2021-2022学年湖北省孝感市孝南区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2021-2022学年湖北省孝感市孝南区八年级上学期期末数学试题及答案，共24页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，用心做一做等内容，欢迎下载使用。

1．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，1nm＝0.0000001cm，则7nm可用科学记数法表示为（ ）mm．
A．7×10﹣6B．7×10﹣7C．7×10﹣8D．0.7×10﹣6
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a5）2＝a10B．x16÷x4＝x4
C．2a2+3a3＝5a5D．b3•b3＝2b3
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x2+3x+2＝x（x+3）+2
5．如图，∠EAF＝18°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
7．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形按不同的方式拼成如图1的正方形和如图2的大长方形这两个图形，由两图形中阴影部分面积之间的关系正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
8．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③若∠BAC＝80°，则∠CBD＝40°；④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．若分式的值为0，则x＝ ．
10．已知点A（﹣1，a+1），B（b，﹣3）是关于x轴对称的点，a﹣b＝ ．
11．如图，在△ABC和△FED，A、F、C、D在同一直线上，AC＝FD，AB＝DE，当添加条件 时，就可得到△ABC≌△DBF（只需填写一个你认为正确的条件即可）．
12．已知a+b＝5，ab＝3，＝ ．
13．计算：＝ ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D、P分别是图中所作直线和射线与AB、CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，可知，∠BPC＝ ．
15．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6＝ ．
16．如图，将等边△ABC折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上的动点，若AD＝2，AC＝6，则△OCD的周长最小值为 ．
三、用心做一做（本大题共8小题，共72分）
17．（1）计算：（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣（）﹣1．
（2）因式分解：m2（m﹣2）+4（2﹣m）．
18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣4．
19．如图，已知P（﹣2，4），M（﹣1，1），P、M关于直线x＝1的对称点为P'、M'．
（1）写出P'的坐标 ，M'的坐标 ；
（2）思考：写出P（﹣2，4）关于x＝﹣1的对称点的坐标 ；
（3）推广：写出点（a，b）关于直线x＝n的对称点的坐标 ．
20．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
21．【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知x≠0，所以＝3，即x+＝3，
所以＝x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7．
故的值为．
【类比探究】
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知＝﹣1，求的值．
【拓展延伸】
（2）已知，，，求的值．
22．某药店在防治新型冠状病毒期间，购进甲、乙两种医疗防护口罩，已知每件甲种口罩的价格比每件乙种口罩的价格贵8元，用1200元购买甲种口罩的件数恰好与用1000元购买乙种口罩的件数相同．
（1）求甲、乙两种口罩每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种口罩共80件，且投入的经费不超过3600元，那么，最多可购买多少件甲种口罩？
23．【背景】角的平分线是常见的几何模型，利用轴对称构造三角形全等可解决有关问题．
【问题】在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），若∠ACE＝120°，AB＝4，DE＝9，BD＝12，则AE的最大值是 ．（直接写出答案）
24．如图，已知A（a，0），B（0，b），且满足a2﹣4a+4+＝0．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图1，若已知E（1，0），过B作BF⊥BE且BF＝BE．连AF交y轴于G点，求G的坐标．
（3）如图2，若点C是第一象限内的点，且∠OCB＝45°，过A作AD⊥OC于D点，求证：AD＝CD．
参考答案
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是正确的）
1．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，1nm＝0.0000001cm，则7nm可用科学记数法表示为（ ）mm．
A．7×10﹣6B．7×10﹣7C．7×10﹣8D．0.7×10﹣6
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：∵1nm＝0.0000001cm＝0.000001mm，
∴7nm＝0.000007mm＝7×10﹣6mm．
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a5）2＝a10B．x16÷x4＝x4
C．2a2+3a3＝5a5D．b3•b3＝2b3
【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
