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2005年河北省中考数学试卷（大纲卷）
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这是一份2005年河北省中考数学试卷（大纲卷），共30页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（共11小题，满分34分）
1．（4分）﹣2的绝对值的结果是 ．
11．（3分）已知甲地的海拔高度是300m，乙地的海拔高度是﹣50m，那么甲地比乙地高 m．
12．（3分）已知：如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，若∠2=115°，则∠1= 度．
13．（3分）生物学家发现一种病毒的长度约为0.00054mm，用科学记数法表示0.00054的结果为 ．
14．（3分）将一个平角n等分，每份是15°，那么n等于 ．
15．（3分）分解因式：x2﹣y2+ax+ay= ．
16．（3分）如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高 m（杆的粗细忽略不计）．
17．（3分）不等式组的解集是 ．
18．（3分）高温煅烧石灰石（CaCO3）可以抽取生石灰（CaO）和二氧化碳（CO2）．如果不考虑杂质与损耗，生产生石灰14吨就需要煅烧石灰石25吨，那么生产生石灰224万吨，需要石灰石 万吨．
19．（3分）一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 %．
20．（3分）如图，已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到了A点，求小虫爬行的最短路线的长．
二、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）
2．（4分）计算（x2y）3，结果正确的是（ ）
A．x5yB．x6yC．x2y3D．x6y3
3．（4分）在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（4分）已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是（ ）
A．d=rB．d≤rC．d≥rD．d＜r
5．（4分）用换元法解分式方程=7时，如果设y=，那么将原方程化为关于y的一元二次方程的一般形式是（ ）
A．2y2﹣7y+6=0B．2y2+7y+6=0C．y2﹣7y+6=0D．y2+7y+6=0
6．（4分）已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．8
7．（4分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例．若用法国的“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数是（ ）
A．2，3B．3，3C．2，4D．3，4
9．（4分）古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的．驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所托货物的袋数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
10．（4分）一根绳子弯曲成如图1所示的形状．当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n﹣2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是（ ）
A．4n+1B．4n+2C．4n+3D．4n+5
三、解答题（共8小题，满分67分）
21．（7分）已知x=﹣1，求的值．
22．（7分）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=EF．
求证：AE=CE．
23．（7分）工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A，B，E三个接触点的截面示意图．已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD．请你结合图1中的数据，计算这种铁球的直径．
24．（8分）如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格．
（1）请根据图中所提供的信息填写右表：
（2）请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好．
③依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好．
25．（8分）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
26．（10分）操作示例：
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形BNED是正方形；
②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．
实践与探究：
（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；
（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．
27．（10分）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元．设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入﹣支出费用）为y（元）．
（1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费；
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；
（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成y=a（x+）2+的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？
28．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2005年河北省中考数学试卷（大纲卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（共11小题，满分34分）
1．（4分）（2010•遵义）﹣2的绝对值的结果是 2 ．
【分析】根据绝对值的定义直接求得结果．
【解答】解：﹣2的绝对值是2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
11．（3分）（2005•河北）已知甲地的海拔高度是300m，乙地的海拔高度是﹣50m，那么甲地比乙地高 350 m．
【分析】认真阅读列出正确的算式，用甲地高度减去乙地高度，列式计算．
【解答】解：依题意得：300﹣（﹣50）=350m．
【点评】有理数运算的实际应用题是中考的常见题，其解答关键是依据题意正确地列出算式．
12．（3分）（2005•河北）已知：如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，若∠2=115°，则∠1= 65 度．
【分析】利用平行线的性质及邻补角互补即可求出．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠2=115°，
∴∠3=180°﹣115°=65°（邻补角定义），
∴∠1=∠3=65°．
故填65．
【点评】本题应用的知识点为：“两直线平行，同位角相等”和邻补角定义．
13．（3分）（2006•双柏县）生物学家发现一种病毒的长度约为0.00054mm，用科学记数法表示0.00054的结果为 5.4×10﹣4 ．
【分析】绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 54=5.4×10﹣4．
