【备战2024年中考】中考数学几何专项练习：相似模型--平行线构造“A、X”型相似三角形（教师版+学生版）.zip

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一、单选题
1．如图，点分别在的边上，且，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行可判定两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
2．如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可．
【详解】∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
设为x，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
即，
得，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
3．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
4．如图，在中，为上一点，连接，，且与相交于点，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
∴，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．如下图，如果，若，，，则（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】根据平行线所截线段成比例可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．
6．如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，首先得到，，然后证明出，进而得到，然后利用三角形面积公式求出，最后利用求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵D、E分别为中点，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）

A．1B．C．2D．3
【答案】C
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则．
【详解】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．如图中，，点D，E分别是边，的中点，点G，F在边上，四边形是正方形． 若，则的长为 （ ）

A．2cmB．cmC．4cmD．8cm
【答案】B
【分析】首先过点作于点，由三角形中位线的性质，可求得的长，由于四边形是正方形，易求得的长，然后由勾股定理求得的长．
【详解】解：过点作于点，
点D，E分别是边，的中点，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在中，
，

故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
二、填空题
9．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．

【答案】
【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．
10．如图，矩形中，，E是上一点，与交于点F．则的长为 ．
【答案】4
【分析】先利用勾股定理求出，再证明，得到，则．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．
11．如图，在矩形中，若，，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】根据矩形的性质得，，即可得出，并根据勾股定理求出，再根据，得出，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，代入数值得出答案．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
在中，．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
12．如图，与位似，位似中心为点O．已知，若的周长等于4，则的周长等于 ．
【答案】
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，，
∴，
∴的周长：的周长，
∵的周长为4，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．如图，，，交于点E，若，，则的长为 ．

【答案】7
【分析】由平行线的性质求出，，得，再由相似三角形的性质求出线段即可．
【详解】∵，
∴，，
∴，
．
故答案为：7
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
14．如图，在中，点D，E分别在上，若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】证明，根据相似三角形的性质得到，据此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
15．如图，点F在平行四边形的边上，延长交的延长线于点E，交于点O，若，则＝ ．
【答案】2
【分析】根据平行四边形中，可得，，再根据，得出，从而得出，再利用，求出的值．
【详解】解：在平行四边形中，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．如图，在矩形中，若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】由勾股定理求得的长度，再根据三角形相似得到的长度，最后再次根据勾股定理求得的长度．
【详解】解：由勾股定理可得：=4，
根据矩形的性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴=，
故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用是解题关键．
17．如图，在中，D，E分别是边，的中点，，相交于点F，则 ．
【答案】
【分析】连接，利用三角形的中位线定理，得到，得到，得到，进一步求解即可．
【详解】解：连接，
∵D，E分别是边，的中点，
则：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，利用三角形的中位线定理，证明三角形相似．
18．如图，在矩形中，E、F分别为边的中点，与分别交于点P、Q．已知，，则的长为 ．
【答案】
【分析】延长交于T，根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行得比例线段，求出的长．
【详解】解：延长交于T，如图，
∵四边形是矩形，，，
∴，
∵F为中点，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
19．如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．
【答案】/
【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值．
【详解】解：如图所示，过作，交于，
则，即：，，
，即：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
20．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1． 点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为 .
【答案】
【分析】取CF的中点G，连接BG，证出BG是△CEF的中位线，由三角形中位线定理得出BG∥EF，证出△ADF∽△ABG，得出比例式，因此AF=AG，∴FG=CG=2AF，得出AC=AF+FG+CG=5AF=3，即可得出AF的长．
【详解】取CF的中点G，连接BG，如图所示：
∵BC=1，BE=1，
∴点B为EC的中点，
∴BG是△CEF的中位线，
∴BG∥EF，
∴,
∴AF=AG，
∴FG=CG=2AF，
∴AC=AF+FG+CG=5AF=3，
∴AF=；
故答案为
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由三角形中位线定理得出BG∥EF是解决问题的关键．
21．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一直线上，且，，分别交，，于，，，则的长为 ．
【答案】/0.5
【分析】过点F作于点H，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，，，根据平行线的判定得出，得出，根据，结合，得出，根据平行线的判定得出，得出，从而求出，即可求出结果．
【详解】解：过点F作于点H，
∵，，是三个全等的等腰三角形，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，求出，．
22．如图，线段AB，AC是两条绕点A可以自由旋转的线段（但点A，B，C始终不在同一条直线上），已知AB=5，AC=7，点D，E分别是AB，BC的中点，则四边形BEFD面积的最大值是 .
【答案】
【分析】根据题意得DE∥AC，2AC=DE，可得AF=2DF，可得S△DEF=S△ADE，由D，E为中点可得S△ADB=S△ABC，S△ADE=S△ADEB=S△ABD，可求出四边形BEFD的面积和三角形ABC面积关系，可得四边形BEFD面积的最大值．
【详解】解：连接DE
∵D，E是中点
∴DE∥AC，DE=AC
∴
∴AF=2DF
∵D，E是中点
∴S△ACD=S△ADB=S△ABC
S△ADE=S△DEB=S△ADB=S△ABC
∵AF=2DF
∴S△EDF=S△ADE=S△ABC
∴S四边形DBEF=S△EDF+S△DEB=S△ABC
∴当△ABC面积最大，四边形BEFD面积的最大．
∴当AB⊥AC时，△ABC最大面积为．
∴四边形BEFD面积的最大值为．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，中位线定理，关键是利用面积法得到四边形BEFD的面积和三角形ABC面积关系，从而解决问题．
23．如图，中，，分别在边，上，，相交于点，，点为中点，则的值是 ．

