高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算课后复习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算课后复习题，共29页。

考点一 向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
考点二 向量加法的运算律
技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
考点三：相反向量
1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
考点四：向量的减法
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq \(BA,\s\up6(→))，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
【题型归纳】
题型一：向量加法法则
1．（2023·全国·高一）化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·云南省南涧县第一中学）如图，在等腰梯形中，，，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（ ）
A．B．
C．D．
题型二：向量加法法则的几何应用
4．（2023·广东普宁·高一期末）如图所示，正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高一专题练习）已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·陕西渭滨·高一期末）已知为三角形所在平面内一点，，则（ ）
A．B．C．D．
题型三：向量减法法则
7．（2023·江苏通州·高一期中）如图所示，在中，等于（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·陕西·咸阳百灵学校高一阶段练习）如图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·山东滨州·高一期末）在中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型四：向量加减法的运算律
10．（2023·河北·武安市第一中学高一阶段练习）下列各式中不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2018·四川·威远中学校高一期中（理））若、、、是平面内任意四点，给出下列式子：①，②，③．其中正确的有（ ）．
A．3个B．2个C．1个D．0个
12．（2020·山西·大同一中高一阶段练习）已知是所在平面内一点，为线段的中点，且，那么
A．B．C．D．
题型五：向量减法法则的几何应用
13．（2022·湖南·高一课时练习）平面上有三点A，B，C，设＋，－，若，的长度恰好相等，则（ ）
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
14．（2023·湖南·高一阶段练习）在中，点，在边上，且，为边上的三等分点（其中为靠近点的三等分点），且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
15．（2023·江苏·高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH，其中，则给出下列结论：
①；②；③．
其中正确的结论为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【双基达标】
一、单选题
16．（2022·黑龙江·铁人中学高一开学考试）化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
17．（2022·全国·高一）设、是非零向量，则“、共线”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
18．（2023·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·全国·高一课时练习）下列四式不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023·全国·高一）已知平面内作用于点O的三个力，，，且它们的合力为，则三个力的分布图可能是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2023·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是（ ）
A．＋＋B．＋＋＝
C．＋＋＝D．＋＋＝
22．（2023·江苏省天一中学高一期中）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【高分突破】
一：单选题
23．（2023·江苏·南京师大附中高一期中）已知，，，是平面内的四个点，满足，则（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·全国·高一课时练习）下列说法中，正确的个数为（ ）
①如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同；
②在中，必有＝；
③若＝，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；
④若，均为非零向量，则．
A．0B．1C．2D．3
25．（2023·全国·高一课时练习）如图，是⊙的直径，点、是半圆弧上的两个三等分点，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·全国·高一专题练习）设为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
27．（2023·全国·高一课时练习）已知，且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
28．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2023·广东·江门市新会第二中学高一阶段练习）下列各式结果为零向量的有（ ）
A．B．
C．D．
30．（2023·河北石家庄·高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．若，则与为相等向量
B．若与方向相反，则与为相反向量
C．若，则A，B，C，D四点一定可以构成平行四边形
D．两个单位向量之和可能仍然是单位向量
31．（2020·江西修水·高一期末）已知梯形中，，且，为的中点，则下列各式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
32．（2020·海南鑫源高级中学高一期末）下列各式化简结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
33．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设则________.(用，表示)
34．（2022·湖南·高一课时练习）有下列三个命题：
①若，，则；
②的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；
③若且，则．
其中正确的命题有______．
35．（2023·北京丰台·高一期中）如图，在中，是上一点，则_____．
36．（2023·海南·北京师范大学万宁附属中学高一阶段练习）设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，，，则___________.
四、解答题
37．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝，＝，＝，试用表示向量，，，及．
38．（2022·湖南·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
39．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知向量，不共线，求作向量．
40．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线eq \(OC,\s\up6(→))就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
区别
联系
三角形法则
(1)首尾相接
(2)适用于任何向量求和
三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
【答案详解】
1．B
【详解】
对于①：，
对于②：，
对于③：，
对于④：，
所以结果为的个数是，
故选：B
2．C
【详解】
如图，作，由题意得，，所以是等边三角形，则，所以.