答：用科学记数法表示0.000 54的结果为5.4×10﹣4．
【点评】本题考查学生对科学记数法的掌握．科学记数法要求前面的部分的绝对值是＞或等于1，而＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．（3分）（2005•河北）将一个平角n等分，每份是15°，那么n等于 12 ．
【分析】1平角=180，将一个平角n等分，每份是15°，即可求出n．
【解答】解：n==12．
【点评】本题考查周角，平角定义．1周角=360°，1平角=180．
15．（3分）（2005•河北）分解因式：x2﹣y2+ax+ay= （x+y）（x﹣y+a） ．
【分析】前两项一组，利用平方差公式分解因式，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式（x+y）整理即可．
【解答】解：x2﹣y2+ax+ay，
=（x+y）（x﹣y）+a（x+y），
=（x+y）（x﹣y+a）．
【点评】本题主要考查了分组分解法分解因式，采用了两两分组，利用了平方差公式和提公因式法分解因式，分组后组与组之间可以继续进行分解因式是解题的关键．
16．（3分）（2005•河北）如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高 4 m（杆的粗细忽略不计）．
【分析】如下图所示，两侧所组成的两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例可得，长短臂之比应该等于下降和上升高度比，根据题意列出比例式即可．
【解答】解：如图，∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∠COD=∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，即=，
即=，CD==4m．
【点评】此题难易程度适中，主要考查相似三角形的相似比，为常见题型．
17．（3分）（2008•旅顺口区）不等式组的解集是 ＜x≤4 ．
【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．
【解答】解：解这个不等式组得，
即为＜x≤4
故答案：＜x≤4．
【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
18．（3分）（2005•河北）高温煅烧石灰石（CaCO3）可以抽取生石灰（CaO）和二氧化碳（CO2）．如果不考虑杂质与损耗，生产生石灰14吨就需要煅烧石灰石25吨，那么生产生石灰224万吨，需要石灰石 400 万吨．
【分析】一道跨学科问题．根据题目中条件，找出比例关系，列出方程．
【解答】解：设需要石灰石x万吨．
则，
解得x=400．
【点评】注意综合运用化学知识，理解清楚题意．
19．（3分）（2008•泰州）一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 10 %．
【分析】本题可设平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后药价为60（1﹣x）元，第二次在60（1﹣x）元的基础之又降低x，变为60（1﹣x）（1﹣x）即60（1﹣x）2元，进而可列出方程，求出答案．
【解答】解：设平均每次降价的百分率是x，则第二次降价后的价格为60（1﹣x）2元，
根据题意得：60（1﹣x）2=48.6，
即（1﹣x）2=0.81，
解得，x1=1.9（舍去），x2=0.1．
所以平均每次降价的百分率是0.1，即10%．
故答案为：10
【点评】此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．
20．（3分）（2005•河北）如图，已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到了A点，求小虫爬行的最短路线的长．
【分析】要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，
∵l=2πr=
∴扇形的圆心角=×360°=90度，
由勾股定理求得它的弦长是=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了弧长的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
二、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）
2．（4分）（2005•河北）计算（x2y）3，结果正确的是（ ）
A．x5yB．x6yC．x2y3D．x6y3
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算后直接选取答案．
【解答】解：（x2y）3=（x2）3y3=x6y3．
故选D．
【点评】本题考查积的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．（4分）（2010•扬州）在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】本题要根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：根据中心对称图形的概念，知正方形、菱形都是中心对称图形；
等边三角形和等腰梯形只是轴对称图形．
故选B．
【点评】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4．（4分）（2006•双柏县）已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是（ ）
A．d=rB．d≤rC．d≥rD．d＜r
【分析】根据直线l与⊙O有交点，则可知直线和圆相切或相交．
【解答】解：∵直线l与⊙O有交点，
∴直线与圆相交或相切，
∴d≤r．
故选B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系：直线和圆相交，则d＜r；直线和圆相切，则d=r；直线和圆相离，则d＞r．
5．（4分）（2006•双柏县）用换元法解分式方程=7时，如果设y=，那么将原方程化为关于y的一元二次方程的一般形式是（ ）
A．2y2﹣7y+6=0B．2y2+7y+6=0C．y2﹣7y+6=0D．y2+7y+6=0
【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，设y=，可得=，然后把分式化成整式方程．
【解答】解：设y=，原方程可整理为2y+=7，
整理得2y2﹣7y+6=0．故选A
【点评】用换元法解分式方程是常用的方法之一，要注意归纳总结用换元法解分式方程的特点．
6．（4分）（2005•河北）已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】阴影部分的面积等于矩形面积减去四个直角三角形的面积．
【解答】解：矩形的面积=2×4=8；
S△AEF=×1×2=1；
∴阴影部分的面积=8﹣1×4=4．故选B．
【点评】本题另外的解法是：利用菱形的面积公式计算．
7．（4分）（2012•长沙）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】可设I=，由于点（3，2）适合这个函数解析式，则可求得k的值．
【解答】解：设I=，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k=3×2=6，
∴I=．
故选：C．
【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
8．（4分）（2005•河北）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例．若用法国的“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数是（ ）
A．2，3B．3，3C．2，4D．3，4
【分析】认真分析8×9的计算过程后，得到规律：左手伸出8﹣5=3个，右手伸出9﹣5=4个，再计算5×6．
【解答】解：计算8×9的过程为：左手伸出8﹣5=3个，右手伸出9﹣5=4个，
∴8×9=10×（3+4）+2×1=72．
计算7×8的过程为：左手应伸出7﹣5=2个，右手伸出8﹣5=3个，