【答案】
【分析】如图：延长、交于点，由平行线等分线段定理可得，进而可得，再证可得，进而得到，再证，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：如图：延长、交于点，

，
，
，
四边形为平行四边形，
，，，，
，
，即，
，
，
点为中点，
，
，
，
，
，即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键．
24．如图，是的中线，点E在上，交于点F．若，则 ．
【答案】/0.2
【分析】如图，作辅助线，由得到，故；再证明，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作，交于点G，
，
，
，
，，
，
是的中线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是正确作出辅助线．
25．如图所示，在中，，、分别是、的中点，动点在射线上，交于，的平分线交于，当时， ．

【答案】
【分析】延长交射线于，三角形的中位线定理得到，推出，，得到，进而推出，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长交射线于，

、分别是、的中点，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
由得，，
，
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是构造等腰三角形和相似三角形．
26．如图矩形中，，点分别在边上，且，连与分别交于点．则 ．

【答案】
【分析】作，得到多个相似三角形，由得出，再由得出，最后由得出，
所以可计算出．
【详解】解：作交AF于点I，则，

∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质，解题的关键是利用相似三角形的性质将线段都用表示出来，从而求解．
27．如图，在矩形中，，E，F分别为，边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，易得四边形为矩形，，推出和的长，根据，得到当O，H，D共线时，最小，进行求解即可．
【详解】解：连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N．

则：，
∵矩形，，E，F分别为，边的中点，
∴，，，，
∴四边形为矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时最小，
∴DH的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线．解题的关键是条件辅助线，构造相似三角形和直角三角形，利用两点之间线段最短得到线段的最小值．
28．如图，为矩形的对角线，平分交于点，为边的中点，连接分别交，于点，．若，，则线段的长为 ．

【答案】
【分析】根据矩形的性质由勾股定理求出，的长，证明，求出，，过点作，于点，，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
为边的中点，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
如图，过点作，于点，，

平分，
，
，
，
，
，
，
，
线段的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
29．在中，，，是中点，连接，过点作交于点，则 ．

【答案】/
【分析】作交的延长线于，令、交于点，由勾股定理可得，，由可得，从而得到，，证明得到，从而得到，证明，得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，作交的延长线于，令、交于点，
，
，
，
在中，，，是中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形面积的计算，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
30．如图，在中，，延长到点D，，点E是的中点，交于点F，则的面积为 ．

【答案】
【分析】利用三角形的面积公式求出的面积，进而求出的面积，利用中线平分面积，得到的面积，取的中点，连接，得到，推出，求出的值，利用同高三角形点面积比等于底边比，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
取的中点，连接，则：，

∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造三角形的中位线和相似三角形．
三、解答题
31．如图，在中，对角线和相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F，，求的长度．

【答案】
【分析】如图，过作，交于，则，，由平行四边形的性质可得，解得，，则，证明，则，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作，交于，

∴，
∴，
∵，
∴，解得，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
32．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
证明：连接．

结论应用：
（1）如图②，在中，，，、分别是边、的中点，、相交于点．若，则 ．
（2）如图③，在中，、分别是边、的中点，、相交于点．过点G作交AB于点F，如果的面积是9，那么的面积是 ．
【答案】证明：见解析；结论应用：（1）8；（2）2
【分析】如图①，连接，根据三角形中位线的性质得出，进而根据相似三角形的性质，即可得出结论；
（1）如图②，连接，证明，根据相似三角形的性质得出，进而根据直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，即可求解；
（2）如图③，连接，证明，得出，进而根据，即可求解．
【详解】证明：如图①，连接．
在中，，分别是边，的中点，
，，
，
，
，
；
结论应用：
（1）如图②，连接，

在中，，分别是边，的中点，
，，
∴
∴
∵，
∴
∴，
在中，，，是的中点，
则
∴；
故答案为：．
（2）如图③，连接，

在中，，分别是边，的中点，
，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴，
∵是的中点，的面积是9，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
33．已知：如图，在中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点．

(1)求证：．
(2)当点为的中点时，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以；
（2）作交的延长线于，易得从而可证，得到，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得然后利用等线段代换即可得到．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，作交的延长线于，

，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．
34．阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

(1)特例感知：如图（1），已知边长为2的等边的重心为点，则的面积为______；
(2)性质探究：如图（2），已知的重心为点，对于任意形状的，是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；
(3)性质应用：如图（3），在任意矩形中，点是的中点，连接交对角线于点，的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，
(3)是，12
【分析】（1）连接，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出的长，运用三角形面积公式求解即可；
（2）根据（1）的证明可求解；
（3）由得到，即可求得答案．
【详解】（1）解：连接，如图一，

点是的重心，
，是，边上的中线，
，为，边上的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，，，
，，
，；
故答案为：；
（2）由（1）同理可得，，是定值；
（3）矩形，点是的中点，
，
，
，
，
，
定值为12．
【点睛】本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
35．如图，中，为边上的高，的平分线分别交于点F，E．

(1)求证：；
(2)若，求的面积；
(3)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，即可求证；
（2）过点E作于点M，根据角平分线的性质可得，设，则，再根据，可得，从而得到．然后由，即可求解；
（3）由（2）知，，，再根据，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵为边上的高，
∴，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点E作于点M，

在中，，
∴．
∵平分，，
∴．
设，则，
∵，，
∴，
∴．
∴，解得，
∴．
由（1）知，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
36．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1
(1)求证：；
(2)求BD的长，
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可知，得，，根据相似三角形的判定定理可求解；
（2）根据相似三角形的性质，可得，由M是中点，易证即，设，列方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
，，
；
（2）解：，
，
为AD中点，
，
即，
，
即，
设，则有，，，
，
解得：，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
37．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E、F是CD上的点．
（1）求证：△MEF∽△MBA；
（2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF=EC．
【答案】解：（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出角相等，再根据相似三角形的判定得出答案；
（2）由AB∥CD，得∠DFA=∠FAB，再由角平分线的定义得出∠DAF=∠FAB，从而得出∠DAF=∠DFA，即DA=DF，同理得出CE=CB，由平行四边形的性质得出DF=EC．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴∠EFM=∠MAB，∠FEM=∠MBA，
∴△MEF∽△MBA；
（2）∵AB∥CD，
∴∠DFA=∠FAB，
∵AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DA=DF，
同理得出CE=CB，
∵AD=BC，
∴DF=EC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．
38．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．

