（人教A版2019选择性必修第一册）高二数学《考点题型 技巧》精讲与精练高分突破 专题强化训练三 向量与立几25道必刷解答题【附答案详解】

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高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)专题强化训练三：向量与立几25道必刷解答题1．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，侧面为等边三角形．（1）求证：；（2）若的大小为，求的正弦值．2．如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于，平面，为的中点，点在上，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．3．如图，四边形是直角梯形，∥，，，，平面，为的中点．（1）求证：直线平面；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．4．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求点到平面的距离；（4）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.5．如图，在四棱锥中，底面，四边形中，，.（1）求证：平面平面；（2）设，若直线与平面所成角大小为30°，求线段的长.6．如图1，在等腰中，，D，E分别为，的中点，F为的中点，G在线段上，且.，将沿折起，使点A到的位置（如图2所示），且.（1）证明：平面；（2）求平面平面所成锐二面角的余弦值.7．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.（1）求证：平面，平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.8．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，.（1）求与平面所成角的正弦；（2）求点到面PBC的距离.9．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等边三角形，为的中点，为的中点，.（1）求证：平面.（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.10．如图所示，在等腰梯形中，，，，，平面，．（1）求证：平面；（2）若为线段上一点，且，是否存在实数，使平面与平面所成锐二面角为？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．11．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点.（1）求直线与平面的夹角余弦值；（2）求平面和平面的夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离.12．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60，DEAB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1DDC，如图2.（1）求证：A1E平面BCDE；（2）求二面角E—A1B—C的余弦值.13．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，是等边三角形，是棱的中点，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.14．如图，在多面体中四边形是正方形，平面，平面，．（1）证明：平面平面．（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．15．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．（1）求证平面；（2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由．16．如图1，在平面四边形ABCD中，BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且ME⊥AB.沿着AC将△ACD折起来，使得平面ACD⊥平面ABC，如图2.（1）求证∶BC⊥AD；（2）求二面角A-DM-E的余弦值.17．如图，在底面为矩形的四棱锥中，为棱上一点，底面．（1）证明：；（2）若，，求二面角的大小．18．如图在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，E为中点，平面平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19．如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，.（1）求证：；（2）若为棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值.20．如图①，在直角梯形中，，，，的是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图②．（1）证明：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．21．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．22．如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.23．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．24．（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.25．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 参考答案1．（1）取的中点，连接，，，如图，因为正三角形，则，又底面是菱形，且，则是正三角形，于是得，而，平面，则平面，又平面，所以；（2）由(1)知的平面角为，即，，显然平面平面，在平面内过作，平面平面，则平面，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，，设的大小为，从而得，所以的正弦值为.2．（1）设交于，连结，因为，分别是，的中点，则G为的重心，所以，易知O为AC的中点 ，所以．又因为，所以，所以∥，又因为平面，平面，所以∥平面．（2）如图，以为原点，OA，OB，OP分别为，，轴，建立空间直角坐标系．设．在菱形中，因为，所以是等边三角形，故．又因为，平面，所以．所以，，，，所以，，，设平面（即平面）的一个法向量为，由，取，则.设平面PAB（即平面FAB）的一个法向量为，由，取a=1，则.所以．由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．3．（1）取的中点，连接，，又∵是的中点，∴∥，.∵∥，，∴∥，且，∴四边形是平行四边形，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面.（2）∵AB∥DC，AB⊥AD，∴∠ADC=90°，由AB=AD=1，则，且∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∵DC=2，则在中，由余弦定理：，∴，∴，∴BD⊥BC.又底面，设，则，解得，∵E为PC的中点，∴.∴以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，，.设平面的一个法向量为，则，令y=1，则.设平面的一个法向量为，则，令b=1，则.∴，∴二面角的平面角的正弦值为.4．【详解】（1）证明：以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，，，因为，分别为，的中点，则，，由题意可知，是平面的一个法向量，又，所以，又平面，故平面；（2）解：由（1）可知，，，，设平面的法向量为，则，令，则，故，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，故二面角的正弦值为；（3）解：因为，，，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为；（4）解：由题意，设，其中，则，所以，又时平面的一个法向量，因为直线和平面所成角的正弦值为，则，整理可得，又，解得或（舍），故线段的长为.5．（1）证明：底面，平面，又，且，平面，又平面，所以平面平面；（2）如图以为原点，以，，所在直线为轴建立空间坐标系，在底面内，作交于E，则，在直角中，设，则，，由，则，则，，， 所以，， 设平面的法向量为，得，取，则故由直线与平面所成角大小为30°，则有，即，化简得：，解得：或（舍去，因为），即. 6．解：（1）证明：取的中点M，连接，∵，∴G为的中点，又F为的中点，所以，由，，∴平行四边形，∴，所以，又平面，如图，所以平面；（2）根据题意，以F为原点，直线为x轴，过F平行于的直线为y轴，直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，由，得，故，设平面的法向量，由，得，故，∴，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.7．解：（1）证明，在梯形中，∵，，，∴，，∴，∴.∵平面平面，平面平面，平面，，又∵，∴平面.又四边形是矩形，∴，∴平面，∴，∵，∴平面.