∴7×8=10×（2+3）+3×2=56．
故7×9的过程为：左手伸出7﹣5=2个，右手伸出9﹣5=4个，
所以7×9=10（2+4）+3×1=63，
故选C．
【点评】本题的关键在于根据例子找到伸手指的规律．
9．（4分）（2005•河北）古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的．驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所托货物的袋数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】要求驴子原来所托货物的袋数，就要先设出未知数，再通过理解题意可知本题的等量关系，即驴子减去一袋时的两倍减1（即骡子原来驮的袋数）再减1（我给你一袋，我们才恰好驮的一样多）=驴子原来所托货物的袋数加上1，根据这个等量关系列方程求解．
【解答】解：设驴子原来驮x袋，根据题意，
得到方程：2（x﹣1）﹣1﹣1=x+1，
解得：x=5，
答：驴子原来所托货物的袋数是5．
故选A．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
10．（4分）（2005•河北）一根绳子弯曲成如图1所示的形状．当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n﹣2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是（ ）
A．4n+1B．4n+2C．4n+3D．4n+5
【分析】本题做为一道选择题，学生可把n=1，x=5；n=2，x=9代入选项中即可得出答案．而若作为常规题，学生则需要一一列出n=1，2，3…的能，再对x的取值进行归纳．
【解答】解：设段数为x
则依题意得：n=0时，x=1，
n=1，x=5，
n=2，x=9，
n=3，x=13，
…
所以当n=n时，x=4n+1．
故选A．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．而作为选择题，将已知代入求解能节省很多时间和避免计算错误．
三、解答题（共8小题，满分67分）
21．（7分）（2005•河北）已知x=﹣1，求的值．
【分析】先将所求的代数式整理化简，再将求知数的值代入计算求解．
【解答】解：原式=，
当x=﹣1时，原式=．
【点评】此题考查了分式的计算与化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
22．（7分）（2005•河北）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=EF．
求证：AE=CE．
【分析】此题根据已知条件及对顶角相等的知识先证得△AED≌△CEF，则易求证AE=CE．
【解答】证明：∵AB∥FC，
∴∠ADE=∠CFE，
在△AED和△CEF中，
∠ADE=∠CFE，
DE=FE，
∠AED=∠CEF，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴AE=CE．
【点评】主要考查了全等三角形的判定定理和性质；由平行线得到内错角相等是解决本题的突破口，做题时注意运用．
23．（7分）（2005•河北）工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A，B，E三个接触点的截面示意图．已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD．请你结合图1中的数据，计算这种铁球的直径．
【分析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P．得到四边形ABDC是矩形，然后根据垂径定理得到PA=PB，PE=AC；然后根据已知条件利用勾股定理求出⊙O的半径OA的值，进而计算出这种铁球的直径．
【解答】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P．如图
∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形ABDC是矩形
∵CD与⊙O切于点E，OE为⊙O的半径
∴OE⊥CD
∴OE⊥AB
∴PA=PB
∴PE=AC
∵AB=CD=16cm，∴PA=8cm，
∵AC=BD=PE=4cm，
在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2
即OA2=82+（OA﹣4）2
∴解得OA=10cm，所以这种铁球的直径为20cm．
【点评】本题考查了矩形的性质，垂径定理，以及勾股定理．
24．（8分）（2005•河北）如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格．
（1）请根据图中所提供的信息填写右表：
（2）请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙， 乙 的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙， 甲 的体能测试成绩较好．
③依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好．
【分析】（1）甲的平均数为：×（40+45+55+60+65+65+70+65+70+65）=60，超过或达到70的有2次；10个数，中位数应是第5个和第6个数据的平均数：（55+60）÷2=57.5，超过或达到70的有4次；
（2）①平均数相同，合格次数多的体能较好；
②平均数相同，中位数大的体能较好；
③折线统计图趋势向上的较好．
【解答】解：（1）
（2）①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙，乙的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙，甲的体能测试成绩较好．
③从折线图上看，两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势，但是，乙的增长速度比甲快，
并且后一阶段乙的成绩合格次数比甲多，所以乙训练的效果较好．
【点评】本题考查了平均数、中位数的定义及运用，从统计图中获取信息的能力．
25．（8分）（2005•河北）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 30厘米、25厘米 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 2小时、2.5小时 ；
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
【分析】（1）由图象可知，当x=0时，y甲=30，y乙=25；当y=0时，y甲=2，y乙=2.5，这样就可求出两蜡烛的长度和各自燃烧的时间；
（2）结合（1）中的x与y的对应关系，利用待定系数法即可求解；
（3）令y甲=y乙，求出高度相等时的燃烧时间，再结合图象即可求出另外两种情况的答案．
【解答】解：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是30厘米、25厘米，从点燃到燃尽所用的时间分别是2小时、2.5小时．
（2）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，
由图可知，函数的图象过点（2，0），（0，30），
∴，
解得：，
∴y=﹣15x+30；
设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y=k2x+b2．
由图可知，函数的图象过点（2.5，0），（0，25），
∴，
解得：，
∴y=﹣10x+25；
（3）由题意得﹣15x+30=﹣10x+25，解得x=1，所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等．
观察图象可知：当0≤x＜1时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当1＜x＜2.5时，甲蜡烛比乙蜡烛低．
【点评】本题需仔细分析图象，利用待定系数法解决问题．
26．（10分）（2005•河北）操作示例：