(1)求的值．
(2)若，
①求证：．
②求证：．
【答案】(1)
(2)①详见解析；②详见解析
【分析】（1）结合题意，根据平行线的性质，通过证明，得；再结合，根据平行线性质，通过证明，根据相似比的性质计算，即可得到答案；
（2）①，根据题意计算得；结合（1）的结论，得，从而推导得，通过证明，即可完成证明；
②根据（2）①的结论以及平行线的性质，证明，根据相似三角形的性质计算，即可完成证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）证明：①设，
∵，
∴，
∴，
由（1）的结论，得：，
∴，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形、平行线、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相似三角形的性质，从而完成求解．
39．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)若菱形中，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
（2）利用菱形与矩形的性质先求解，再证明，可得，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，
∵平行四边形是矩形；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形为矩形是解题的关键．
40．在中，点，分别在边，上，连接，交于点，且，
(1)求证：：
(2)当为边的中点时，且，
①若，求；
②若为等腰直角三角形，且，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据三角形的外角定理可得，，证得，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（2）①过点做，设，则，根据中位线的性质得，得出相似比，求得各边，再根据（1）的结论，列方程求解即可；
②过点做，垂足为点，由等腰直角三角形的性质得且，推出，根据相似三角形对应边成比例和中点的性质，求得各边，再根据代入求解即可．
【详解】（1）证明：，，
又，
且，
，
，
即：；
（2）解：①过点做，
设，则，
又为中点且，
．
，
，
，，
又，
，
解得：；
②过点做，垂足为点，
为等腰直角三角形，
且，
，
，
又，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，中线、中点的性质，正确作出辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
41．如图，四边形为边长为8的正方形，点为边中点，，分别为边，上两动点，于.
(1)求证：；
(2)若点为中点，连接并延长交于点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作，垂足为点，证明即可；
（2）延长交的延长线于点，由点为中点且，可得，又由点为中点，得，即．
【详解】（1）（1）证明：过点作，垂足为点，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴．
∵四边形为正方形，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：（2）延长交的延长线于点，
∵点为中点且，
∴，
又∵点为中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例定理，综合运用以上知识是解题的关键．
42．如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答；
（2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
，
，
∴，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
设,则，
可得方程，
解得，
即的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．
43．如图，在中，为的中点，，与分别相交于点，．
(1)求的值；
(2)若，且，．求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据为的中点，得出，根据平行四边形的性质得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）连接，则，根据（1）的结论得出,根据已知条件得出是直角三角形，且，勾股定理求得，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据（1）中，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图，连接，
∵在中与分别相交于点，，
∴，
∵，，，则
∴，解得：,
又∵为的中点，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴
又∵为的中点，
∴
∵
∴
在中，，
∴，
在中，，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．
44．已知是等边三角形，是直线上的一点．
(1)问题背景：如图，点，分别在边，上，且，与交于点，求证：；
(2)点，分别在边，上，与交于点，且．
①尝试运用：如图，点在边上，且，求的值；
②类比拓展：如图3，点在的延长线上，且，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，得出，根据三角形外角的性质即可得证；
（2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点，证明，,证明，设，，则，证明得出，即可求解；
②延长至，使，连接交于点，过点作交于点，证明，，设，，则，证明，，根据相似三角形的性质列出比例式，继而即可求解．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点，
由（1）可知，
，
，
∴，,
∴，，
∴ ，
∵，
∴，
设，，则，
，