（2）由（1）可建立直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，∴，.设为平面的法向量，由，得，取，则.∵是平面的一个法向量，∴.∵，∴当时，有最大值，∴的最小值为.8．（1）因为底面是矩形，平面，所以以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，即，设与平面所成角为，则（2），，设平面的法向量，则，令，即，设点到面PBC的距离为，则9．（1）连接，.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，∴是边长为2的等边三角形，又是等边三角形，∴是等腰三角形.∵为的中点，∴，又，，∴由勾股定理得，∴，又由，都是边长为2的等边三角形，可知，∴，∴，由为等边三角形，为的中点，可知.又∵，平面，平面.∴平面.（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴.设平面的法向量为，则，即.令，则，，∴.设平面与平面所成锐角为，则，平面与平面所成锐角的余弦值为.10．（1）因为，，所以四边形ACFE为平行四边形，所以．在等腰梯形ABCD中，，，所以，所以．又平面ABCD，所以BC，平面BCF，所以平面BCF．因为，所以平面BCF；依题意，以C为坐标原点，分别以直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，设所以 设为平面MAB的法向量，由得取，所以因为是平面ABC的一个法向量，设平面MAB与平面ABC所成的锐二面角为，所以．因为，所以，所以所以存在使平面MAB与平面ABC所成锐二面角为．11．因为平面，且四边形是矩形，所以两两垂直，所以分别以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系：（1），，，，所以，，设平面的法向量为，由可得，取则，，所以，记直线和平面的夹角为.则，所以，（2）由图可知，平面即平面.所以平面的法向量为记面和面的夹角为.则由图可知面和面夹角为锐角所以；（3），，平面的法向量为设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.12．解:（1）证明:∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60，DEAB于点E∴，，∴. 又∵，，∴平面，∴. 又∵，，∴平面. （2）∵平面，，∴以，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系（如图）.易知，则，，，，∴，，易知平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，由，，得，令，得，∴.由图得二面角为钝二面角，∴二面角的余弦值为. 13．（1）证明：因为，，所以四边形是平行四边形，所以.在等边中，是中点，，所以.在中，，所以，所以.又因为，，所以平面.（2）解法一：因为平面，所以三棱锥的体积为.设点到平面的距离为，又，所以三棱锥的体积为.由，得，所以.设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.解法二：因为平面，，所以，以为原点，分别以射线，，为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的一个法向量为.由得取，得.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.14．（1）证明：因为平面，平面，所以．因为平面，平面，所以平面．因为四边形是正方形，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面，且，所以平面平面．（2）解：由题意可知，，两两垂直，则以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，从而，．设平面的法向量为，则，令，得．平面的一个法向量为．故，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．15．（1）因为平面，所以，又，，所以平面，又，所以面，面，．又，为的中点，所以，而，所以平面．（2）以A为坐标原点，所在方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．所以，设（），所以，则，所以，，设平面的法向量为，则，，即，令，则，由（1）可知为平面的一个法向量，若平面平面，则，即，解得．即时平面平面.16．（1）∵平面ACD⊥平面ABC.平面ACD∩平面ABC=AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD，∵AD平面ACD，∴BC⊥AD.（2）根据题意，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立如图的空间直角坐标系，∵BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，∴BC=2，AC=，CD=，CM=AC-AM=.∴，∴，，设平面MDE的法向量为，则，即，令，得y=3，z=-1，∴，由（1）知，平面MAD的一个法向量为=（0，2，0），∴.∴二面角A-DM-E的余弦值为.17．（1）因为四边形为矩形，则，平面，平面，则，，平面，平面，因此，；（2）平面，不妨以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，设平面的法向量为，，由，取，可得，所以，，由图可知，二面角的平面角为钝角，因此，二面角的大小为.18．（1）连接交于点O，连接、，因为为等边三角形，所以，因为底面为正方形，所以，因为，所以平面，又平面，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为E为中点，所以，则平面.（2）如图，以分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设，则，所以，，，，则，，，因为平面平面，且平面平面=BD，,所以面EBD,所以平面的法向量为，设平面的法向量为，则，所以，不妨设x=1，所以，所以，显然二面角的平面角为锐角或直角，所以二面角的余弦值为.19．（1）∵，，为的中点，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴.（2）∵，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，分别以，，所在的直线为，，轴，建立直角坐标系，如图所示，则，，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，，即，令，则，∴直线与平面所成角的正弦值.20．（1）在题图①中，因为，，是的中点，，所以，即在题图②中，，，又，所以平面．又，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面．（2）由已知，平面平面，又由（1）知，，，所以为二面角的平面角，所以．如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．因为，，所以，，，，则，，．设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为．则即可取；即可取．从而，即平面与平面夹角的余弦值为．21．（1）由题设，知为等边三角形，设，则，，所以，又为等边三角形，则，所以，，则，所以，同理，又，所以平面；（2）过O作∥BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的一个法向量为，由，得，令，得，所以，设平面的一个法向量为由，得，令，得，所以故，设二面角的大小为，则.22．(1)如图所示，连结，等边中，，则，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合⊆平面，故.(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF与平面所成角为，则.23．(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，由可得点F的坐标为，由可得，设平面AEF的法向量为：，则，据此可得平面AEF的一个法向量为：，很明显平面AEP的一个法向量为，，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.(Ⅲ)易知，由可得，则，注意到平面AEF的一个法向量为：，其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.24．（1）由题设可得，，从而.又是直角三角形，所以.取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于是正三角形，故.所以为二面角的平面角.在中，.又，所以，故.所以平面ACD⊥平面ABC.（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.故.设是平面DAE的法向量，则即 可取.设是平面AEC的法向量，则同理可取.则.所以二面角D-AE-C的余弦值为.25．（1）由题意，因为，，，∴，又∴，∴，∵侧面，∴.又∵，，平面∴直线平面.（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，设平面的一个法向量为，∵，∴，令，则，∴设平面的一个法向量为，，，∵，∴，令，则，∴，，，，∴.设二面角为，则.∴设二面角的余弦值为.（3）假设存在点，设，∵，，∴，∴∴设平面的一个法向量为，∴，得.即，∴或，∴或.