故选：C
3．B
【详解】
.
故选：B
4．C
【详解】
解：正六边形中，
，；
．
故选：．
5．D
【详解】
解：根据题意，设AB的中点为D，是等边三角形，则，
AB的中点为D，则，
又由，则，则O是CD的中点，
又由的边长为4，则，，则，
则，
故选：D．
6．B
【解析】
【分析】
题目考察三角形四心的问题，易得：为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角形面积的比例关系
【详解】
如图所示，由得：为三角形的重心，是中线的交点，
且，所以，，底边为，
所以，
故选：B
7．C
【解析】
【分析】
根据向量加法与减法法则运算求解即可；
【详解】
解：对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易知，故错误；
对于B选项，，故错误；
对于C选项，，满足；
对于D选项，，故错误.
故选：C
8．A
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于A：因为，所以，故选项A正确；
对于B：，故选项B不正确；
对于C：，故选项C不正确；
对于D：，故选项D不正确；
故选：A.
9．B
【解析】
【分析】
利用向量加法和减法计算即可求解.
【详解】
，
故选：B.
10．D
【解析】
【分析】
根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案.
【详解】
；
；
；
.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的加减运算，关键是准确灵活使用向量的加法和减法运算法则，注意使用相反向量进行转化.
11．B
【解析】
【详解】
分析：利用向量的运算法则即可判断出．
详解：①式的等价式是=-，左边=+，右边=+，不一定相等；
②的等价式是：-=-，左边=右边=，故正确；
③的等价式是：=+，左边=右边=，故正确；
所以综合得正确的有2个，所以选B.
点睛：熟练掌握向量的运算法则是解题的关键．
12．A
【解析】
【分析】
所给等式可整理为，再由为的中点得，推出，得解.
【详解】
因为，所以，
因为为的中点，所以，
则.
故选: A
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
13．C
【解析】
【分析】
先证明出A、B、C三点不共线，然后画出图形，利用向量的加法及减法运算法则求出，利用模长相等得到平行四边形ABCD为矩形，从而得到△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，选出正确答案.
【详解】
当A，B，C三点共线时，若与方向相同，则的长度大于的长度，若与方向相反，则的长度小于的长度，故，的长度不可能相等，故A，B，C三点必不在同一直线上，A错误；
如图所示，作平行四边形ABCD，
则＋＝，
－＝－＝．
∵|m|＝|n|，
∴||＝||．
∴平行四边形ABCD为矩形，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°．
故选：C
14．B
【解析】
【分析】
利用向量的加法、减法线性运算即可求解.
【详解】
，
所以，.
故选：
15．C
【解析】
根据平面向量的线性运算逐项进行化简计算，由此确定出正确选项.
【详解】
对于①：因为，故①错误；
对于②：因为，则以为邻边的平行四边形为正方形，
又因为平分，所以，故②正确；
对于③：因为，且，
所以，故③正确，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键利用合适的转化对向量的减法运算进行化简，由此验证关于向量的等式是否正确.
16．D
【解析】
【分析】
由向量的加法三角形法则和向量加法三角形法则可得.
【详解】
；；
；.
故选：D
17．B
【解析】
【分析】
利用特例法结合共线向量的性质以及充分条件、必要条件的定义判断了得出结论.
【详解】
解：已知、是非零向量，若、共线，取，则，
另一方面，若，则、方向相同，
即“”“、共线”，
因此，“、共线”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
18．A
【解析】
【分析】
由向量的加减运算法则即可求解.
【详解】
解：，
故选：A.
19．D
【解析】
【分析】
由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．
【详解】
A项中，；
B项中，；
C项中，；
D项中，.
故选：D.
20．C
【解析】
【分析】
根据平面向量的加法和减法的几何意义进行判断即可.
【详解】
根据平面向量加法和减法的几何意义可知选项C符合题意，
故选：C
21．D
【解析】
【分析】
根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】
＋＋＝＋，A正确；
＋＋＝＋＋＝，B正确；
＋＋＝＋＝＋＝，C正确；
＋＋＝＋0＝＝≠，D错误，
故选：D．
22．A
【解析】
【分析】
根据向量的加减法法则可得，结合题意即可得出结果.