，即，
，
，
，
，
，
解得或(舍)，
∴；
②延长至，使，连接交于点，过点作交于点，
由（1）可知，
，
，，
∴，
，
设，，则，
∵，
∴，
∵，
，，
∴，
∴
∴，
解得或，
∴或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造相似三角形是解题的关键．
45．[基础巩固]
(1)如图①，在中，，于点，求证：．
[尝试应用]
(2)如图②，在矩形中，，点在上，，于点，求的长．
[拓展提高]
(3)如图③，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，为中点，连接交于点，，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案；
（2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）中，得到，计算即可得到答案；
（3）由与关于直线对称，得，从而得到，，再通过证明得到，由（1）可得，，设，则，，解方程求出的值即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
由（1）可知，
，解得；
（3）解：在矩形中，，
，
与关于直线对称，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
由（1）可知，设，则，
，解得，（负值，舍去），
的长为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键．
46．如图，矩形的对角线、相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：；
(3)若，，求线段的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）由已知可证得，，根据相似三角形的对应边成比例即可得到；
（3）由已知可得到，的长，又因为，从而求得的长，则根据﹣就得到了线段的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
，，
延长到点，使，
，，
四边形是平行四边形；
（2）证明：是矩形，且，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
（3）解：四边形为平行四边形，，相交点，
，，
在中，，
，
在中，，
，
，
∴，
，
，
，
-．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．
47．如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接
(1)求证：
(2)若是的中点，求的值．
(3)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)的值为12
【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质进行证明．
（2）先证明，求出，再利用相似三角形的性质即可求解．
（3）利用全等和相似进行线段之间的关系转化，先求出，再求出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
若，
∴，即
∵
∴，
∴
∴；
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现全等三角形和相似三角形，能利用它们的性质进行线段之间的关系转化．
48．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内容．
如图，在中，D是边的四等分点， ，，，．求四边形的周长．
问题解决：请结合图1给出解题过程．
问题探究
（1）如图2，在中，D是边上的一点，过点D作，交于点F，过点D作，交于点E，延长至H，使，连接交于G．若．的面积为2，则的面积为______．
（2）如图3，在中，D是边上的一点，且，连接，E为上一点，连接交于点F，若F为的中点，的面积为m，则的面积为______（含m的代数式表示）．
【答案】问题解决：18；问题探究：（1）；（2）
【分析】问题解决；先得到，再证明，求出，；进一步证明四边形是平行四边形．得到，由此即可得到答案；
问题探究：（1）首先证明，得，推出，则，证明，得到，再由，得到，则，进而得到，则；
（2）连接，过点D作，交于G，先得到，证明，推出，，设，则，则，，证明，推出，得到，则，即可得到，则．
【详解】解：问题解决：∵D是的四等分点，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∴四边形周长；
问题探究：（1）连接，
由问题解决同理可得：四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）连接，过点D作，交于G，
∵点F为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，，
设，则，
∵的面积为m，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形，构造相似三角形是解题的关键．
49．探究题：
(1)特例感知：如图①，在中，，点D是边上的中点，，交的延长线于点E，，，则 度；的长为 ；
(2)数学思考：如图②，在中，，点D是边上的一点，且，，交的延长线于点E，，．求的度数和的长．
(3)拓展应用：如图③，在四边形中，，，对角线相交于点E，且，，．求的长．
【答案】(1)；
(2)，
(3)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据含30角的直角三角形的性质求得，然后根据勾股定理和平行线的性质求解和即可；
（2）先根据平行线的性质求得，进而利用等角对等边证得，证明求得，即可求解；
（3）过D作于H，则，可证得，利用相似三角形的性质得到，，进而有，然后根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而有，，再根据等角对等边证得，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图①，∵在中，，点D是边上的中点， ，
∴，则，
∵，∴，
∴，则，
∵，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：如图②，∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，又，，
∴，则，
∴；
（3）解：如图③，过D作于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，又，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、含30角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．
50．如图1，在正方形中，是上一点，作，垂足为点，交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，延长交的延长线于点；
①如果是的中点，求的值；
②如果，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）设正方形的边长为，，由，可得，，，根据相似三角形的性质得出比例式，分别求得，得出，进而根据建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵在正方形中，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）①解：∵是的中点，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
在和中，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
∴的值为；
②∵，
∴，，
设正方形的边长为，，
则，
，
∵，
，，，
，，
即，，，
∴，
∴，
，
，
，
即，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
51．如图，矩形中，．是边上一动点（不与点重合），延长到，使，，交于点，连接并延长交于点．
(1)若，求证：；
(2)探究：当点运动时，点的位置是否发生变化？请说明理由；
【答案】(1)见解析
(2)不发生变化，理由见解析
【分析】（1）先利用矩形的性质证得，，再利用，求得，最后即可证得．
（2）点F的位置不发生变化．先利用，求得，再利用矩形的性质证得，，利用相似三角形的性质可求得即可得到，证得当点P运动时，点F的位置是不发生变化．
【详解】（1）∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
∴．
（2）解；点F的位置不发生变化．
理由为：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴当点P运动时，点F的位置是不发生变化．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关定理，进行推理论证．
52．已知是等边三角形，D是直线上的一点．
(1)问题背景：如图1，点D，E分别在边，上，且，与交于点，求证：；
(2)点G，H分别在边，上，与交于点，且．
①尝试运用：如图2，点D在边上，且，求的值；
②类比拓展：如图3，点D在的延长线上，且，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)①3；②或
【分析】（1）利用证明，再由等量代换证明；
（2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点，由（1）可知，则，再由平行线的性质可得，即设，，则，由，可得，，从而得到等式，求出，即可求；②延长至，使，连接交于点，过点作交于点，由（1）可知，则，可得，设，，则，可知，再由，分别得到，，从而得到方程，求出或，即可求或．
【详解】（1）解：证明：是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点，
由（1）可知，
，
，
，，
，
，
，
设，，则，
，
，即，
，
，
，
，
解得或（舍），
；
②延长至，使，连接交于点，过点作交于点，
由（1）可知，
，
，
设，，则，
，
，
，
，，
，，
解得或，
或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行分线段，熟练掌握性质定理是解题的关键．
53．综合与探究
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长．
【答案】(1)
(2)．证明见解析
(3)．
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）通过证明，利用相似三角形的性质，即可求解；
（3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设与相交于点，如图，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：．
证明：∵，
∴．
在矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点．
∴四边形是矩形．
∵，，
∴．
∴．
由（2）知，
∴．
在中，，
∵
∴，
∴，
即，
解得．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
54．【教材呈现】如图是苏科版版数学教材第86页的部分内容．
(1)【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
(2)【定理应用】如图②，四边形中，M、N、P分别为的中点，边延长线交于点E，，则______．
(3)如图③，在中，，，E、F分别为上一点，M、N分别为的中点．当时，______．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由中点性质得到，根据，推出，据此即可证明结论成立；
（2）根据（1）的结论推出，，根据即可求解；
（3）取AB的中点G，求得，，根据（1）的结论得到，利用勾股定理即可求解.
【详解】（1）证明：∵点D、E分别是与的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，且；
（2）解：∵M、N、P分别为的中点，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图③，取AB的中点G，连结，