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形BNED是正方形；
②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．
实践与探究：
（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；
（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．
【分析】（1）首先证明四边形MNED是矩形，然后依题意可证出四边形MNED是正方形．根据勾股定理可得正方形MNED的面积．
过点N做NP⊥BE，然后根据全等三角形的判定求得．
（2）由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，所以可得出一个正方形．
【解答】解：（1）①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形．
在Rt△ADM与Rt△CDE中，
∵AD=CD，又∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°，
∴DM=DE
∴四边形MNED是正方形．
∵DE2=CD2+CE2=a2+b2，
∴正方形MNED的面积为a2+b2；
②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图
可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等．
所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED．
（2）答：能．
理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，依此类推．由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n﹣1）次拼接，得到一个正方形．
【点评】本题考查的是正方形的性质以及正方形的判定定理．
27．（10分）（2005•河北）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元．设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入﹣支出费用）为y（元）．
（1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费；
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；
（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成y=a（x+）2+的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？
【分析】（1）已知每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，故未租出的设备为，所有未出租设备支出的费用为（2x﹣540）元．
（2）依题意可知共收入（40﹣﹣）x，故y=（40﹣）x﹣（2x﹣540）．
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套．因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场占有率，应该选择37套．
（4）用配方法得出y=﹣（x﹣325）2+11102.5．
【解答】解：（1）未租出的设备为套，所有未出租设备支出的费用为（2x﹣540）元；
（2）y=（40﹣）x﹣（2x﹣540）=﹣x2+65x+540；
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；
当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套．
因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；
如果考虑市场占有率，应该选择37套；
（4）y=﹣x2+65x+540=﹣（x﹣325）2+11102.5
∴当x=325时，y有最大值11102.5．但是当月租金为325元时，出租设备的套数为34.5套，而34.5不是整数，
故出租设备应为34（套）或35（套）．即当月租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，同时考生要注意考虑x的实际取值范围．
28．（10分）（2010•鞍山）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到S与t之间的函数关系式．
（2）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．
在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t．
（3）根据相似三角形对应边成比例可列式求出t，从而根据正切的定义求出值．
（4）首先假设存在，然后再根据相似三角形对应边成比例求证．
【解答】解：（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12．
∵QB=16﹣t，
∴S=×12×（16﹣t）=96﹣6t（0≤t＜16）；
（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ．
在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，
解得t=；
②若BP=BQ．
在Rt△PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122．
由BP2=BQ2得：（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2
即3t2﹣32t+144=0．
由于△=﹣704＜0，
∴3t2﹣32t+144=0无解，
∴PB≠BQ．
③若PB=PQ．
由PB2=PQ2，得t2+122=（16﹣2t）2+122
整理，得3t2﹣64t+256=0．
解得t1=，t2=16（舍去）
综合上面的讨论可知：当t=秒或t=秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
（3）如图，由△OAP∽△OBQ，得．
∵AP=2t﹣21，BQ=16﹣t，
∴2（2t﹣21）=16﹣t．
∴t=．
过点Q作QE⊥AD，垂足为E．
∵PD=2t，ED=QC=t，
∴PE=t．
在Rt△PEQ中，tan∠QPE=．
又∵AD∥BC，
∴∠BQP=∠QPE，
∴tan∠BQP=；
（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD．
如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E．
∵AD∥BC
∴∠BQF=∠EPQ，
又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°，
∴∠BQF=∠BDC，
∴∠BDC=∠EPQ，
又∵∠C=∠PEQ=90°，
∴Rt△BDC∽Rt△QPE，
∴，即．
解得t=9．
所以，当t=9秒时，PQ⊥BD．
【点评】梯形的问题可以通过作高线可以转化为直角三角形与矩形的问题．并且要理解以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，应分①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．三种情况进行讨论．
参与本试卷答题和审题的老师有：智波；心若在；zhangCF；蓝月梦；开心；CJX；HLing；ck2360；xiu；lanchng；lf2﹣9；zhjh；lanyan；刘超；hnaylzhyk；399462；zhangb；137﹣hui；mmll852；yu123；zxw；郝老师；hbxglhl；ln_86；郭静慧；张超；csiya（排名不分先后）
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2017年6月23日
平均数
中位数
体能测试成绩合格次数
甲
65
