2021-2022学年江西省赣州市章贡区八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年江西省赣州市章贡区八年级上学期期中数学试题及答案，共23页。

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共6小题）.
1．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风D．戴口罩 讲卫生
2．十五边形从一个顶点出发有 （ ）条对角线．
A．11B．12C．13D．14
3．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点
5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（ ）
A．1：1：1B．2：4：3C．4：6：5D．4：6：10
6．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长，解决方法：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（ ）
A．a和bB．a和cC．b和cD．a、b和c
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是 ．
8．在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC＝4cm2，则S△ABE＝ ．
9．一个多边形的每一个外角都为36°，则这个多边形是 边形．
10．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝ ．
11．如图，△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将△ABC沿EF对折，使C点与C′点重合．当∠1＝45°时，∠2＝ °．
12．如图，△ABC的顶点分别为A（0，3），B（﹣4，0），C（2，0），且△BCD与△ABC全等，则点D坐标可以是 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
（2）如图，点F是△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB，∠A＝30°，∠F＝40°，求∠ACF的度数．
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
15．已知等腰三角形的周长为16cm，若其中一边长为4cm，求另外两边长．
16．沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用三种不同的方法试一试．
17．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，求AC．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）.
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2）．
（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′（A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′），并直接写出A′，B′，C′的坐标．
（2）求△A′B′C′的面积．
19．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）已知DE＝35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）．
20．如图，△ABC和△ADE是共顶点A的两个全等的等边三角形．
（1）连接BD，CE，求证：BD＝CE；
（2）在备用图1中，连接BE，CD，求证：BE∥CD．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC．
（1）如图①，AD⊥BC于D，若∠C＝75°，∠B＝35°，求∠EAD；
（2）如图①，AD⊥BC于D，判断∠EAD与∠B，∠C数量关系∠EAD＝（∠C﹣∠B）是否成立？并说明你的理由；
（3）如图②，F为AE上一点，FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B、∠C又有什么数量关系？ ；（不用证明）
22．（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
六、（本大题共12分）
23．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形”具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你解答问题：
（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A＝36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．
（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．
参考答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）
1．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风D．戴口罩 讲卫生
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2．十五边形从一个顶点出发有 （ ）条对角线．
A．11B．12C．13D．14
【分析】根据多边形的对角线的方法，不相邻的两个定点之间的连线就是对角线，在n边形中与一个定点不相邻的顶点有（n﹣3）个．
解：n边形（n＞3）从一个顶点出发可以引（n﹣3）条对角线，所以十五边形从一个顶点出发有：15﹣3＝12条对角线．
故选：B．
3．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据概念判断．
解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，
所以画法正确的是B选项．
故选：B．
4．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．
故选：D．
5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（ ）
A．1：1：1B．2：4：3C．4：6：5D．4：6：10
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是8，10，12，所以面积之比就是4：6：5．
解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△AOC＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝8：12：10＝4：6：5，
故选：C．
6．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长，解决方法：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（ ）
A．a和bB．a和cC．b和cD．a、b和c
【分析】在BA边上取点E，使BE＝BC＝a，连接DE，得到△DEB≌△DBC，在DA边上取点F，使DF＝DB＝b，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．
解：要想求AD的长，仅需知道BC和BD的长，理由是：
如图4，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝a，连接DE，
在△DEB和△DCB中，
∵
∴△DEB≌△DCB（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
则△BDE≌△FDE（SAS），
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝a，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝a，
∵BD＝DF＝b，
∴AD＝AF+DF＝a+b．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
8．在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC＝4cm2，则S△ABE＝ 1cm2 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ABC＝×4＝2cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD＝×2＝1cm2．
故答案为：1cm2．
9．一个多边形的每一个外角都为36°，则这个多边形是 十 边形．
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
解：这个多边形是360÷36＝10边形．
故答案为：十．
10．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝ 11 ．
【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．
解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5
∴x+y＝11．
故答案为：11．
11．如图，△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将△ABC沿EF对折，使C点与C′点重合．当∠1＝45°时，∠2＝ 35 °．
【分析】由△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，可求得∠C的度数，又由三角形内角和定理，求得∠CEF+∠CFE，继而求得∠C′EF+∠C′FE，则可求得∠1+∠2，继而求得答案．
解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝40°，
∴∠CEF+∠CFE＝180°﹣∠C＝140°，
∵将△ABC沿EF对折，使C点与C′点重合，
∴∠C′EF+∠C′FE＝∠CEF+∠CFE＝140°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′EF+∠C′FE+∠CEF+∠CFE）＝80°，
∵∠1＝45°，
∴∠2＝35°．
故答案为：35．
12．如图，△ABC的顶点分别为A（0，3），B（﹣4，0），C（2，0），且△BCD与△ABC全等，则点D坐标可以是 （﹣2，3）或（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（0，3） ．
【分析】根据网格结构分别作出BD、CD与AB、AC相等，然后根据“SSS”可得△BCD与△ABC全等．
解：如图所示，△BCD与△ABC全等，点D可以和点A重合，故点D坐标可以是（﹣2，3）或（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（0，3）．
故答案为：（﹣2，3）或（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（0，3）．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
（2）如图，点F是△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB，∠A＝30°，∠F＝40°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的3倍，则内角和是3×360＝1080度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
（2）在直角三角形DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数；再在△ABC中，根据内角与外角的性质求∠ACF的度数即可．
解：（1）设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，
∴（n﹣2）•180°＝360°×3，
解得n＝8．
∴这个多边形的边数为8．
（2）在△DFB中，
∵DF⊥AB，
∴∠FDB＝90°，
∵∠F＝40°，∠FDB+∠F+∠B＝180°，
∴∠B＝50°．
在△ABC中，
∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACF＝30°+50°＝80°．
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
【分析】根据中线的定义知CD＝BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB＝13cm．易求AC的长度．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm．
即AC的长度是9cm．
15．已知等腰三角形的周长为16cm，若其中一边长为4cm，求另外两边长．
【分析】分4cm是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
解：如果腰长为4cm，
则底边长为16﹣4﹣4＝8cm．
三边长为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系定理．这样的三边不能围成三角形，
所以应该是底边长为4cm．所以腰长为（16﹣4）÷2＝6cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm．
16．沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用三种不同的方法试一试．
【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，即占8个方格，并且图形要保证为相同即可．
解：如下图所示：
17．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，求AC．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分性质求出BE＝AE＝6cm，求出∠EAB＝∠B＝15°，求出∠EAC，根据含30°角的直角三角形性质求出即可．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝×6cm＝3cm．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）.
