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湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高一上学期1月分班学科考试数学试题（Word版附解析）
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这是一份湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高一上学期1月分班学科考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
吋间：120分钟；满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集的概念求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：A.
2. 若，且为第一象限角，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】因为，且为第一象限角，所以，
.
故选：C.
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.
故选：A.
4. 若，则的最小值为
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【详解】
，当且仅当时取等号，因此最小值为2，选B.
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
5. 已知命题，，则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.
【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.
故命题的否定为：，.
故选：B.
6. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项分析即得.
【详解】对于A，函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，函数定义域为R，又，所以函数为偶函数，不符合题意；
对于C，函数在为单调递减函数，不符合题意；
对于D，函数，由，所以函数为奇函数，
根据幂函数的性质，可得函数在区间上为单调递增函数，符合题意.
故选：D.
7. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系.
【详解】解：由题意，
，
在中，函数单调递增，且，
∴，
在中，函数单调递增，且当时，，
∴，
∴，
故选：A.
8. 甲、乙分别解关于x的不等式．甲抄错了常数b，得到解集为；乙抄错了常数c，得到解集为．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦达定理求得参数b、c，解不等式即可.
【详解】由韦达定理得，即，故不等式为，解集为.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知实数，其中，则下列关系中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式性质可判断A，C；举反例判断B；利用作差法判断D.
【详解】对于A，由于，故两边同乘以b，即，A正确；
对于B，当时，不成立，B错误；
对于C，由于，故，C正确；
对于D，因为，则，
故，故，D正确
故选：ACD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图像恒过定点
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 函数的最小正周期为
D. 函数的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，根据指数型函数相关性质直接计算；
对于B，根据充分不必要条件的相关概念直接判断；
对于C，根据三角函数周期性直接判断；
对于D，根据基本不等式，结合取等条件进行判断即可.
【详解】对于A，令，得，此时，该函数图像恒过定点，故A正确；
对于B，“”是“”的充分不必要条件显然正确，故B正确；
对于C，函数最小正周期为显然正确，故C正确；
对于D，函数，
当且仅当时取等，此时，无实数解，故取不到最小值2，即函数的最小值不为2，故D错误.
故选：ABC
11. 若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由与的关系，结合角的范围，可求得，即可逐个判断.
【详解】，∵，则，∴.
对C，，C对；
对A，，，A对；
对B，，B错；
对D，，D对.
故选：ACD.
12. 已知函数则以下说法正确的是（ ）
A. 若，则是上的减函数
B. 若，则有最小值
C. 若，则的值域为
D. 若，则存在，使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.
【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；
对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确；
对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；
对于D，若，当时，；
当时，；
当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. _____.
【答案】3
【解析】
【分析】利用对数的运算性质即可计算.
【详解】.
故答案为：3.
14. 已知，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式凑项法得的解析式，从而可求的值.
【详解】因为，所以，则.
故答案为：.
15. 已知扇形的圆心角为,弧长为,则该扇形的面积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据圆心角和弧长求得半径,根据弧长和半径利用扇形面积公式即可求得结果.
【详解】解:记扇形的半径为,因为圆心角,弧长,
所以,即,解得,
所以扇形的面积.
故答案为:
16. 某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为______元．
【答案】1440
【解析】
【分析】设 长为 , 则 , 求出 , 再结合各个区域的造价求得 , 利用基本不等式可得最值.
【详解】设 长为 , 则 ,
即
,
所以
.
当且仅当 ,
即 时, 等号成立,
所以当 时, 取最小值为1440 .
故答案：1440.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）求函数的定义域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算和对数的运算性质即可求解；
（2）结合指数函数的单调性即可求出的定义域.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由知，函数有意义的条件为，
易知指数函数在R上增函数，所以，解得，
于是，即.
故函数的定义域为.
18. 已知．
（1）求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式得到求解；．
（2）由，得到，再由求解.
【小问1详解】
解：由诱导公式得，
所以．
【小问2详解】
由（1）得，
又，即，
所以．
19. 已知函数，其中且.