乙
60
平均数
中位数
体能测试成绩合格次数
甲
65
乙
60
平均数
中位数
体能测试成绩合格次数
甲
60
65
2
乙
60
57.5
4
一、填空题（共11小题，满分34分）
1．（4分）﹣2的绝对值的结果是 ．
11．（3分）已知甲地的海拔高度是300m，乙地的海拔高度是﹣50m，那么甲地比乙地高 m．
12．（3分）已知：如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，若∠2=115°，则∠1= 度．
13．（3分）生物学家发现一种病毒的长度约为0.00054mm，用科学记数法表示0.00054的结果为 ．
14．（3分）将一个平角n等分，每份是15°，那么n等于 ．
15．（3分）分解因式：x2﹣y2+ax+ay= ．
16．（3分）如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高 m（杆的粗细忽略不计）．
17．（3分）不等式组的解集是 ．
18．（3分）高温煅烧石灰石（CaCO3）可以抽取生石灰（CaO）和二氧化碳（CO2）．如果不考虑杂质与损耗，生产生石灰14吨就需要煅烧石灰石25吨，那么生产生石灰224万吨，需要石灰石 万吨．
19．（3分）一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 %．
20．（3分）如图，已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到了A点，求小虫爬行的最短路线的长．
二、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）
2．（4分）计算（x2y）3，结果正确的是（ ）
A．x5yB．x6yC．x2y3D．x6y3
3．（4分）在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（4分）已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是（ ）
A．d=rB．d≤rC．d≥rD．d＜r
5．（4分）用换元法解分式方程=7时，如果设y=，那么将原方程化为关于y的一元二次方程的一般形式是（ ）
A．2y2﹣7y+6=0B．2y2+7y+6=0C．y2﹣7y+6=0D．y2+7y+6=0
6．（4分）已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．8
7．（4分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例．若用法国的“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数是（ ）
A．2，3B．3，3C．2，4D．3，4
9．（4分）古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的．驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所托货物的袋数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
10．（4分）一根绳子弯曲成如图1所示的形状．当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n﹣2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是（ ）
A．4n+1B．4n+2C．4n+3D．4n+5
三、解答题（共8小题，满分67分）
21．（7分）已知x=﹣1，求的值．
22．（7分）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=EF．
求证：AE=CE．
23．（7分）工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A，B，E三个接触点的截面示意图．已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD．请你结合图1中的数据，计算这种铁球的直径．
24．（8分）如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格．
（1）请根据图中所提供的信息填写右表：
（2）请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好．
③依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好．
25．（8分）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
26．（10分）操作示例：
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形BNED是正方形；
②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．
实践与探究：
（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；
（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．
27．（10分）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元．设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入﹣支出费用）为y（元）．
（1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费；
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；
（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成y=a（x+）2+的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？
28．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2005年河北省中考数学试卷（大纲卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（共11小题，满分34分）
1．（4分）（2010•遵义）﹣2的绝对值的结果是 2 ．
【分析】根据绝对值的定义直接求得结果．
【解答】解：﹣2的绝对值是2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
11．（3分）（2005•河北）已知甲地的海拔高度是300m，乙地的海拔高度是﹣50m，那么甲地比乙地高 350 m．
【分析】认真阅读列出正确的算式，用甲地高度减去乙地高度，列式计算．
【解答】解：依题意得：300﹣（﹣50）=350m．
【点评】有理数运算的实际应用题是中考的常见题，其解答关键是依据题意正确地列出算式．
12．（3分）（2005•河北）已知：如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，若∠2=115°，则∠1= 65 度．
【分析】利用平行线的性质及邻补角互补即可求出．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠2=115°，
∴∠3=180°﹣115°=65°（邻补角定义），
∴∠1=∠3=65°．
故填65．
【点评】本题应用的知识点为：“两直线平行，同位角相等”和邻补角定义．
13．（3分）（2006•双柏县）生物学家发现一种病毒的长度约为0.00054mm，用科学记数法表示0.00054的结果为 5.4×10﹣4 ．
【分析】绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 54=5.4×10﹣4．
答：用科学记数法表示0.000 54的结果为5.4×10﹣4．
【点评】本题考查学生对科学记数法的掌握．科学记数法要求前面的部分的绝对值是＞或等于1，而＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．（3分）（2005•河北）将一个平角n等分，每份是15°，那么n等于 12 ．