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2）．
（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′（A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′），并直接写出A′，B′，C′的坐标．
（2）求△A′B′C′的面积．
【分析】（1）分别作出点A，B，C的对称点A′，B′，C′，顺次连接即可得；
（2）利用割补法求解可得．
解：（1）如图所示，点A′（﹣2，3），B′（﹣3，1），C′（2，﹣2）；
（2）用大正方形面积减去三个直角三角形面积，
S△A′B′C′＝25﹣（×4×5+×1×2+×5×3）＝6.5．
19．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）已知DE＝35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）．
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，
∴AD＝4a，BE＝3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DC+CE＝BE+AD＝7a＝35，
∴a＝5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
20．如图，△ABC和△ADE是共顶点A的两个全等的等边三角形．
（1）连接BD，CE，求证：BD＝CE；
（2）在备用图1中，连接BE，CD，求证：BE∥CD．
【分析】（1）由题意可得AB＝AE＝AC＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°，从而可求得∠BAD＝∠EAC，利用SAS可证得△ABD≌△AEC，即有BD＝CE；
（2）由题意可得AB＝AE＝AC＝AD，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝∠EAD＝60°，从而可求得∠CAD+∠BAE＝240°，∠1+∠3＝60°，即有∠1+∠3+∠ABC+∠ACB＝60°+60°+60°＝180°，从而可判断．
【解答】证明：（1）如图，
∵△ABC和△ADE是两个全等的等边三角形，
∴AB＝AE＝AC＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
即∠BAD＝∠EAC，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE；
（2）如图，
∵△ABC和△ADE是两个全等的等边三角形，
∴AB＝AE＝AC＝AD，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠CAD+∠BAE＝360°﹣∠BAC﹣∠EAD＝240°，
∴，
∴
＝
＝
＝60°，
∴∠1+∠3+∠ABC+∠ACB＝60°+60°+60°＝180°，
即（∠1+∠ACB）+（∠3+∠ABC）＝180°，
∴∠BCD+∠EBC＝180°，
∴BE∥CD．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC．
（1）如图①，AD⊥BC于D，若∠C＝75°，∠B＝35°，求∠EAD；
（2）如图①，AD⊥BC于D，判断∠EAD与∠B，∠C数量关系∠EAD＝（∠C﹣∠B）是否成立？并说明你的理由；
（3）如图②，F为AE上一点，FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B、∠C又有什么数量关系？ ∠EFD＝（∠C﹣∠B） ；（不用证明）
【分析】（1）由三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝70°，再求出∠DAC＝90°﹣∠C＝15°，即可得出答案；
（2）类比（1）中做法即可解决问题；
（3）过A作AG⊥BC于G，由（2）知，∠EAG＝（∠C﹣∠B），再利用平行线的性质即可．
解：（1）∵∠C＝75°，∠B＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝35°，
又∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝15°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝20°；
（2）成立，理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAC＝＝90°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）；
（3）如图②，过A作AG⊥BC于G，
由（2）知，∠EAG＝（∠C﹣∠B），
∵AG⊥BC，
∴∠AGC＝90°，
∵FD⊥BC，
∴∠FDG＝90°，
∴∠AGC＝∠FDG，
∴FD∥AG，
∴∠EFD＝∠EAG，
∴∠EFD＝（∠C﹣∠B），
故答案为：∠EFD＝（∠C﹣∠B）．
22．（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
【分析】图①，求出∠BDA＝∠AFC＝90°，∠ABD＝∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；图②根据已知和三角形外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可；图③求出△ABD的面积，根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即可得出答案．
解：（1）如图①，
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，
∴△ABD的面积是：×15＝5，
由（2）中证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5．
六、（本大题共12分）
23．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形”具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你解答问题：
（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A＝36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．
（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．
【分析】（1）证明∠C＝∠BDC＝72°，可得结论；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时，②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；③当分割三角形的直线过点A时，分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，∵AB＝AC，∠A＝36°
∴∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝72°÷2＝36°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠BDC＝72°＝∠C，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）解：根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：
（3）解：设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：
①当分割的直线过顶点B时，
i）：第一个等腰三角形ABC以A为顶点，则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点．
此时∠A＝36°，∠D＝36°，∠B＝72°+36°＝108°，最大角的值为108°；
ii）：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点．
此时：∠A＝36°，∠D＝18°，∠B＝108°+18°＝126°，最大角的值为126°；
iii）第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况，
△BCD以B为顶点：∠A＝36°，∠D＝72°，
∴∠ABD＝72°，最大角的值为72°；
△BCD以C为顶点：∠A＝36°，∠D＝54°，
∴∠ABD＝90°，最大角的值为90°；
△BCD以D为顶点：∠A＝36°，∠D＝36°，
∴∠ABD＝108°，最大角的值为108°；
②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；
③当分割三角形的直线过点A时，
此时∠A＝36°，∠D＝12°，∠B＝132°，最大角的值为132°；
综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°．