解：A、（a5）2＝a10，故A符合题意；
B、x16÷x4＝x12，故B不符合题意；
C、2a2与3a3不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、b3•b3＝b6，故D不符合题意；
故选：A．
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x2+3x+2＝x（x+3）+2
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，∠EAF＝18°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BCA，根据三角形外角的性质得到∠CBD，再根据等腰三角形的性质得到∠CDB，根据三角形外角的性质得到∠ECD即可解决问题．
解：∵AB＝BC，
∴∠EAF＝∠BCA＝18°，
∴∠CBD＝∠EAF+∠BCA＝36°，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝36°，
∴∠ECD＝∠EAF+∠CDB＝18°+36°＝54°．
故选：B．
6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【分析】根据分式方程有增根，确定出x的值，分式方程去分母转化为整式方程，把x的值代入整式方程计算即可求出m的值．
解：去分母，得：3x＝﹣m，
∵原分式方程有增根，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
当x＝1时，3＝﹣m，
∴m＝﹣3，
故选：D．
7．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形按不同的方式拼成如图1的正方形和如图2的大长方形这两个图形，由两图形中阴影部分面积之间的关系正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去中间小正方形的面积，即可写成等式．
解：阴影部分的面积是：（a+b）2﹣（a﹣b）2
4个长方形的面积是：4ab，
∴验证的等式是：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
故选：D．
8．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③若∠BAC＝80°，则∠CBD＝40°；④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，可以判断出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：∵AD平分∠FAC，DF⊥AF，DE⊥AC，
∴∠DFB＝∠DEC＝90°，DF＝DE，
又∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠FDB+∠BDE＝∠EDC+∠BDE，
∴∠FDB＝∠EDC，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），故①正确；
∴CE＝BF，BD＝CD，
在Rt△DFA和Rt△DEA中，
，
∴Rt△DFA≌Rt△DEA（HL），
∴AE＝AF，
∵BE＝BA+AF，
∴BE＝BA+AE，
∴CE＝AB+AE，故②正确；
∵∠BAC＝80°，
∴∠FAE＝100°，
∵∠DFA＝∠DEA＝90°，
∴∠FDE＝80°，
又∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠BDC＝80°，
∴∠BDC＝∠BAC，故④正确；
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB＝50°，故③错误；
故选：C．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．若分式的值为0，则x＝ ﹣2 ．
【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，再解即可．
解：由题可得，|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，
解得x＝±2，且x≠2，
∴x＝﹣2，
故答案为：﹣2
10．已知点A（﹣1，a+1），B（b，﹣3）是关于x轴对称的点，a﹣b＝ 3 ．
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵点A（﹣1，a+1），B（b，﹣3）关于x轴对称，
∴b＝﹣1，a+1＝3，
∴a＝2，
∴a﹣b＝2+1＝3．
故答案为：3．
11．如图，在△ABC和△FED，A、F、C、D在同一直线上，AC＝FD，AB＝DE，当添加条件 BC＝EF或∠A＝∠D 时，就可得到△ABC≌△DBF（只需填写一个你认为正确的条件即可）．
【分析】要使△ABC≌△FED，已知，AC＝FD，AB＝DE，具备了两边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法进行解答即可．
解：可添加BC＝EF，利用SSS得到△ABC≌△DBF；
可添加∠A＝∠D，利用SAS得到△ABC≌△DBF；
故答案为：BC＝EF或∠A＝∠D．
12．已知a+b＝5，ab＝3，＝ ．
【分析】将a+b＝5、ab＝3代入原式＝＝，计算可得．
解：当a+b＝5、ab＝3时，
原式＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
13．计算：＝ ﹣ ．
【分析】根据anbn＝（ab）n，进行计算即可．
解：
＝[]2021×
＝（﹣1）2021×
＝﹣1×
＝﹣，
故答案为：．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D、P分别是图中所作直线和射线与AB、CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，可知，∠BPC＝ 72° ．
【分析】根据作图过程可得BP平分∠ABC，点D是AC的垂直平分线上的点，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
根据作图过程可知：BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝ABC＝36°，
∵点D是AC的垂直平分线上的点，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝36°，
∴∠DCB＝72°﹣36°＝36°，
∴∠BPC＝∠PBC+∠DCB＝72°．
故答案为：72°．
15．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6＝ a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 ．
【分析】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
解：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
16．如图，将等边△ABC折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上的动点，若AD＝2，AC＝6，则△OCD的周长最小值为 10 ．
【分析】利用轴对称的性质：△OCD周长为OD+OC+CD＝OB+OC+CD，若周长最小，只要OB+OC最小，即B，O，C三点共线即可．
解：如图，连接OB，
∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF是BD的对称轴，
∴OB＝OD，
∵AD＝2，AC＝6，
∴CD＝4，
∴C△OCD＝OD+OC+CD＝OB+OC+CD＝OB+OC+4，
∴当B、O、C三点共线时，△OCD周长最小值为4+BC＝10．
故答案为：10．
三、用心做一做（本大题共8小题，共72分）
17．（1）计算：（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣（）﹣1．
（2）因式分解：m2（m﹣2）+4（2﹣m）．
【分析】（1）先根据零指数幂，去绝对值和负整数指数幂进行计算，再计算加减；
（2）先提公因式，再利用平方差公式计算即可．
解：（1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣（）﹣1
＝1+2﹣2
＝1；
（2）m2（m﹣2）+4（2﹣m）
＝（m﹣2）（m2﹣4）
＝（m﹣2）（m﹣2）（m+2）
＝（m﹣2）2（m+2）．
18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣4．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝﹣4时，
原式＝．
19．如图，已知P（﹣2，4），M（﹣1，1），P、M关于直线x＝1的对称点为P'、M'．
（1）写出P'的坐标 （4，4） ，M'的坐标 （3，1） ；
（2）思考：写出P（﹣2，4）关于x＝﹣1的对称点的坐标 （0，4） ；
（3）推广：写出点（a，b）关于直线x＝n的对称点的坐标 （2n﹣a，b） ．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质求解；
（2）利用轴对称变换的性质求解；
（3）利用轴对称变换的性质求解．
解：（1）由题意，P′（4，4），M′（3，1），
故答案为：（4，4），（3，1）；
（2）P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标（0，4）．
故答案为：（0，4）；
（3）设对称点坐标为（x，y），
则有＝n，y＝b，
x＝2n﹣a，
∴点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标（2n﹣a，b）．
故答案为：（2n﹣a，b）．
20．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
【分析】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
21．【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知x≠0，所以＝3，即x+＝3，
所以＝x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7．
故的值为．
【类比探究】
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知＝﹣1，求的值．
【拓展延伸】
（2）已知，，，求的值．
【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得到x+＝2；将所求分式取倒数，利用配方法和整体代入的方法求得式子的值，最后取倒数即可得出结论；
（2）将已知三个等式的左右两边分别相加得到＝，将所求的分式取倒数计算出结果，利用（1）中的方法即可得出结论．
【解答】（1）由 ＝﹣1知x≠0，所以＝﹣1，
即：x+＝2．
∴
＝x2+﹣7
＝﹣2﹣7
＝22﹣2﹣7
＝﹣5，
∴＝﹣．
（2）∵，，，
∴2（）＝＝．
∴＝．
∵＝，
∴＝．
22．某药店在防治新型冠状病毒期间，购进甲、乙两种医疗防护口罩，已知每件甲种口罩的价格比每件乙种口罩的价格贵8元，用1200元购买甲种口罩的件数恰好与用1000元购买乙种口罩的件数相同．
（1）求甲、乙两种口罩每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种口罩共80件，且投入的经费不超过3600元，那么，最多可购买多少件甲种口罩？
【分析】（1）设每件乙种商品的价格为x元，则每件甲种商品的价格为（x+8）元，根据数量＝总价÷单价结合用1200元购买甲种口罩的件数恰好与用1000元购买乙种口罩的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设购买y件甲种商品，则购买（80﹣y）件乙种商品，根据总价＝单价×购买数量结合投入的经费不超过3600元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，取其内的最大正整数即可．
解：（1）设每件乙种商品的价格为x元，则每件甲种商品的价格为（x+8）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40原方程的解，
∴x+8＝48．
答：每件乙种商品的价格为40元，每件甲种商品的价格为48元．
（2）设购买y件甲种商品，则购买（80﹣y）件乙种商品，
根据题意得：48y+40（80﹣y）≤3600，
解得：y≤50．
答：最多可购买50件甲种商品．