【分析】1平角=180，将一个平角n等分，每份是15°，即可求出n．
【解答】解：n==12．
【点评】本题考查周角，平角定义．1周角=360°，1平角=180．
15．（3分）（2005•河北）分解因式：x2﹣y2+ax+ay= （x+y）（x﹣y+a） ．
【分析】前两项一组，利用平方差公式分解因式，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式（x+y）整理即可．
【解答】解：x2﹣y2+ax+ay，
=（x+y）（x﹣y）+a（x+y），
=（x+y）（x﹣y+a）．
【点评】本题主要考查了分组分解法分解因式，采用了两两分组，利用了平方差公式和提公因式法分解因式，分组后组与组之间可以继续进行分解因式是解题的关键．
16．（3分）（2005•河北）如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高 4 m（杆的粗细忽略不计）．
【分析】如下图所示，两侧所组成的两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例可得，长短臂之比应该等于下降和上升高度比，根据题意列出比例式即可．
【解答】解：如图，∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∠COD=∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，即=，
即=，CD==4m．
【点评】此题难易程度适中，主要考查相似三角形的相似比，为常见题型．
17．（3分）（2008•旅顺口区）不等式组的解集是 ＜x≤4 ．
【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．
【解答】解：解这个不等式组得，
即为＜x≤4
故答案：＜x≤4．
【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
18．（3分）（2005•河北）高温煅烧石灰石（CaCO3）可以抽取生石灰（CaO）和二氧化碳（CO2）．如果不考虑杂质与损耗，生产生石灰14吨就需要煅烧石灰石25吨，那么生产生石灰224万吨，需要石灰石 400 万吨．
【分析】一道跨学科问题．根据题目中条件，找出比例关系，列出方程．
【解答】解：设需要石灰石x万吨．
则，
解得x=400．
【点评】注意综合运用化学知识，理解清楚题意．
19．（3分）（2008•泰州）一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 10 %．
【分析】本题可设平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后药价为60（1﹣x）元，第二次在60（1﹣x）元的基础之又降低x，变为60（1﹣x）（1﹣x）即60（1﹣x）2元，进而可列出方程，求出答案．
【解答】解：设平均每次降价的百分率是x，则第二次降价后的价格为60（1﹣x）2元，
根据题意得：60（1﹣x）2=48.6，
即（1﹣x）2=0.81，
解得，x1=1.9（舍去），x2=0.1．
所以平均每次降价的百分率是0.1，即10%．
故答案为：10
【点评】此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．
20．（3分）（2005•河北）如图，已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到了A点，求小虫爬行的最短路线的长．
【分析】要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，
∵l=2πr=
∴扇形的圆心角=×360°=90度，
由勾股定理求得它的弦长是=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了弧长的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
二、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）
2．（4分）（2005•河北）计算（x2y）3，结果正确的是（ ）
A．x5yB．x6yC．x2y3D．x6y3
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算后直接选取答案．
【解答】解：（x2y）3=（x2）3y3=x6y3．
故选D．
【点评】本题考查积的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．（4分）（2010•扬州）在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】本题要根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：根据中心对称图形的概念，知正方形、菱形都是中心对称图形；
等边三角形和等腰梯形只是轴对称图形．
故选B．
【点评】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4．（4分）（2006•双柏县）已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是（ ）
A．d=rB．d≤rC．d≥rD．d＜r
【分析】根据直线l与⊙O有交点，则可知直线和圆相切或相交．
【解答】解：∵直线l与⊙O有交点，
∴直线与圆相交或相切，
∴d≤r．
故选B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系：直线和圆相交，则d＜r；直线和圆相切，则d=r；直线和圆相离，则d＞r．
5．（4分）（2006•双柏县）用换元法解分式方程=7时，如果设y=，那么将原方程化为关于y的一元二次方程的一般形式是（ ）
A．2y2﹣7y+6=0B．2y2+7y+6=0C．y2﹣7y+6=0D．y2+7y+6=0
【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，设y=，可得=，然后把分式化成整式方程．
【解答】解：设y=，原方程可整理为2y+=7，
整理得2y2﹣7y+6=0．故选A
【点评】用换元法解分式方程是常用的方法之一，要注意归纳总结用换元法解分式方程的特点．
6．（4分）（2005•河北）已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】阴影部分的面积等于矩形面积减去四个直角三角形的面积．
【解答】解：矩形的面积=2×4=8；
S△AEF=×1×2=1；
∴阴影部分的面积=8﹣1×4=4．故选B．
【点评】本题另外的解法是：利用菱形的面积公式计算．
7．（4分）（2012•长沙）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】可设I=，由于点（3，2）适合这个函数解析式，则可求得k的值．
【解答】解：设I=，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k=3×2=6，
∴I=．
故选：C．
【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
8．（4分）（2005•河北）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例．若用法国的“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数是（ ）
A．2，3B．3，3C．2，4D．3，4
【分析】认真分析8×9的计算过程后，得到规律：左手伸出8﹣5=3个，右手伸出9﹣5=4个，再计算5×6．
【解答】解：计算8×9的过程为：左手伸出8﹣5=3个，右手伸出9﹣5=4个，
∴8×9=10×（3+4）+2×1=72．
计算7×8的过程为：左手应伸出7﹣5=2个，右手伸出8﹣5=3个，
∴7×8=10×（2+3）+3×2=56．
故7×9的过程为：左手伸出7﹣5=2个，右手伸出9﹣5=4个，
所以7×9=10（2+4）+3×1=63，
故选C．
【点评】本题的关键在于根据例子找到伸手指的规律．