（1）判断的奇偶性；
（2）若，解关于x的不等式.
【答案】（1）奇函数 （2）
【解析】
【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后检验与的关系即可判断；
（2）结合对数函数的单调性即可求解．
【小问1详解】
因为的定义域关于原点对称，
因为，
所以为奇函数；
【小问2详解】
当时，由可得，
所以，
故，
故不等式的解集为．
20. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最小值及单调减区间.
【答案】（1）最小正周期为；（2）；的单调递减区间为.
【解析】
【分析】
(1)利用降幂公式、诱导公式及逆用正弦二倍角公式将函数化为一个角的正弦函数，再利用周期公式，即可求出的最小正周期；
(2)先求出内层函数的值域，再结合正弦函数的图象和性质，即可求出结果.
【详解】(1)
.
所以的最小正周期为.
(2)因为，所以，
所以当，即时，函数取得最小值.
由，得，所以函数单调递减区间为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据式子结构，将函数化为的形式.
21. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？
【答案】（1）该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元；
（2）该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．
【解析】
【分析】（1）由已知可得，根据二次函数的性质，即可得出答案；
（2），然后用基本不等式即可得出该式的最值.
【小问1详解】
该单位每月的月处理成本：
，
因，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
从而得当时，函数取得最小值，即.
所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.
【小问2详解】
由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
当且仅当，即时，等号成立.
所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．
22. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求值；
（2）求在上的解析式；
（3）若函数有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由求得.
（2）根据的奇偶性求得的解析式.
（3）由分离常数，利用构造函数法，结合函数的单调性以及指数函数、二次函数的性质求得的取值范围.
【小问1详解】
由于函数是定义在上的奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，当时，，
所以，
所以
【小问3详解】
函数有零点等价于方程有根，
分离参数得，原问题等价于与的图象有公共点，
所以求k的范围，即求函数的值域，
记，即，
①当时，显然在上单调递减，所以，
所以时，，
②当时，令，则，
记，，
因为对称轴，所以在上单调递增，
所以，即，
所以时，，
综上所述，的值域为，
所以当时，函数有零点．
吋间：120分钟；满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集的概念求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：A.
2. 若，且为第一象限角，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】因为，且为第一象限角，所以，
.
故选：C.
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.
故选：A.
4. 若，则的最小值为
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【详解】
，当且仅当时取等号，因此最小值为2，选B.
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
5. 已知命题，，则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.
【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.
故命题的否定为：，.
故选：B.
6. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项分析即得.
【详解】对于A，函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，函数定义域为R，又，所以函数为偶函数，不符合题意；
对于C，函数在为单调递减函数，不符合题意；
对于D，函数，由，所以函数为奇函数，
根据幂函数的性质，可得函数在区间上为单调递增函数，符合题意.
故选：D.
7. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系.
【详解】解：由题意，
，
在中，函数单调递增，且，
∴，
在中，函数单调递增，且当时，，
∴，
∴，
故选：A.
8. 甲、乙分别解关于x的不等式．甲抄错了常数b，得到解集为；乙抄错了常数c，得到解集为．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦达定理求得参数b、c，解不等式即可.
【详解】由韦达定理得，即，故不等式为，解集为.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知实数，其中，则下列关系中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式性质可判断A，C；举反例判断B；利用作差法判断D.
【详解】对于A，由于，故两边同乘以b，即，A正确；
对于B，当时，不成立，B错误；
对于C，由于，故，C正确；
对于D，因为，则，
故，故，D正确
故选：ACD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图像恒过定点
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 函数的最小正周期为
D. 函数的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，根据指数型函数相关性质直接计算；
对于B，根据充分不必要条件的相关概念直接判断；
对于C，根据三角函数周期性直接判断；
对于D，根据基本不等式，结合取等条件进行判断即可.
【详解】对于A，令，得，此时，该函数图像恒过定点，故A正确；
对于B，“”是“”的充分不必要条件显然正确，故B正确；
对于C，函数最小正周期为显然正确，故C正确；
对于D，函数，
当且仅当时取等，此时，无实数解，故取不到最小值2，即函数的最小值不为2，故D错误.