23．【背景】角的平分线是常见的几何模型，利用轴对称构造三角形全等可解决有关问题．
【问题】在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 AE＝AB+DE ；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），若∠ACE＝120°，AB＝4，DE＝9，BD＝12，则AE的最大值是 19 ．（直接写出答案）
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；
（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝BD，从而可证得结论．
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．根据两点之间线段最短解决问题即可．
解：（1）AE＝AB+DE；
理由：如图1，在AE上取一点F，使AF＝AB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠FAC，
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，
∵C是BD边的中点，
∴BC＝CD，
∴CF＝CD，
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，∠ACF+∠ECF＝90°，
∴∠ECF＝∠ECD，
在△CEF和△CED中，
，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF＝ED，
∵AE＝AF+EF，
∴AE＝AB+DE，
故答案为：AE＝AB+DE；
（2）AE＝AB+DE+BD．
证明：如图2，在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG，
∵C是BD边的中点，
∴CB＝CD＝BD，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠FAC，
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF＝CB，
∴∠BCA＝∠FCA，
同理可证：CD＝CG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵CB＝CD，
∴CG＝CF，
∵∠ACE＝120°，
∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠FCA+∠GCE＝60°，
∴∠FCG＝60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FG＝FC＝BD，
∵AE＝AF+EG+FG，
∴AE＝AB+DE+BD．
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG，如图3所示：
∵C是BD边的中点，
∴CB＝CD＝BD＝6，
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF＝CB，
∴∠BCA＝∠FCA．
同理可证：CD＝CG，
∴∠DCE＝∠GCE
∵CB＝CD，
∴CG＝CF
∵∠ACE＝120°，
∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣120°＝60°．
∴∠FCA+∠GCE＝60°．
∴∠FCG＝60°．
∴△FGC是等边三角形．
∴FC＝CG＝FG＝6，
∵AE≤AF+FG+EG，AF＝4，EG＝9
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大，最大值为4+6+9＝19．
故答案为：19．
24．如图，已知A（a，0），B（0，b），且满足a2﹣4a+4+＝0．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图1，若已知E（1，0），过B作BF⊥BE且BF＝BE．连AF交y轴于G点，求G的坐标．
（3）如图2，若点C是第一象限内的点，且∠OCB＝45°，过A作AD⊥OC于D点，求证：AD＝CD．
【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论；
（2）根据A的坐标为（2，0）、B的坐标为（0，2），得到OA＝OB＝2，得到OE＝1，过F作FH⊥y轴于H，根据全等三角形的性质得到FH＝OB＝2，BH＝OE＝1，求得OH＝1，根据全等三角形的性质得到HG＝OG＝OH＝，于是得到G（0，）；
（3）如图2，作BE⊥CO于于E，得到∠BEC＝∠BEO＝90°．根据余角的性质得到∠BOE＝∠OAD．根据全等三角形的性质得到BE＝DF，OE＝AD．根据等腰直角三角形的性质得到BE＝CE．于是得到结论．
【解答】（1）解：∵a2﹣4a+4+＝0．
∴（a﹣2）2+＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣2＝0，
∴a＝b＝2，
∴A的坐标为（2，0）、B的坐标为（0，2）；
（2）解：由（1）知，A的坐标为（2，0）、B的坐标为（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∵E（1，0），
∴OE＝1，
过F作FH⊥y轴于H，
∴∠FHB＝∠BOE＝90°，
∵BF⊥BE，
∴∠FBE＝90°，
∴∠FBH+∠OBE＝∠FBH+∠BFH＝90°，
∴∠BFH＝∠OBE，
∵BF＝BE，
∴△BFH≌△EBO（AAS），
∴FH＝OB＝2，BH＝OE＝1，
∴OH＝1，
∵FH＝OA＝2，∠FHG＝∠AOG＝90°，∠FGH＝∠AGO，
∴△FHG≌△AOG（AAS），
∴HG＝OG＝OH＝，
∴G（0，）；
（3）证明：如图2，作BE⊥CO于于E，
∴∠BEC＝∠BEO＝90°．
∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2．
∵AD⊥OC，
∴∠ADO＝90°，
∴∠AOD+∠OAD＝90°．
∴∠BEO＝∠ODA．
∵∠BOE+∠AOE＝90°，
∴∠BOE＝∠OAD．
在△BEO和△ODA中，
，
∴△BEO≌△ODA（AAS），
∴BE＝DF，OE＝AD．
∵∠OCB＝45°，
∴∠EBC＝45°，
∴∠EBC＝∠BCE，
∴BE＝CE．
∴OD＝CE，
∴OD+ED＝CE+ED，
∴OE＝CD，
∴AD＝CD．