课件北师大版八年级第六章平行四边形北师大版八年级下册数学：平行四边形回顾与思考

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平行四边形回顾与思考2.平行四边形的对边平行且相等.3.平行四边形的对角相等.4.平行四边形的对角线互相平分.知识点一：性质1.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE=∠DCF.∴ △ABE≌ △CDF.∴ AB=CD，AB ∥ CD.又∵AE=CF，∴BE=DF. 一.利用平行四边形边的性质求证线段的关系如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少? 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD, AD=BC. ∵AB=8m, ∴CD=8m. 又AB+BC+CD+AD=36m, ∴ AD=BC=10m.8m解:∴ ∠C=∠A=52°.又∵ AD∥BC,∴∠A+∠B=180°∠C+∠D=180°∴∠B=∠D= 180 °－∠A = 180º－ 52°=128 °.二.利用平行四边形角的性质求证角的关系 如图，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE=OF.三.利用平行四边形对角线的性质求线段的相等证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA=OC .∴∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中 ∠AOE = ∠ COF, OA = OC, ∠EAO = ∠FCO,∴ △AOE≌△COF ( ASA ).∴ OE = OF .如图,平行四边形ABCD中，AC , BD交于O点，点E , F分别是AO , CO的中点，试判断线段BE , DF的数量关系并证明你的结论．解：BE＝DF，BE∥DF. 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵点E , F分别是AO , CO的中点 ∴OE＝OF.在△OFD和△OEB中，OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB， ∴△OFD≌△OEB.∴BE＝DF. ∠DFO＝∠BEO.∴ BE∥DF.1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.知识点二：判定 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．证明：在Rt△MON中，由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2， 解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN，∴四边形PONM是平行四边形．一.利用两组对边分别相等识别平行四边形如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中，∵AC=CA,AB=CD,∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).∴BC=DA.又∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形．如图，已知E，F，G，H分别是▱ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形． 在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC,又∵BF=DH，∴AH=CF.又∵AE=CG，∴△AEH≌△CGF（SAS）.∴EH=GF.同理得△BEF≌△DGH（SAS）.∴GH=EF.∴四边形EFGH是平行四边形．证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB =CD，EB //FD．又 ∵EB = AB ，FD = CD，∴EB =FD ．∴四边形EBFD是平行四边形． 如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形. 二.直接利用一组对边平行且相等判定平行四边形证明：证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，∴AD∥ EF，AD=EF， EF∥ BC， EF=BC.∴AD∥ BC，AD=BC.∴四边形ABCD是平行四边形.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形． ∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△ACE和△DBF中， AC＝DB ,∠A＝∠D, AE＝DF ,∴△ACE≌△DBF(SAS).∴CE=BF，∠ACE=∠DBF.∴CE∥BF.∴四边形BFCE是平行四边形．证明：如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE.（2）求证：四边形CBED是平行四边形．  如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=CO,BO=DO.∵AE=CF ，∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.又∵BO=DO，∴四边形BFDE是平行四边形.三利用平行四边形的判定定理3判定平行四边形如图，AC∥DE且AC＝DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形. ∵AC∥DE，AC＝DE，∴∠C＝∠E，∠CAB＝∠EDB.∴△ABC≌△DBE.∴AB＝DB，CB＝EB.∵AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，∴BG＝BF.∴四边形AGDF是平行四边形.证明：如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中，∵AC=CA,AB=CD,∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).∴BC=DA.又∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形．已知：四边形ABCD, ∠A=∠C，∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).同理可证AB∥CD.又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °,∴ 2∠A+ 2∠B=360 °,∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）,即∠A+ ∠B=180 °.∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？平行四边形的性质和判定的综合题目解：BF＝CE．理由如下：∵DF∥BC，EF∥AC，∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE.∴FD=CE.∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠EBD.∴∠FBD=∠FDB.∴BF=FD.∴BF＝CE.知识点三：平行线之间的距离如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等，这个距离成为平行线之间的距离.平行线之间的距离处处相等如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高．解：∵S△ABC = AB•BC, = ×4 ×BC=12cm2， ∴BC=6cm. ∵AB∥CD， ∴点D到AB边的距离等于BC的长度， ∴△ABD中AB边上的高为6cm.总结：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.知识点四：平行四边形面积问题 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？MN解：设直线EF交AD,BC于点N,M.∵AD∥BC,∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.又∵AO=CO,∴△NAO≌△MCO，∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB =S△AOB+S△COB= .∴S四边形ANMB=S四边形CMND,即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.解：设AB=x，则BC=24-x.根据平行四边形的面积公式可得,5x=10(24-x)，解得x=16．则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．（1）用含t的代数式表示： AP=_____； DP=________； BQ=________；CQ=________；tcm(12-t)cm(15-2t)cm2tcm（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm，PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cm．∵AD∥BC，∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．∴t=15-2t，解得t=5．∴t=5时四边形APQB是平行四边形.解：由PD=(12-t)cm，CQ=2tcm，∵AD∥BC，∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形．即12-t=2t，解得t=4s，∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？知识点六：中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半. 如图，在△ABC中，D,E分别为AC,BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长.解：∵D,E分别为AC,BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3.∴∠1＝∠2.∴AD＝DF＝3.∴AC＝2AD＝2DF＝6. 如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB,OC，点G,F分别是OB,OC的中点，顺次连接点D,G,F,E.求证：四边形DGFE是平行四边形.∴四边形DGFE是平行四边形.证明：在△ABC中，∵AD=BD,AE=CE,在△OBC中，∵OG=BG,OF=CF,已知: 如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.证明：连接AC.∵ E , F是AB , BC边中点,∴EF∥AC且EF＝ AC.同理：HG ∥ AC且HG ＝ AC.∴EF ∥ HG且EF ＝ HG.∴四边形EFGH为平行四边形.EFGHABCD 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M ，N ， P分别是AD ， BC，BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．解：∵M,N,P分别是AD,BC,BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC.∵AB=CD，∴PM=PN.∴△PMN是等腰三角形.∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°.∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°.∴∠PMN=(180°−130°)÷ 2 =25°．知识点七：多边形内角和和外角和 多边形外角和都等于360° 1 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）.A.6 B.12 C.16 D.18【分析】 设多边形的边数为n.根据题意，得 （n-2) ·180°= 150°· n 解得n=12B2、求正十二边形的每个内角和每个外角的度数？解：正十二边形的每个内角的度数为 (12-2)×180°=150°每个外角的度数为=30°12 3、一个多边形，每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形，它的内角和是多少？解：∵ 多边形的外角和是360°，360°÷45°∴ 多边形的边数为=8∴ 这个多边形的内角和为(8-2)×180°=1080°且每一个外角都等于45°注意：正多边形的边数=360°÷一个外角的度数 在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的 ，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数. 则其每个外角的度数为 x° .解：设这个多边形的每一个内角的度数为x°，根据题意，得x°+ x°=180°解的x=144180°÷144°∴ 多边形的一个外角的度数为=36°360°÷36°∴ 多边形的边数为=10如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD , CE，交于点P． 求证：四边形ABPE是平行四边形．证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴正五边形的每个内角的度数是 AB=BC=CD=DE=AE.∴∠DEC=∠DCE= ×(180°-108°)=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°.∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A.∴四边形ABPE是平行四边形．