万米.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；
（2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”. 求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）
考点十三 与椭圆有关的综合问题
69．【多选】（2022秋·山东滨州·高二校考期中）已知为坐标原点，椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆的短轴长为
C．直线 与椭圆相交
D．若点在椭圆上，中点坐标为，则直线的方程为
70．【多选】（2022秋·浙江宁波·高二宁波市第二中学校联考期中）设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（ ）
A．的周长为定值8B．的面积最大值为
C．的最小值为8D．存在直线l使得的重心为
71．【多选】（2022秋·吉林长春·高二校考期中）《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是（ ）
A．动点的轨迹方程为
B．动点的轨迹与圆：没有公共点
C．直线：为成双直线
D．若直线与点的轨迹相交于，两点，点为点的轨迹上不同于，的一点，且直线，的斜率分别为，，则