（人教A版2019选择性必修第一册）高二数学《考点题型 技巧》精讲与精练高分突破 专题强化训练一 空间向量的在立体几何中的应用【附答案详解】

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0高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)专题强化训练一：空间向量的在立体几何中的应用 一、单选题1．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．2．已知、、分别是正方形边、及对角线的中点，将三角形沿着进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线与平面所成角的余弦值的取值范围为（ ）A． B．C． D．3．长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（ ）A． B． C． D．4．如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ）A． B． C． D． 5．在如图所示的四棱锥中，，，，，，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．6．已知二面角的大小为，和是两条异面直线，且，则与所成的角的大小为（ ）A． B． C． D．7．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．8．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）A． B． C． D． 9．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）．A．60° B．90° C．105° D．75°10．直三棱柱中，若，，是中点，过作这个三棱柱的截面，当截面与平面所成的锐二面角最小时，这个截面的面积为（ ）A．2 B． C． D． 二、多选题11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则C．直线的方向向量，平面的法向量是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则12．已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ） A．与是异面直线B．与所成角的大小为C．与平面所成角的余弦值为D．二面角的余弦值为13．在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，则下列结论正确的是（ ）A．B．与平面所成的角为C．异面直线与所成角的余弦值为D．二面角的余弦值为14．在棱长为a的正方体中，分别是的中点下列说法正确的是（ ）A．四边形是菱形B．直线与所成的角的余弦值是C．直线与平面所成的角正弦值是D．面与面所成角的正弦值是15．如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（ ）A．平面 B．与平面所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角的余弦值为 三、填空题16．平面与平面夹角为，与的交线上有A，B两点，直线AC，BD分别在平面与内，且都垂直于AB.已知，则CD的长为__________.17．已知平面和平面的法向量分别为，，且，则___________．18．在三棱柱中，，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.19．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.为线段上一动点，当______时，直线与平面所成角的正弦值为.20．如图所示，在正方体中，点为线段的中点，点在线段上移动，异面直线与所成角最小时，其余弦值为________.21．如图，在正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是_________．（填序号）①异面直线与所成角的余弦值为，②平面；③直线与平面所成角的正弦值为；④二面角的余弦值为． 四、解答题22．如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.23．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面PCD⊥平面ABCD，，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点．（Ⅰ）求证：平面平面PBC；（Ⅱ）设二面角的平面角为，试判断在线段AB上是否存在这样的点F，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．24．如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线和所成角；（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.25．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 26．如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.27．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．28．如图，平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.29．如图，直三棱柱中，，，为的中点.（I）若为上的一点，且与直线垂直，求的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，设异面直线与所成的角为45°，求直线与平面成角的正弦值. 参考答案1．C如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在长方体中，，，，，，， ， 设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为：．故选：C．2．A【详解】如图所示：设正方形的边长为2，则,,设，，直线与平面所成的角为，，以为一组基底，则，所以，则，所以,所以，所以，故选：A3．B如图以点D为坐标原点建立空间坐标系设点P的坐标为 图中各点的坐标表示如下：B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0) ，又即，，所以所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段，且点P由C点向BB1四等分点移动过程中，二面角B-AD-P逐渐增大当点P位于C点处时，二面角B-AD-P最小，最小值为0当点P为与BB1四等分点处时，二面角B-AD-P最大，此时，即为二面角B-AD-P的平面角，所以二面角B-AD-P正切值的取值范围为[0，].选项ACD错误，选项B正确故选：B.4．D由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图，，，，，又，．，则，设异面直线与所成角为，则，为锐角，，所以．故选：D．5．A取的中点．则．因为且．所以四边形是矩形，所以．因为且，所以平面．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的法向量为，则取，得.设直线与平面所成角为，则．故选：A6．A【详解】设直线，的方向向量，，因为，，所以，分别是平面，的法向量，二面角的大小为，，的夹角为或，因为异面直线所的角为锐角或直角，所以与所成的角为.故选：A.7．C由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.设正方体的棱长为1，则有∴，∴设，∴，，由图知不是平角，∴为钝角等价于，∴，∴，解得∴的取值范围是故选：C.8．A因为，，所以，则，，由点到直线的距离公式得，故选：A.9．B联结交于F点，取AC的中点E，联结EF，BE，则在正三棱柱中，，故与所成角即与所成角，设，则，，，，则在三角形BEF中，满足，故，即与所成角为故选：B10．C解：因为，，所以，即.