故选：ABC
11. 若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由与的关系，结合角的范围，可求得，即可逐个判断.
【详解】，∵，则，∴.
对C，，C对；
对A，，，A对；
对B，，B错；
对D，，D对.
故选：ACD.
12. 已知函数则以下说法正确的是（ ）
A. 若，则是上的减函数
B. 若，则有最小值
C. 若，则的值域为
D. 若，则存在，使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.
【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；
对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确；
对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；
对于D，若，当时，；
当时，；
当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. _____.
【答案】3
【解析】
【分析】利用对数的运算性质即可计算.
【详解】.
故答案为：3.
14. 已知，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式凑项法得的解析式，从而可求的值.
【详解】因为，所以，则.
故答案为：.
15. 已知扇形的圆心角为,弧长为,则该扇形的面积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据圆心角和弧长求得半径,根据弧长和半径利用扇形面积公式即可求得结果.
【详解】解:记扇形的半径为,因为圆心角,弧长,
所以,即,解得,
所以扇形的面积.
故答案为:
16. 某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为______元．
【答案】1440
【解析】
【分析】设 长为 , 则 , 求出 , 再结合各个区域的造价求得 , 利用基本不等式可得最值.
【详解】设 长为 , 则 ,
即
,
所以
.
当且仅当 ,
即 时, 等号成立,
所以当 时, 取最小值为1440 .
故答案：1440.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）求函数的定义域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算和对数的运算性质即可求解；
（2）结合指数函数的单调性即可求出的定义域.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由知，函数有意义的条件为，
易知指数函数在R上增函数，所以，解得，
于是，即.
故函数的定义域为.
18. 已知．
（1）求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式得到求解；．
（2）由，得到，再由求解.
【小问1详解】
解：由诱导公式得，
所以．
【小问2详解】
由（1）得，
又，即，
所以．
19. 已知函数，其中且.
（1）判断的奇偶性；
（2）若，解关于x的不等式.
【答案】（1）奇函数 （2）
【解析】
【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后检验与的关系即可判断；
（2）结合对数函数的单调性即可求解．
【小问1详解】
因为的定义域关于原点对称，
因为，
所以为奇函数；
【小问2详解】
当时，由可得，
所以，
故，
故不等式的解集为．
20. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最小值及单调减区间.
【答案】（1）最小正周期为；（2）；的单调递减区间为.
【解析】
【分析】
(1)利用降幂公式、诱导公式及逆用正弦二倍角公式将函数化为一个角的正弦函数，再利用周期公式，即可求出的最小正周期；
(2)先求出内层函数的值域，再结合正弦函数的图象和性质，即可求出结果.
【详解】(1)
.
所以的最小正周期为.
(2)因为，所以，
所以当，即时，函数取得最小值.
由，得，所以函数单调递减区间为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据式子结构，将函数化为的形式.
21. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？
【答案】（1）该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元；
（2）该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．
【解析】
【分析】（1）由已知可得，根据二次函数的性质，即可得出答案；
（2），然后用基本不等式即可得出该式的最值.
【小问1详解】
该单位每月的月处理成本：
，
因，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
从而得当时，函数取得最小值，即.
所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.
【小问2详解】
由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
当且仅当，即时，等号成立.
所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．
22. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求值；
（2）求在上的解析式；
（3）若函数有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由求得.
（2）根据的奇偶性求得的解析式.
（3）由分离常数，利用构造函数法，结合函数的单调性以及指数函数、二次函数的性质求得的取值范围.
【小问1详解】
由于函数是定义在上的奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，当时，，
所以，
所以
【小问3详解】
函数有零点等价于方程有根，
分离参数得，原问题等价于与的图象有公共点，
所以求k的范围，即求函数的值域，
记，即，
①当时，显然在上单调递减，所以，
所以时，，
②当时，令，则，
记，，
因为对称轴，所以在上单调递增，
所以，即，
所以时，，
综上所述，的值域为，
所以当时，函数有零点．
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