9．（4分）（2005•河北）古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的．驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所托货物的袋数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】要求驴子原来所托货物的袋数，就要先设出未知数，再通过理解题意可知本题的等量关系，即驴子减去一袋时的两倍减1（即骡子原来驮的袋数）再减1（我给你一袋，我们才恰好驮的一样多）=驴子原来所托货物的袋数加上1，根据这个等量关系列方程求解．
【解答】解：设驴子原来驮x袋，根据题意，
得到方程：2（x﹣1）﹣1﹣1=x+1，
解得：x=5，
答：驴子原来所托货物的袋数是5．
故选A．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
10．（4分）（2005•河北）一根绳子弯曲成如图1所示的形状．当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n﹣2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是（ ）
A．4n+1B．4n+2C．4n+3D．4n+5
【分析】本题做为一道选择题，学生可把n=1，x=5；n=2，x=9代入选项中即可得出答案．而若作为常规题，学生则需要一一列出n=1，2，3…的能，再对x的取值进行归纳．
【解答】解：设段数为x
则依题意得：n=0时，x=1，
n=1，x=5，
n=2，x=9，
n=3，x=13，
…
所以当n=n时，x=4n+1．
故选A．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．而作为选择题，将已知代入求解能节省很多时间和避免计算错误．
三、解答题（共8小题，满分67分）
21．（7分）（2005•河北）已知x=﹣1，求的值．
【分析】先将所求的代数式整理化简，再将求知数的值代入计算求解．
【解答】解：原式=，
当x=﹣1时，原式=．
【点评】此题考查了分式的计算与化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
22．（7分）（2005•河北）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=EF．
求证：AE=CE．
【分析】此题根据已知条件及对顶角相等的知识先证得△AED≌△CEF，则易求证AE=CE．
【解答】证明：∵AB∥FC，
∴∠ADE=∠CFE，
在△AED和△CEF中，
∠ADE=∠CFE，
DE=FE，
∠AED=∠CEF，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴AE=CE．
【点评】主要考查了全等三角形的判定定理和性质；由平行线得到内错角相等是解决本题的突破口，做题时注意运用．
23．（7分）（2005•河北）工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A，B，E三个接触点的截面示意图．已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD．请你结合图1中的数据，计算这种铁球的直径．
【分析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P．得到四边形ABDC是矩形，然后根据垂径定理得到PA=PB，PE=AC；然后根据已知条件利用勾股定理求出⊙O的半径OA的值，进而计算出这种铁球的直径．
【解答】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P．如图
∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形ABDC是矩形
∵CD与⊙O切于点E，OE为⊙O的半径
∴OE⊥CD
∴OE⊥AB
∴PA=PB
∴PE=AC
∵AB=CD=16cm，∴PA=8cm，
∵AC=BD=PE=4cm，
在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2
即OA2=82+（OA﹣4）2
∴解得OA=10cm，所以这种铁球的直径为20cm．
【点评】本题考查了矩形的性质，垂径定理，以及勾股定理．
24．（8分）（2005•河北）如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格．
（1）请根据图中所提供的信息填写右表：
（2）请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙， 乙 的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙， 甲 的体能测试成绩较好．
③依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好．
【分析】（1）甲的平均数为：×（40+45+55+60+65+65+70+65+70+65）=60，超过或达到70的有2次；10个数，中位数应是第5个和第6个数据的平均数：（55+60）÷2=57.5，超过或达到70的有4次；
（2）①平均数相同，合格次数多的体能较好；
②平均数相同，中位数大的体能较好；
③折线统计图趋势向上的较好．
【解答】解：（1）
（2）①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙，乙的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙，甲的体能测试成绩较好．
③从折线图上看，两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势，但是，乙的增长速度比甲快，
并且后一阶段乙的成绩合格次数比甲多，所以乙训练的效果较好．
【点评】本题考查了平均数、中位数的定义及运用，从统计图中获取信息的能力．
25．（8分）（2005•河北）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 30厘米、25厘米 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 2小时、2.5小时 ；
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
【分析】（1）由图象可知，当x=0时，y甲=30，y乙=25；当y=0时，y甲=2，y乙=2.5，这样就可求出两蜡烛的长度和各自燃烧的时间；
（2）结合（1）中的x与y的对应关系，利用待定系数法即可求解；
（3）令y甲=y乙，求出高度相等时的燃烧时间，再结合图象即可求出另外两种情况的答案．
【解答】解：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是30厘米、25厘米，从点燃到燃尽所用的时间分别是2小时、2.5小时．
（2）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，
由图可知，函数的图象过点（2，0），（0，30），
∴，
解得：，
∴y=﹣15x+30；
设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y=k2x+b2．
由图可知，函数的图象过点（2.5，0），（0，25），
∴，
解得：，
∴y=﹣10x+25；
（3）由题意得﹣15x+30=﹣10x+25，解得x=1，所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等．
观察图象可知：当0≤x＜1时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当1＜x＜2.5时，甲蜡烛比乙蜡烛低．
【点评】本题需仔细分析图象，利用待定系数法解决问题．
26．（10分）（2005•河北）操作示例：
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形BNED是正方形；
②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．
实践与探究：