【详解】
因为，，
所以，
所以为等边三角形．
故选：A．
23．D
【解析】
【分析】
平面向量的线性运算即可求解.
【详解】
由可得： 即，
所以，
故选：D．
24．B
【解析】
【分析】
利用向量加法的运算法则以及向量加法的几何意义逐一判断即可.
【详解】
对于①，当非零向量与互为相反向量时，，
因为的方向是任意的，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，当＝时，A，B，C三点可能共线，也可能不共线，故③错误；
与都是非零向量，，
当且仅当与同向时取等号，故④错误；
故选：B
25．D
【解析】
【分析】
连接、、，分析出四边形为平行四边形，利用平面向量加法的平行四边形法则可得出结果.
【详解】
连接、、，如图．
由于点、是半圆弧上的两个三等分点，则，
，则、均为等边三角形，，
，，同理可知，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于分析出四边形为平行四边形，进而利用平面向量加法的平行四边形法则求解.
26．B
【解析】
【分析】
由，结合得出.
【详解】
由题意可知，为所在平面内一点，，如下图所示
①；②
因为，代入①中可得③
由②③可得，
故选：B
27．B
【解析】
【分析】
利用向量的加减法法则求解即可
【详解】
由题意得，,
所以，即，
故选：B.
28．CD
【解析】
【分析】
根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.
【详解】
由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，
因为，故A错误；
由, 故B错误；
因为, 故C正确；
因为
, 故D正确.
故选：CD
29．ACD
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算逐个求解即可
【详解】
对A，，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确；
故选：ACD
【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题
30．ABC
【解析】
【分析】
根据相等向量的概念，可判断A错；根据相反向量的概念，可判断B错；根据向量相等，可得四点可能共线，判断C错；根据但单位向量的概念，可判断D对.
【详解】
若，只能表示和的长度相等，不能说明为相等向量，A错误；
相反向量是方向相反，模相等的两个向量，B错误；
若，则A，B，C，D四点可能共线，不能构成平行四边形，C错误；
单位向量是模长等于1的向量，两个单位向量之和的模长可能仍然为1（如两单位向量夹角为时），故D正确.
故选：ABC.
31．CD
【解析】
【分析】
根据平行四边形法则，结合向量的运算法则对选项一一分析即可.
【详解】
由题知，，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误；
故选：CD
32．AC
【解析】
【分析】
利用平面向量加法与减法法则化简各选项可得结果.
【详解】
对于A选项，，A选项满足条件；
对于B选项，，B选项不满足条件；
对于C选项，，C选项满足条件；
对于D选项，，D选项不满足条件.
故选：AC.
33．
【解析】
【分析】
利用向量的加减法运算求解即可
【详解】
故答案为：
34．①③
【解析】
【分析】
①根据题设有即可判断；②根据相等向量的定义判断；③应用向量的加法及零向量的性质判断.
【详解】
①由题设，，即，正确；
②的等价条件是模长相等且方向相同，与起止点的位置无关，错误；
③由题设，，正确.
故答案为：①③
35．
【解析】
【分析】
根据题意利用向量加法与减法法则运算即可.
【详解】
由题意得.
故答案为:
36．
【解析】
【分析】
在与中利用向量加法和减法法则即可作答.
【详解】
依题意，在中，；
在中，，
所以.
故答案为：
37．＝，＝－，＝－，＝－，＝－＋．
【解析】
【分析】
根据图形，利用平面向量加减的运算法则，用、、表示目标向量，即可得结果.
【详解】
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝，＝－＝－，＝－＝－，＝－＝－，
∴＝＋＝－＋．
38．(1)；
(2)；
(3).
(1)
.
(2)
.
(3)
.
39．作图见解析，
【解析】
【分析】
利用向量的加法法则求解.
【详解】
如图，
在平面内任取一点O，作，．
因为，即，
所以．
40．
【详解】
如图，连接DE， EF， FD,
因为D， E， F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形．
由向量加法的平行四边形法则，得①,
同理②，③，将①②③式相加，
.