∵，，
∴，，
∴M、N分别为的中点，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴MN=，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的外角等于与它不个邻的两个内角的和、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，属于考试压轴题．
55．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图①，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，，求证．
【类比探究】
(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．
【拓展延伸】
(3)如图③，在中，，点在边上，连接，过点作于点，的延长线交边于点若，，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等，利用证明即可；
（2）根据同角的余角的相等，得，证明∽，则；
（3）过点作，延长交于点，首先根据，可得，则，再由同理得，得，进而解决问题．
【详解】（1）证明：如图，设与的交点为，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图，设与交于点，

四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，过点作，延长交于点，

在中，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形中十字架模型是解题的关键．
56．请阅读下列材料，非完成相应的任务．
任务：
(1)请补充材料中剩余部分的解答过程．
(2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选）
A．方程思想 B．转化思想 C．分类思想 D．整体思想
(3)请你换一种思路求的值，直接写出辅助线的作法即可．
【答案】(1)见解析
(2)B
(3)见解析
【分析】（1）通过过点D作交于点H．根据的中线的定义即可得到，根据平行线分线段成比例即可得到与，根据即可得到，进一步即可求出答案；Ｄ
（2）由上述解题过程即可得到求的值转化为了求与的值，通过转化即可求出答案，即可判断出答案；
（3）通过过点D作交于点M，根据的中线的定义即可得到，进一步得到，根据平行线分线段成比例即可得到与，根据，即可得到，进一步即可求出答案．
【详解】（1）∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）上述解题过程主要用的数学思想是转化思想
故选B
（3）解：如图，过点作交于点．
∵是的中线，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴

【点睛】本题考查利用辅助平行线求线段的比，作出辅助线，利用平行线分线段成比例进行转化是解题关键．
57．如图①在中；、分别是边、的中点，、相交于点．

(1)结论应用：连接，结合图①，求证：．
(2)在平行四边形中，对角线、交于点，为边的中点、交于点．如图②，若平行四边形为菱形，，且，求的长．
(3)如图③，连接交于点，若四边形的面积为，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）如图①，连接，根据三角形的中位线定理可得，，进而可得，然后根据相似三角形的性质和比例的性质即可证得结论；
（2）根据正方形的性质可得，，，进而可得，于是，进一步即可推得与的关系，即可求解；
（3）如图③，连接，由题的结论可推出，进而可得与的面积比为，同理可得与的面积比，进一步即可求出的面积，而，即可求解．
【详解】（1）证明：如图①，连接，
在中，，分别是边，的中点，
，，
，
，
，
；

（2）解：如图②．

四边形为正方形，为边的中点，
，，，
，
，
，
．
正方形中，，
，
；
（3）如图③，连接OE．

由题知，，，
．
与的高相同，
与的面积比为，
同理，与的面积比，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形和正方形的性质、相似三角形的判定和性质、比例的性质和三角形的面积等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
58．如图，在中，直线与边相交于点D，与边相交于点E，与线段延长线相交于点F．
(1)若，，求的值．
(2)若，，其中，求的值．
(3)请根据上述（1）（2）的结论，猜想= (直接写出答案，不需要证明)．
【答案】(1)2
(2)
(3)1
【分析】（1）过点D作交于点M，利用得出，，结合得出，从而得到，，继而得到，；
（2）过点D作交于点M，利用，得出，，结合得出，从而得到，，继而得到，；
（3）根据（1）（2）的情况，分别计算，，并计算它们的乘积，从而得解．
【详解】（1）解：如图所示，过点D作交于点M，
，
∴．
，
．
，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
，
，
．
（2）解：如题所示，过点D作交于点N，
，
．
，
．
，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
；
（3）由（1） 可知，，，
．
由 （2） 可知，，，
．
综上所述：．
故答案是：1．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和形式，作平行线构造相似三角形求解是解题的关键．
59．【模型启迪】
（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；

【模型探索】
（2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：；
【模型应用】
（3）如图3，在(2)的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)
【分析】（1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答；
（2）延长至点，使，连接，利用中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明；
（3）延长至点，使，连接，由可知，可得，，进而可得，易得，由相似三角形的性质得，设，表示出，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵为边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：延长至点，使，连接，

由（1）同理可得：，
，，
，
，
，
，即，
；
（3）解：延长至点，使，连接，

由（2）可知，，
，，
，
，
设
，，
，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
60．阅读下面材料，完成以下两问：
数学课上，老师出示了这样一道题．如图，中，D为中点，且，M为中点，连接并延长交于N．探究线段之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现线段之间存在某种数量关系”．
小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的”．
小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决”．

(1)小伟在探索时，做法为：过B作交延长线于Q，构造．
请你按照他的做法，判断与之间的数量关系为：________
(2)如图（2）：延长至H，使，连接，则结论：是否成立？请说明理由；
(3)如图（3）,证明：．
【答案】(1)
(2)成立，见解析
(3)见解析
【分析】（1）过B作交延长线于Q，构造出全等三角形、相似三角形，再利用全等和相似的性质即可得出结论；
（2）延长至H，使，连接，可得，进一步可证得，得到，然后证明，即可得到结论：；
（3）延长至，使，连接，延长至，使，可得、四边形为平行四边形，进一步可证得，即可得到结论．
【详解】（1）解：过B作交延长线于Q，如图：

∴，
∵D为中点，，
∴，
∴，
∵M为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：延长至H，使，连接，如图：

∵D为中点，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：延长至，使，连接，
延长至，使，连接，如图：

∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，合理的添加辅助线是解题的关键．例2如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点．
求证：．
证明：连接．

猜想：如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：

，且．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
利用辅助平行线求线段的比
三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后再利用这两个定理加以解决．
举例：如图1，是的中线，，的延长线交于点F．
求的值．
下面是该题的部分解题过程：
解：如图2，过点D作交于点H．
∵是的中线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
…