所以根据题意，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，， 易知平面的法向量为， 设截面的法向量为，则，即，设截面与平面所成的锐二面角为，则所以当时，取最大值，锐二面角为取最小，不妨设，则，，即，此时，过截面与平面内的直线的交点为，则，所以，即，解得，过截面与平面内的直线的交点为，则，所以，即，解得，所以，，所以此时截面即为四边形，其中，，，，则在四边形中，，所以，所以四边形的面积为.故选：C.11．AB对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，所以，选项A正确；对于B，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且，所以，选项B正确；对于C，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，C选项错误；对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以，选项D错误.故选：AB12．AD【详解】对选项A，由图知：与是异面直线，故A正确；以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设正方体边长为，对选项B，，，，，所以，，设与所成角为，则，又因为，所以，故B错误.对选项C，由题知：平面的法向量为，因为，，设与平面所成角为，则，，故C错误；对选项D，，，设平面的法向量，则，令得，设平面的法向量，则，令得，设二面角的平面角为，则，又因为为锐角，所以，故D正确.故选：AD13．AC设，则，对于选项A：在中，由余弦定理可得：，所以，所以，所以，因为底面，面，所以，因为，所以面，因为面，所以，故选项A正确；对于选项B：因为底面，所以即为与平面所成的角，在中，，所以，故选项B不正确；对于选项C：因为为平行四边形，所以，所以为异面直线与所成角，在中，，，所以，所以，故选项C正确；对于选项D：如图建立空间直角坐标系：则，，，，可得，，，设面的一个法向量，由，令，则，，所以，设面的一个法向量，由，，令，，所以，所以，由图知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为，故选项D不正确，故选：AC.14．ABD分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，所以是平行四边形，由正方体知，因此为菱形，A正确；，，，B正确；，设平面的一个法向量为，由得：，取，则，即，，，直线与平面所成的角正弦值是，C错；平面的一法向量是，，面与面所成角的所以的余弦值为，其正弦值为，D正确．故选：ABD．15．BDA：底面为矩形，即，面面，面面，面，所以面，过有且只有一条直线与面垂直，即不可能垂直面，错误；B：为的中点，过作，由题设构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则，，，，即，，，若为面的一个法向量，则，令，有，所以，若与平面所成角为，则，故，正确；C：连接，则，由题设知三棱锥的底面面积为，高为，所以，错误；D：由题设知：，故异面直线与所成的角即为与所成角，即为，而，由余弦定理可得，正确.故选：BD.16．如图所示：因为平面与平面夹角为，，所以，所以，，，所以，故答案为：17．4因为平面和平面的法向量分别为，，且，所以，解得： 4.故答案为：418．【详解】因为平面，，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则、、、，则，，所以，.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.19．1解：以为坐标原点，分别为，，轴建立空间直角坐标系．所以，所以．设平面的法向量，所以所以，所以平面的一个法向量， 设，所以， 所以，解得或（舍，所以．因为，所以 故答案为：120．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，，所以，，所以 ， 当异面直线与所成角最小时，则最大，即时，.故答案为： 21．①②③以点为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，所以．设异面直线与所成的角为，则，故①正确；，因为，所以，因为平面，所以平面，故②正确；，设直线与平面所成的角为，则，故③正确；是平面的一个法向量，所以，因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值为，故④错误，故选：①②③．22（1）由已知可得，，，又，所以平面.又平面，所以平面平面；（2）作，垂足为.由（1）得，平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）可得，.又，，所以.又，，故.可得.则 为平面的法向量.设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.23．解：（Ⅰ） 四边形是正方形，∴.∵平面 平面平面平面，∴平面.∵平面，∴. ∵，点为线段的中点，∴.又∵，∴平面.又∵平面，∴平面 平面. （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，∵，∴平面.在平面内过作交于点，∴，故，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.因为，，∴.∵平面， 则，，又为的中点，， 假设在线段上存在这样的点，使得,设，，，设平面的法向量为， 则∴，令，则，则 平面，平面的一个法向量,,则∴.，解得，∴24．【详解】（1）∵，，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）∵，，∴，，如图，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系,∵，，，，∴，，∵，∴异面直线和所成角为.（3）设为平面的法向量，∵，，∴，即，设，，∴，设与平面所成角为，∵，∴，，，，（舍），，∴的长为.25．（1）因为，为的中点，所以，且．连结．因为，所以为等腰直角三角形，且 由知．由知平面．（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ．由已知得 取平面的法向量．设，则．设平面的法向量为．由得 ，可取所以 ．由已知得 ．所以 ．解得(舍去)， ．所以 ．又 ，所以 ．所以与平面所成角的正弦值为．26．(1)如图所示，连结，等边中，，则，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合⊆平面，故.(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF与平面所成角为，则.27．(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，由可得点F的坐标为，由可得，设平面AEF的法向量为：，则，据此可得平面AEF的一个法向量为：，很明显平面AEP的一个法向量为，，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.(Ⅲ)易知，由可得，则，注意到平面AEF的一个法向量为：，其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.28．依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得.设，则.(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面. (Ⅱ)依题意，，设为平面BDE的法向量，则，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.不妨令y=1，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意｡所以，线段的长为.29．（Ⅰ）证明：取中点,连接,有,因为，所以,又因为三棱柱为直三棱柱，所以,又因为,所以， 又因为所以又因为,平面,平面,所以，又因为平面,所以,因为，所以, 连接,设，因为为正方形，所以,又因为所以,又因为为的中点，所以为的中点,所以. （Ⅱ）如图以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设,由（Ⅰ）可知，所以，所以,所以,所以， 设平面的法向量为，则即则的一组解为． 所以 所以直线与平面成角的正弦值为.