湖南省衡阳市第八中学、衡阳市第二十六中学等学校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省衡阳市第八中学、衡阳市第二十六中学等学校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了必修二第六章1-3节，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 满分：150分
命题人：刘亮生 审题人：赵永益
考试范围：必修一、必修二第六章1-3节
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求，再求
【详解】,故．
故选：A
2. 必存在零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知的零点即为与的交点横坐标，结合图象分析判断.
【详解】令，可得，
可知的零点即为与的交点横坐标，
在同一坐标系内作出与的图象，
又，
可知与在内有交点，在，和内无交点，
所以在内必存在零点，其它区间无零点.
故选：C.
3. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围，即可求解.
【详解】由指数函数在定义域为单调递增函数，
因为，可得，
由对数函数的性质，可得，所以.
故选：D.
4. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】奇偶性定义判断函数奇偶性，结合上函数符号，应用排除法即可得答案.
【详解】因为，所以且定义域为R，
所以是奇函数，则的图象关于原点对称，排除A、B.
当时，，排除D.
故选：C
5. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象
C. 函数在区间上单调递减
D. 的图象关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据“五点法”求解．可先求出函数解析式，然后判断各选项．
【详解】，，，，又，∴，∴，
，A错；
将图象向左平移个单位长度所得函数解析式为，B错；
时，，应为增函数，C错；
由得，，时，是对称轴，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查由函数图象求三角函数解析式，考查三角函数的性质．掌握“五点法”是解题关键．
6. 如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】建立直角坐标系，用坐标分别表示出，，，由已知，求解出和，再计算即可.
【详解】由题意，以为轴，以为轴建立直角坐标系，如图所示，
设正方形边长为，
则，，，，，
所以，，，
，
又，
所以，解得，
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量线性运算的坐标表示，恰当的建立直角坐标系将向量形式转化为坐标形式，属于基础题.
7. 已知 ，且为第二象限角,，则的值为（ ）
A. －B. －
C. D. －
【答案】C
【解析】
【分析】先根据同角三角函数关系求正弦，再弦化切应用，结合诱导公式代入求值即可.
【详解】因为，且为第二象限角，所以，
则
故选:C.
8. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为（ ）
A. B. 的最小正周期
C. 有4个零点D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于A：根据奇函数性质运算求解；对于B：根据对称性和奇偶性分析可得，进而可得周期性；对于C：分别作出的图象，结合图象分析判断；对于D：根据题意结合函数性质分析运算.
【详解】对于A：由题意可得：，解得，故A正确；
对于B：∵是偶函数，则，则，
又∵为奇函数，则，可得，
∴，则的最小正周期，故B正确；
对C：令，则，
注意到此时，分别作出的图象，
由图象可知：有4个交点，故有4个零点，
故C正确；
对D：∵，
则，
可得，故D不正确.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“，使得”
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】因为命题的否定一定要否定结论，故A错误；B中方程应该对是否为0进行讨论，有两个结果，故B错误；根据一元二次不等式的解法确定C的真假；根据充要条件的判定对D进行判断.
【详解】对A：命题“”的否定是“，使得”，故A错误；
对B：当时，集合中也只有一个元素，故B错误；
对C：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设，则由韦达定理可得，，所以不等式，故C正确；
对D：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立.
故选：CD
10. 下列关于基本不等式的说法正确的是（ ）
A. 若，则的最大值为
B. 函数的最小值为2
C. 已知，，，则最小值为
D. 若正数x，y满足，则的最小值是3
【答案】AC
【解析】
【分析】根据均值不等式求最值，注意验证等号成立的条件.
【详解】因为，所以，，
当且仅当即时，等号成立 ，故A正确；
函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；
因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.
故选：AC
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）

A.
B. 当时，函数单调递增
C. 当时，的最大值为
D. 当时，
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合条件可得的值，从而求得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意，，，所以，
则，
又点，此时代入可得，解得，
又，所以，故A正确；
因为，当时，，
所以函数先增后减，故B错误；
当时，所以，
则，则，故C错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，
所以，故D正确；
故选：AD
12. 已知为上的奇函数，且当时，.记，下列结论正确的是
A. 奇函数
B. 若的一个零点为，且，则
C. 在区间的零点个数为3个
D. 若大于1的零点从小到大依次为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义判断A选项；将等价变形为，结合的奇偶性判断B选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数的奇偶性判断C选项，结合图象，得出的范围，由不等式的性质得出的范围.
【详解】由题意可知的定义域为，关于原点对称
因为，所以函数为奇函数，故A正确；
假设，即时，
所以当时，
当时，
当，，则
由于的一个零点为， 则，故B正确；
当时，令，则大于的零点为的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且
所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；

由图可知，大于1的零点
所以
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 计算：_______.
【答案】5
【解析】
【分析】利用对数的运算公式、指数式与结数式恒等式，指数的运算公式进行运算即可.
【详解】.
故答案为：5
【点睛】本题考查了对数、指数的运算性质，考查了对数与指数恒等式，考查了数学运算能力.
14. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式化简已知等式的左边求出的值，再利用二倍角的正弦公式得到，分母除以，利用同角三角函数关系式得到，最后转化为即可求出的值.
【详解】解：因为，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键.
15. 已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，再计算值域为，得到，计算得到答案.
【详解】幂函数则或
当时，在上单调递减，舍去；
故，当时：
故；
综上所述：
故答案为：
【点睛】本题考查了幂函数，函数值域，将存在问题和恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.
16. 已知函数，若存在，，…，满足，，且，，当取最小值时，则此时的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意，都有，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，然后作图可得满足条件的最小值．
【详解】对任意，
都有
要使取得最小值，尽可能多让取得最值点，
考虑，
则按下图取值即可满足条件，的最小值为.
故答案为：．
【点睛】关键点睛：正确理解对任意，都有是解答该题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共计70分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合A=，B=
（1）若m=3，求A∪B；
（2）设全集为R，若BCRA，求实数m的取值范围.
【答案】（1）A∪B；（2）.
【解析】
【分析】（1）先求出集合A,B,再求A∪B得解；（2）先求出或，再对m分类讨论得解.
【详解】（1）m=3时，B=，
A=，
所以A∪B.
（2）由题得或，
B=，
当m=5时，B=满足已知.
当时，，满足已知.
当时，，，所以.
综上，.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18. 已知是定义在上的奇函数，且.
（1）若，求的值；
（2）对任意的，，，恒有，解关于的不等式.
【答案】（1）0； （2）.
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性计算即可得解；
（2）由可推出函数单调递减，可得单调递减，不等式可转化为，利用单调性求解即可.
【小问1详解】
因为是奇函数，所以，
则，
因为，所以；
【小问2详解】
不妨设，则，
又因为，
所以，
则在上单调递增，
所以在上单调递增；
因为，
所以，
所以，
又因为为奇函数，所以，
又因为在上单调递增，所以
，
则不等式的解集为.
19.
已知向量，，且.
（1）求及；
（2）求函数的最大值，并求使函数取得最大值时的值
【答案】（1）,;（2）3,
【解析】
【详解】解：（1），
∵， ∴∴.
（2）
∵， ∴，
∴当，即时.
20. 设是函数的两个零点，且的最小值是.
（1）求函数的解析式;
（2）已知实数满足，且对恒有，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数图象性质可知周期，可计算得，即可求出；
（2）易知对可得，即只需，可求得，再由基本不等式即可求得的最小值为.
【小问1详解】
因为函数的两个零点之间的距离最小值为，
所以周期，
可得，解得；
即函数；
所以函数的解析式为；
【小问2详解】
由可得，所以
又恒有，
只需，所以，解得，
即；
易知，
当且仅当时，等号成立；
即可得的最小值为.
21. 2022年我市某新能源汽车生产企业计划引进一批新能源汽车设备，经过前期的市场调研，生产新能源汽车制造设备，预计全年需投入固定成本500万元，每生产百台设备，需另投入成本万元，且根据市场行情，每百台设备售价为700万元，且当年内生产的设备当年能全部销售完．
（1）求2022年该企业年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少百台时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润=销售额－成本）
【答案】（1）
（2）2022年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元
【解析】
【分析】（1）根据利润=（销售额－投入成本－固定成本）求出关于的函数关系式；
（2）分别求两段函数的最大值，再取它们中较大者为最大年利润.
【小问1详解】
由题知当时，
当时，
所以
【小问2详解】
若，，所以当时，
若，，，
当且仅当即时，．
因为,
所以2022年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元.
22. 已知
（1）当是奇函数时，解决以下两个问题：
①求k的值；
②若关于x的不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当是偶函数时，设，那么当n为何值时，函数有零点．
【答案】（1）①；②；
（2）当或时，函数有零点.
【解析】
【分析】（1）①根据函数的奇偶性列方程，由此求得；②化简已知不等式，利用换元法、分离常数法，结合对勾函数的知识求得的取值范围.
（2）根据函数奇偶性求得，转化，利用构造函数法，结合二次函数的知识进行分类讨论，从而求得的范围.
【小问1详解】
①当是奇函数时，，
，解得.
②由得，则不等式，
可化为，
令，因为增函数，所以也为增函数，
，
，
，
由对勾函数的性质知，当的最小值为，
，即实数m的取值范围为.
【小问2详解】
当是偶函数时，，
，解得，
，
所以，即，
令，则，
则函数有零点，
转化为关于t的方程在时有实数根，
即是在时有实数根，
令为开口向下的二次函数，
当方程在有两相等实数根时，函数在上有一个零点，
，即，解得或，
若时，的零点为，符合题意，
若，
此时的零点为，符合题意，
所以或.
当方程有—负—非负实数根时，函数在上有一个零点，
则，解得或，
若时，，此时的零点为或，
与有—负—非负实数根矛盾，所以或.
当方程有两不等非负实数根时，函数在上有两个零点，
所以，解得，
综上所述：n的取值范围为或，
所以当或时，函数有零点.
【点睛】方法点睛：1.根据函数的奇偶性求参数，关键是利用函数奇偶性的定义，由或列方程来求参数；