（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；
（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．
【分析】（1）首先证明四边形MNED是矩形，然后依题意可证出四边形MNED是正方形．根据勾股定理可得正方形MNED的面积．
过点N做NP⊥BE，然后根据全等三角形的判定求得．
（2）由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，所以可得出一个正方形．
【解答】解：（1）①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形．
在Rt△ADM与Rt△CDE中，
∵AD=CD，又∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°，
∴DM=DE
∴四边形MNED是正方形．
∵DE2=CD2+CE2=a2+b2，
∴正方形MNED的面积为a2+b2；
②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图
可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等．
所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED．
（2）答：能．
理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，依此类推．由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n﹣1）次拼接，得到一个正方形．
【点评】本题考查的是正方形的性质以及正方形的判定定理．
27．（10分）（2005•河北）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元．设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入﹣支出费用）为y（元）．
（1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费；
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；
（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成y=a（x+）2+的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？
【分析】（1）已知每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，故未租出的设备为，所有未出租设备支出的费用为（2x﹣540）元．
（2）依题意可知共收入（40﹣﹣）x，故y=（40﹣）x﹣（2x﹣540）．
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套．因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场占有率，应该选择37套．
（4）用配方法得出y=﹣（x﹣325）2+11102.5．
【解答】解：（1）未租出的设备为套，所有未出租设备支出的费用为（2x﹣540）元；
（2）y=（40﹣）x﹣（2x﹣540）=﹣x2+65x+540；
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；
当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套．
因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；
如果考虑市场占有率，应该选择37套；
（4）y=﹣x2+65x+540=﹣（x﹣325）2+11102.5
∴当x=325时，y有最大值11102.5．但是当月租金为325元时，出租设备的套数为34.5套，而34.5不是整数，
故出租设备应为34（套）或35（套）．即当月租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，同时考生要注意考虑x的实际取值范围．
28．（10分）（2010•鞍山）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到S与t之间的函数关系式．
（2）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．
在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t．
（3）根据相似三角形对应边成比例可列式求出t，从而根据正切的定义求出值．
（4）首先假设存在，然后再根据相似三角形对应边成比例求证．
【解答】解：（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12．
∵QB=16﹣t，
∴S=×12×（16﹣t）=96﹣6t（0≤t＜16）；
（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ．
在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，
解得t=；
②若BP=BQ．
在Rt△PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122．
由BP2=BQ2得：（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2
即3t2﹣32t+144=0．
由于△=﹣704＜0，
∴3t2﹣32t+144=0无解，
∴PB≠BQ．
③若PB=PQ．
由PB2=PQ2，得t2+122=（16﹣2t）2+122
整理，得3t2﹣64t+256=0．
解得t1=，t2=16（舍去）
综合上面的讨论可知：当t=秒或t=秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
（3）如图，由△OAP∽△OBQ，得．
∵AP=2t﹣21，BQ=16﹣t，
∴2（2t﹣21）=16﹣t．
∴t=．
过点Q作QE⊥AD，垂足为E．
∵PD=2t，ED=QC=t，
∴PE=t．
在Rt△PEQ中，tan∠QPE=．
又∵AD∥BC，
∴∠BQP=∠QPE，
∴tan∠BQP=；
（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD．
如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E．
∵AD∥BC
∴∠BQF=∠EPQ，
又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°，
∴∠BQF=∠BDC，
∴∠BDC=∠EPQ，
又∵∠C=∠PEQ=90°，
∴Rt△BDC∽Rt△QPE，
∴，即．
解得t=9．
所以，当t=9秒时，PQ⊥BD．
【点评】梯形的问题可以通过作高线可以转化为直角三角形与矩形的问题．并且要理解以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，应分①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．三种情况进行讨论．
参与本试卷答题和审题的老师有：智波；心若在；zhangCF；蓝月梦；开心；CJX；HLing；ck2360；xiu；lanchng；lf2﹣9；zhjh；lanyan；刘超；hnaylzhyk；399462；zhangb；137﹣hui；mmll852；yu123；zxw；郝老师；hbxglhl；ln_86；郭静慧；张超；csiya（排名不分先后）
菁优网
2017年6月23日
平均数
中位数
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甲
65
乙
60
平均数
中位数
体能测试成绩合格次数
甲
65
乙
60
平均数
中位数
体能测试成绩合格次数
甲
60
65
2
乙
60
57.5
4
相关试卷
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